МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. К.Е. КАЗАКОВ, А.В. МАНЖИРОВ
О КОНФОРМНОМ КОНТАКТЕ СЛОИСТЫХ ОСНОВАНИЙ И ШТАМПОВ
В работе исследуются контактное взаимодействие жестких штампов и вязкоупругих оснований с тонкими покрытиями в случаях, когда поверхности штампов и покрытий являются конформными (взаимоповторяющими-ся). Подобные задачи могут возникнуть, например, когда штамп погружается в затвердевающее покрытие до его полного отверждения, в результате чего поверхность покрытия принимает форму основания штампа. Примерами таких покрытий может служить слой клея, бетона в его молодом возрасте, многих полимерных материалов. Рассмотрены плоские контактные задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих оснований в случае их конформного контакта с жесткими штампами. Даны постановки задач. Получено их основное смешанное интегральное уравнение. Решение этого уравнения построено при помощи обобщенного проекционного метода. Приведены численные расчеты модельных задач, включая задачу, для которой форма основания штампа описывается быстро осциллирующей функцией.
1. Постановка задачи. Пусть на недеформируемом основании лежит вязкоупругий слой с покрытием. В момент времени т0 в поверхность такого основания силой P(t) с эксцентриситетом приложения e(t) начинает вдавливаться гладкий жесткий штамп ширины 2a (фиг. 1). Особенностью исследуемого контактного взаимодействия является то, что форма покрытия (форма поверхности пакета слоев) совпадает с формой основания штампа. Такой контактное взаимодействие назовем конформным. Покрытие считается тонким по сравнению с областью контакта, т.е. его толщина h(x) < 2a. И тонкое покрытие, и нижний слой произвольной толщины H изготовлены из вязкоупругих материалов. Моменты их изготовления обозначим через т1 и т2 соответственно. Предполагается, что жесткость покрытия меньше жесткости нижнего слоя, или же они имеют один порядок [1-3]. Рассматривается случай плоской деформации.
Заметим, что простейшим случаем конформного контакта является контакт штампа с плоским основанием и плоского участка деформируемого тела (в том числе основания с покрытием постоянной толщины).
Для вывода интегрального уравнения задачи заменим штамп некоторой нормальной распределенной нагрузкой p(x, t) = -q(x, t), действующей на том же участке (-a < x < a) и равной нулю вне его. Тогда вертикальное перемещение верхней грани описанного выше основания под действием нормальной нагрузки q(x, t) можно записать в фор-
ме [1-3]:
2 ( 1 - v2 ) q ( х, t ) nE2(t - т2)
2
uz(х, t) = (I - Vi)
8 q(х, t) h(х) E i (t - T i)
+ (I - V2)F
a
(1.1)
-a
Фиг. 1
Vkf (х, t) = JKk)(t - Tk,T - Tk) f (х,х)dx, k = 1, 2
(k)(, x) _ 17 (x)JL Эх
K (t,x) = £k (x)
1 + C( k)( t,x)
iEk(x)
1, 2
где Ek(t) - модули упругомгновенной деформации покрытия (k = 1) и нижнего слоя (k = 2), v2 - коэффициент Пуассона нижнего слоя; I - тождественный оператор; Vk - интегральные операторы Вольтерра с ядрами ползучести при растяжении K(k)(t, х) (k = 1, 2), C(k)(t, х) (k = 1, 2) - меры ползучести при растяжении; 0 - безразмерный коэффициент, зависящий от условий соединения покрытия с нижним слоем, причем в случае
гладкого контакта покрытия и слоя 0 = 1 - v1, а в случае идеального контакта
0 = (1 - v1 - 2 v1 )/(1 - v1), v1 - коэффициент Пуассона покрытия, F - интегральный оператор с известным ядром плоской контактной задачи kpl[(x - ^)/Я], которое имеет вид [3, 4]
kpi (s) = J cos (su) du
0
причем в случае гладкого контакта нижнего слоя с недеформируемым основанием
т, ч ch2u - 1
L (u) = —--—
sh2u + 2 u
а в случае идеального контакта
т, ч 2кsh2u -4u _ .
L (u) = -2--2' к = 3-4v2
2 к ch2u + 4 u + 1 + к
Приравнивая вертикальные перемещения верхней грани покрытия перемещению штампа как жесткого целого, с учетом (1.1) и того, что контактное взаимодействие является конформным, получим интегральное уравнение исследуемой задачи в виде:
2
/т лт \0q (х, t )h (х) ,т лт ,r2 (1- V2) q (t) . „ „ ч „г,-.
(! - V1) f ( , х ) + (! - 2)F ... ( . х ) = S(t) + а(t)х (-a < х < a) (1.2) Ej (t - Tj) nE2(t - x2)
где 5(t) - осадка штампа, а a(t) - угол его поворота.
0
Уравнение (1.2) дополним условиями равновесия штампа на основании
а а
I д(Ъ, г)¿Ъ = р(г), |Ъд(Ъ, г)¿Ъ = м(г) (1.3)
-а -а
Здесь через М(г) = е(г)Р(г) обозначен момент приложения силы Р(г). Сделаем в (1.2) и (1.3) замену переменных по формулам
Ъ * = Ъ, г * = 1 т * = 1, т* = т* = ^
a a
i0 i-Q i-Q Lq
Н 5(г) Е2(г - т2)
X = Н, 5 * (г *) = 2--<Ч а*( г *) = а( г), с *( г *) = -^
а а Е1 (г - т1)
*( ^ 9 Л(х) ^ * _ 2(1- ^)д(х,г)
т* (х *) = -2-7---, д * (х *, г *) = —- - —
1- V2; 2а Е2(г - т2)
р* (г *) = 2 р (г ) (1 - У 22 ), м * (г *) = 22 м ( г ) -- 1 - ^ -
Е2(г - т2)а Е2(г - т2)а2
г *
V* / (х *, г *) = I Кк (г *, т*)/(х *, т* )<2т *, к = 1,2 (1.4)
1
Е,(г-т,)Е2(т-т2) (1) К 1(г*,т*) = * (г-т„т-т1 )то
К2(г*,т*) = К(2)(г - т2,т - т2)т0
1
Г * / (х *, г*) = | к* (х *,Ъ *) / (Ъ *, г *) ¿Ъ *, к*( х*,Ъ*) = П кр1 ( -Н ) = П-кр1 )
-1
Тогда, опуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в виде
с(г)т(х)(I - V!)д(х, г) + (I - V2)Fq(х, г) = 5(г) + а(г)х (-1 < х < 1) (1.5)
с дополнительными условиями
11
I д(Ъ, г)¿Ъ = Р(г), | Ъд(Ъ, г)¿Ъ = м(г). (1.6)
-1 -1
Разделим теперь уравнение (1.5) на ^т (х) и введем обозначения
к (х Ъ) 1
е(х, г) = Тт«д(х, г), к(х, Ъ) = , ае(х, г) = | к(х, Ъ) е(Ъ , г)¿Ъ
7т (х )л/ т (Ъ)
Тогда интегральное уравнение (1.5) можно привести к следующему интегральному уравнению с ядром Гильберта-Шмидта к(х, Ъ) (см., например, [5]):
с (г)(I - V1) е(х, г) + (I - V2)AQ(х, г) = -_.5^ + -а-г)х, (-1 < х < 1) (1.7)
Vт (х) 7т (х)
Дополнительные условия (1.6) примут вид 1 1 г (Щ-й d, = р (t) г QM k di, = м (t)
(1.8)
Далее построим решение двумерного интегрального уравнения (1.7), содержащего интегральные операторы как с постоянными, так и с переменными пределами интегрирования, с учетом дополнительных условий (1.8).
2. Решение при заданных силе и моменте. Будем искать решение уравнения (1.7) при условиях (1.8) в классе функций непрерывных по времени ? в гильбертовом пространстве Ь2[-1, 1] (см., например [1, 6]). Для этого построим сначала ортонормированную в
Ь2[-1, 1] систему функций такую, чтобы она содержала 1/«/т(х), а остальные функции базиса можно было представить в виде произведения функций, зависящих от х и весовой функции 1/л/т(х). Система функций, удовлетворяющая оговоренным выше условиям, может быть построена на основании [7]:
J рД) Pj ф d- = 5i;, pn( x)
Pn(x)
Jm (x)
Po (x)
Jo'
Pn ( x )
A -A
Jo J1 J1 J2
i + 1
Jn = J mfe' A-1 = 1' An =
1 x .
Jo J1
J1 J2
(2.1)
+1
Jn Jn + 1
J
Отметим, что при m(x) = const многочлены pn(x) являются ортонормированными полиномами Лежандра.
Гильбертово пространство L2[-1, 1] можно представить в виде прямой суммы ортогональных подпространств L2[-1, 1] = L^1) [-1, 1] © L^2) [-1, 1], где L^1) [-1, 1] - евклидово
(2)
пространство с базисом {p0(x), px(x)}, а L2 [-1, 1] - гильбертово пространство с базисом {p2(x), p3(x), ...}. Подынтегральная функция и правая часть (1.7) также представляются в виде алгебраической суммы функций, непрерывных по времени t в l21) [-1, 1] и L22) [-1, 1], соответственно, т.е.
Q(x, t) = G1 (x, t) + Q2(x, t), f (x, t) = f 1(x, t) + f2(x, t)
Q1 (x, t) =
zo(t)po(x) + z1 (t)p1(x)' f 1(x, t)
5(t) a( t)x
Jo 5( t) + J a( t)
VJo
po (x) +
J 0 J 2 - J1
Jo
a( t)
Jm (x) Jm (x)
p1( x), f 2 (x, t ) = o
J
n
J
n
x
n
n
Заметим, что в представлении для Q(x, г) известно слагаемое Q1(x, г), функции разложения которого определяются дополнительными условиями (1.8):
го„) = ра, г,(,) = -'о«<о- *
J0 JjJ0 J2- J; )
а слагаемое Q2(x, г) требуется найти. Для правой части, наоборот, требуется определить /1(х, г), а/2(х, г) = 0. Отмеченные особенности позволяют классифицировать полученную в итоге задачу как частный случай обобщенной проекционной задачи, поставленной и решенной в [8].
На основании [8] можно ввести оператор ортогонального проектирования, который отображает пространство Ь2[-1, 1] на Ь^1"1 [-1, 1]:
?! ф( X, t) = J«t>(S, t)[ p0( X ) Po © + pi( X ) px
(2)
Очевидно, что ортопроектор Р2 = I - Р1 переводит пространство Ь2[-1, 1] в Ь2 [-1, 1]. Кроме того, имеют место следующие соотношения: Р/(х, г) = /(х, г), (х, г) = Qi(х, г), I =1,2
Следуя [8], подействуем на уравнение (1.7) оператором ортогонального проектирования Р2. В результате получим уравнение для определения Q2(x, г) с известной правой частью
с(г)(I - VI)Q2(х, г) + (I - У2)Р2AQ2(х, г) = -(I - У2)P2AQl(х, г) (2.2)
Его решение необходимо строить в виде ряда по собственным функциям оператора Р2А, который, как можно показать на основании [8], является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным оператором из Ь^) [-1, 1] в ь22) [-1, 1]. Си-
(2)
стема собственных функций такого оператора составляет базис пространства Ь2 [-1, 1] [9]. Спектральная задача для оператора Р2А может быть записана в форме
Р2 АФк ( х ) = УкФк ( х )
Фл(X) = )Pi(X), k = 2, ; k(хД) = XX RmnPm(X)P„fé)
i=2 m= 0n= 0
1 1
Rmn = J J k(X,\)Pm(X)Pn(^)dXd^. Rnm = Rmn' m> П = 0 1> -
-1-1
X Rmn^n } = YkФ^. k m = 2 3, -
n=2
Представив искомую функцию Q2(x, г) в виде разложения по новым базисным функ-
Л2) ,
1], г.е. Q2(х, I) =
к = 2
циям фк(х) (к = 2, 3, ...) в ь22) [-1, 1], т.е. Q2(х, г) = X гк(г)фк(х) и подставив это пред-
ставление в (2.2), получим, что неизвестные функции разложения гк(г) (к = 2, 3, ...) можно найти по формуле
1к( г) = -(I + Wk)
(I - У2 )[ г0 ( г) К к0) + г 1 (г ) К к ) ] с (г ) + у к
КГ= I Яоя№, К[1} = X Я!„ф!^, к = 2, 3,...
п=2 п=2
Wk/(х, г) = | Я* (г, т) / (х, т) ¿т
где Я* (г, т) (к = 2, 3, ...) - резольвента ядра
К* (г, т)
с (г) К! (г, т) + у кК 2( г,т)
с (г) + у к
Следует отметить, что полученное решение имеет следующую структуру: д (х, г) = тх) [ го (г) Ро (х) + г) х) + ...]
т.е. удается выделить в решении в явном виде весовую функцию т(х), а значит и связанную с ней заменой (1.4) функцию толщины покрытия Н(ах). Полученные формулы позволяют получать эффективные аналитические решени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.