ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2004
УДК 533.6.013.42
© 2004 г. Мокеев В.В., Фот Е.Я.
О КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ГИДРОУПРУГИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассматривается задача гидроупругого взаимодействия упругой конструкции и жидкости. Предлагается метод, базирующийся на использовании лагранжевых координат для описания поведения упругой конструкции и сжимаемой жидкости и на применении разложения решения полученного матричного уравнения в ряд по собственным формам. Предлагается схема вычисления собственных частот и дается оценка точности решений.
Известны два подхода к решению задач гидроупругости. В подходе Лагранжа поведение жидкости описывается с использованием соотношений механики сплошных сред. Жидкость представляется как упругая среда с нулевым модулем сдвига и ненулевым объемным модулем. При использовании подхода Эйлера поведение жидкости описывается через поле скоростей давлений.
При конечно-элементной реализации подхода Лагранжа жидкость аппроксимируется набором конечных элементов с перемещениями в качестве узловых неизвестных [1-5]. При этом ранг матриц, полученных при конечно-элементной дискретизации, оказывается намного меньше их порядка. Сложность работы с вырожденными матрицами компенсируется простотой подхода к описанию поведения жидкости. Условия равновесия и совместности деформации автоматически выполняются на границе взаимодействия конструкции с жидкостью. Поэтому для решения полученных уравнений формально можно использовать обычные программы для конечно-элементного анализа конструкций. Однако в действительности это невозможно из-за высокого порядка и вырожденности матриц, так как в этом случае требуются специальные методы решения. При анализе собственных колебаний конструкций с жидкостью основным является вопрос об эффективном и надежном методе нахождения собственных значений больших матричных систем.
В работах, посвященных исследованиям колебаний упругих конструкций с жидкостью на основе подхода Лагранжа, для нахождения собственных значений используется метод статической конденсации, который основан на предположении о статической зависимости одних (вспомогательных) переменных от других (основных). Это позволяет исключить вспомогательные степени свободы [2, 3]. В качестве основных степеней свободы выбираются перемещения на поверхности объема жидкости. Главным недостатком метода является необходимость выбора основных степеней свободы, который возлагается на расчетчика и зависит от его интуиции и опыта. Неудачный выбор основных степеней свободы может привести к появлению больших погрешностей в собственных частотах и даже к потере некоторых из них. Использование такого метода приводит к исключению из получаемого спектра частот, соответствующих сжимаемости жидкости. Описанный подход реализован в одной из ведущих программ конечно-элементного анализа - А№У8. В настоящей работе для нахождения собственных значений матричного уравнения, полученного при использовании подхода Лагранжа, предлагается использовать метод частичной конденсации [6]. В отличие от
метода статической конденсации, в этом методе выбор удерживаемых степеней свободы является формализованным и осуществляется, исходя из допустимого уровня ошибки аппроксимации динамических характеристик матричного уравнения в заданном диапазоне частот.
Использование подхода Лагранжа при описании жидкости приводит к проблеме "паразитных" частот. Дело в том, что всем формам циркуляционного движения жидкости должны соответствовать нулевые собственные значения (частоты). Однако в связи с погрешностью, возникающей при использовании метода конечных элементов, значения собственных частот, соответствующих высшим формам циркуляционного движения жидкости, достаточно сильно отличаются от нуля. Путем простого просмотра спектра собственных частот невозможно отделить паразитные частоты от реальных. Сегодня в литературе предлагаются два способа избавления от этих частот [2, 3]. В работе [2] предлагается способ "штрафной" функции, при котором к матрице жесткости жидкости добавляется штрафная матрица. Тогда циркуляционные частоты сдвигаются в область более высоких значений. Данный способ может приводить к потере точности решения. Другой способ, позволяющий избавиться от паразитных частот, предлагает использовать одноточечную схему численного интегрирования для вычисления матриц жесткости конечных элементов четырехугольной формы [3]. Данный способ приводит к появлению большого количества нулевых частот, что сопряжено со значительными трудностями при нахождении собственных частот и форм.
В настоящей работе демонстрируются надежность метода частотной конденсации для решения задачи собственных значений, возникающей при использовании подхода Лагранжа, и хорошая сочетаемость метода частотной конденсации с существующими способами удаления паразитных частот.
Основные уравнения. Рассмотрим упругую конструкцию, заполненную жидкостью. В основу положим следующие предположения: перемещения в жидкости малы; жидкость изотропная; если жидкость покоится или движется как твердое тело, то в ней наблюдаются только нормальные напряжения.
Конечно-элементная формулировка предполагает представление жидкости в виде набора конечных элементов простой формы. Перемещение любой точки внутри элемента определяются соотношением и = где N - матрица функций форм конечного элемента, зависящая от геометрии элемента; 8е - вектор узловых перемещений конечного элемента.
Функционал полной энергии жидкости можно записать в виде суммы кинетической энергии элемента, потенциальной энергии деформации, потенциальной энергии гравитации и работы внешних сил
ф = 2- е[0Т 0 йУ + 1 р | иГ иСУ + 1 р | Епыпыпё8 +1 иГ fСБ, (1)
V У Б Б
где У - объем жидкости; Б - поверхность жидкости; 0 - деформация объемного расширения; р - плотность жидкости; gn - составляющая ускорения свободного падения в направлении, нормальном к поверхности жидкости; ип - перемещения по нормали к поверхности жидкости; f - вектор внешних воздействий.
Деформированное состояние идеальной жидкости можно описать через деформацию объемного расширения 0, которую можно выразить через узловые перемещения
Гдих диу ди.] „е
0 = 1 -и +эу + э7 I = в 8.
Соотношения для вычисления матриц жесткости и масс жидкости получаются путем минимизации функционала (1). Матрица жесткости элемента жидкости состоит
2 ПМ и НМ, < 3
33
из двух матриц. Первая матрица ке, обусловленная деформацией объемного расширения-сжатия, определяется по формуле
ке = Е| ВТ В (V.
V
Вторая матрица к^ обусловлена полем силы тяжести. Вклад в матрицу потенциальной энергии гравитации однородной жидкости будут давать только элементы на ее свободной поверхности и на смоченной поверхности оболочки. Матрицу к^ можно представить в виде
к; = р| gn.CN )Т ,
где 1п - матрица направляющих косинусов, - поверхность жидкости. Матрица масс элемента жидкости определяется соотношением
те = .
В общем виде матричное уравнение движения конструкции с идеальной жидкостью имеет вид
М 8 + К 8 = Г, (2)
где К - глобальная матрица жесткости, составленная из матриц жесткости к; , ке конечных элементов жидкости и матрицы жесткости конечных элементов упругой конструкции; М - глобальная матрица масс конечных элементов жидкости и упругой конструкции; 8 - вектор узловых перемещений, составленный из векторов узловых перемещений конечных элементов жидкости и упругой конструкции; Г - вектор внешнего воздействия.
Метод решения. Решение уравнения (2) будем искать в виде линейной комбинации собственных векторов, полученных в результате решения уравнения
с-ю2М + К )80 = 0, (3)
где ю2, 80 - собственные значения и собственные векторы. Это задача действительных собственных значений больших матричных систем, сложность решения которой обусловлена тем, что матрицы уравнения сингулярные.
Для решения уравнения (3) предлагаем метод частотной конденсации, теоретические основы которого описаны в работе [6]. Для удаления "паразитных" частот предлагаем использовать сочетание способов, предложенных в работах [2, 3]. Таким образом, жидкость описывается призматическими прямоугольными конечными элементами, матрицы жесткости которых вычисляются с использованием одноточечной схемы численного интегрирования. Такой способ приводит к автоматическому выполнению условия
[(гоШ )Т гоШ (V = 0.
Это обеспечивает получение нулевого спектра собственных частот, которым соответствуют формы циркуляционного движения жидкости.
Однако наличие спектра нулевых частот существенно увеличивает трудоемкость решения задачи собственных значений. Для сдвига этого спектра за границы диапа-
V
V
зона частот предлагаем использовать способ штрафной функции, суть которого заключается в добавлении в функционал (2) следующего интеграла:
aj"( rot u )T rotu dV,
где rot u - ротор вектора u; a - параметр штрафной функции, выбирается расчетчиком произвольно.
Этап 1 (конденсация). Осуществляется понижение порядка матриц уравнения
(- ю2М + K + aKp)S0 = 0,
где Кр - матрица жесткости штрафной функции. Выбор параметра a является непростой задачей. Чем больше задаем параметр a, тем больше сдвигаем спектр циркуляционных частот. Большие значения параметра a могут привести к искажению спектра собственных частот системы конструкция-жидкость и даже к потере некоторых из них.
Этап 2 (редуцированный базис). Вычисляем собственные значения и матрицу собственных векторов редуцированного матричного уравнения.
Этап 3 (восстановление). Вычисляем полную матрицу собственных векторов А = = [Soi d02 8Ш].
Этап 4 (приведение матриц). Вычисляем приведенные матрицы жесткости и масс
TT
К; = А КА, М; = А МА. Отметим, что на данном этапе редуцируется матрица жесткости К, т.е. матрица штрафной функции Кр не добавляется при вычислении матрицы
К;.
Этап 5 (уточнение). Находим решение приведенного матричного уравнения (К; - ю M;)q = 0 и формируем решение уравнения (8), которое включает собственные значения в интервале ю1, ю2 и собственные векторы, найденные по формуле 5; = Аq¡.
Для проверки качества получаемого решения вычисляем мо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.