ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 4, с. 3-13
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 681.5
О КОНСТРУИРОВАНИИ РОБАСТНЫХ ПО КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
© 2012 г. М. Г. Зотов
Москва, МИЭМ(технический ун-т) Поступила в редакцию 27.05.11 г., после доработки 27.10.11 г.
Объект управления может работать в двух режимах: штатном и аварийном. Приведена методика коррекции оптимального в штатном режиме регулятора с целью его удовлетворительного функционирования и в аварийном режиме. Настоящая статья дополняет существующие подходы к решению данного класса задач [1—4]. В отличие от решения одной из таких задач в [4] ограничение на необходимость совпадения числа правых полюсов в передаточных функциях объекта в штатном и аварийном режимах снято.
Введение. В большинстве практических задач возможны значительные отступления от оптимальных характеристик без существенного ухудшения принятого критерия качества системы. Это характерное свойство оптимальных систем является положительным фактором и позволяет конструктору в достаточно широких пределах варьировать структуру и параметры управляющего устройства без существенного отклонения от оптимального значения критерия качества и тем самым удовлетворять многим другим требованиям, предъявляемым к проектируемой системе, в частности, требованиям робастности, простоты и надежности [5].
Сказанное позволяет предположить, что коррекцией оптимального регулятора можно решить сформулированную ниже задачу. Для простоты рассматриваются лишь два режима: штатный и аварийный. Аварийный режим наступает, когда отказывает какой-либо элемент объекта управления. При этом может меняться порядок дифференциального уравнения объекта, местонахождение полюсов и нулей его передаточной функции. В штатном режиме качество функционирования системы должно быть близко к оптимальному, а в аварийном лишь обеспечиваться приемлемая работоспособность системы.
1. Постановка задачи. Объект управления может находиться в двух режимах: в одном — штатном, когда параметры номинальные, имеет передаточную функцию Ж0н^), в другом — аварийном —
функцию . Требуется найти передаточную функцию регулятора Ж*^), для которой выполняются соотношения
* /оП, 1ш*)ЖРт ^ Д, (1.1)
где I — критерий качества работы системы в штатном режиме, 1оп — оптимальное значение критерия качества I, I — критерий качества работы системы в аварийном режиме, 1п — наибольшее приемлемое значение критерия качества I.
Таким образом, спроектированная система должна обладать свойством робастности не только относительно устойчивости, но и качества. Качество работы системы в штатном и аварийном режимах может оцениваться как различными, так и совпадающими критериями.
В основу решения положен приведенный в Приложении частотный критерий устойчивости, который утверждает следующее: для того чтобы все корни характеристического полинома замкнутой системы находились в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотного критерия при изменении частоты от нуля до бесконечности в плоскости комплексного переменного точки с координатами (-1, у 0) не охватывал. В отличие от годографа Найкви-ста, предлагаемый инвариантен относительно числа правых полюсов системы в разомкнутом состоянии, что и позволяет использовать его для поиска параметров регулятора, обеспечивающих устойчивость системы в замкнутом состоянии.
2. Решение задачи. Исходя из сказанного во Введении и разд. 1, можно принять следующий порядок конструирования робастной системы.
Е^)
I
^Сн(^) =
^ + 09 - 0.1
■ V Ж0 (5) =
5 - 45 + 1
У(0
Рис. 1
Рис. 2
Этап 1. По постановке задачи формируется функционал I, характеризующий работу системы
в штатном режиме. Из условия оптимума функционала I определяются структура и параметры регулятора. Проверяется, является ли система с найденным регулятором устойчивой и в аварийном режиме. Если нет, переходят к этапу 2, если да, то переходят к этапу 3.
Этап 2. Найденные из оптимума I параметры регулятора уточняются так, чтобы как в штатном, так и в аварийном режиме система была робастной относительно свойства устойчивости. Для решения задачи этого этапа используется приведенный в Приложении алгоритм, построенный на сформулированном выше частотном критерии устойчивости.
Этап 3. Найденные на этапе 2 параметры регулятора корректируются так, чтобы как в штатном, так и в аварийном режиме характеристики системы, определяемые исходными функционалами 1и I, были бы приемлемыми, т.е. выполнялись оба соотношения (1.1). Если соотношение (1.1) не выполняется, то переходят этапу 4.
Этап 4. Структура найденного на предыдущем этапе регулятора усложняется повышением степеней числителя и знаменателя его передаточной функции. Тем самым увеличивается количество варьируемых параметров. Далее переходят к этапу 2.
Все этапы решения задачи, кроме второго, могут быть реализованы с использованием стандартных процедур. Алгоритм решения задачи этапа 2 приведен в Приложении. Как было сказано выше, в его основу положен частотный критерий устойчивости. Критерий не только констатирует факт устойчивости либо неустойчивости замкнутой системы управления, но и позволяет находить значения коэффициентов регулятора, обеспечивающих устойчивость системы, в том числе и с многорежимным объектом. В Приложении приведен пример конструирования робастного относительно свойства устойчивости регулятора для объекта с четырьмя режимами функционирования. Алгоритм решения задачи, согласно приведенным этапам, продемонстрируем на тестовом примере.
Пример 1. Объект управления может находиться в двух режимах: штатном и аварийном.
В первом его передаточная функция имеет вид
= ^ --1- --1-
Рон(^) (5 - 0.1)(5 + 1) 52 + 0.95 - 0.1 В аварийном режиме передаточная функция объекта трансформируется в соотношение
=т= -
0 ВД 52 - 45 + 1
с двумя полюсами из правой полуплоскости. На рис. 1 приведена система в штатном и аварийном режимах. На рис. 2, а представлены амплитудно-фазовые характеристики объекта в штатном (кривая 1) и в аварийном (кривая 2) режимах. Как видно, характеристики существенно различаются. Желаемая передаточная функция системы Ц1($) относительно задающего воздействия
gl(t) равна единице. В обоих режимах в системе должен обеспечиваться астатизм первого порядка. Качество работы системы в штатном и аварийном режимах оценивается одним и тем же критерием. Расчет ведется с использованием методики из [6].
Этап 1. Исходя из постановки задачи, запишем функционал, оценивающий качество работы системы в штатном режиме:
2
I = ^ \ - НЗД)1 ds + Г \5Йн(з)
/7Т7 V /7Т7
' ds -
2ц/ -Ч 5 2ц/
, . (2.1)
I У°° У00 1
- Р1 Здесь
— Г Йн(-5)—1— ds + — Г Йн(5)-1-ds - 2
2щ Л 5 + 0.1 2щ -5 + 0.1
V / / У
йн(5) = ^0н(5)
1 + Ж1(5)Жон(5)
— передаточная функция системы относительно задающего воздействия g1(í) при номинальном штатном режиме.
Первая составляющая в (2.1) обеспечивает астатизм и оценивает близость Йн(5) к и1(5), вторая — обеспечивает реализуемость звена коррекции, ее величина оценивает квадратичную интегральную составляющую переходного процесса [7]. Последняя составляющая есть ограничение на компенсацию звеном коррекции Ж1(я) правого полюса передаточной функции объекта управления, р1 — множитель Лагранжа, X — весовой коэффициент.
Функционал (2.1) при X = 0.01 и и1(я) = 1 достигает своего минимального значения, если искомая функция Йн(я) удовлетворяет уравнению Винера—Хопфа
0.0Ь(-5) + Йн(я) - + р1 —-^ 5(-5)) ^ 5(-5) я + 0
Г(я) — функция с полюсами из правой полуплоскости. Решая это уравнение, найдем 10.9145+1
йн(у) = -г - .
53 + 4.57252 + 10.4475 + 1
Передаточная функция звена коррекции имеет вид ^(5) _ йн(5) _ 10.91452 + 11.9145 + 1
^1(5) =
ад ^0н(5) (1 - ййн(5)) 5(5 + 4.672)
Первая составляющая функционала (2.1) = 0.356, вторая — 12 = 13.316, I = 0.489. Проверку на устойчивость системы с найденным регулятором в аварийном режиме проведем с использованием предлагаемого частотного критерия устойчивости из Приложения. Рассмотрим функции
ф (¡ю) = Р0н(/ю^рю) + брн(/ю)У](/ю) _ 1 ф(.ю) = Л,(,/Ю)((|(./ю) + Щ,/ю)У1(,/ю) _ 1 н (/ю + 1)4 (/ю +1)4
Числители функций Ф н(/ю) и Ф(/ю) есть характеристические полиномы многорежимной системы с оптимальным регулятором. Как показано в Приложении, если годографы Ф н(/ю) и Ф(/ю) в плоскости комплексного переменного при изменении ю от нуля до бесконечности не охватывают точку с координатами (-1, ¡0), то корни характеристических полиномов лежат в левой полуплоскости, т.е. система в замкнутом состоянии устойчива.
На рис. 2, б для найденного звена коррекции приведены годографы Ф н(/ю) для объекта в штатном (кривая 1) и Ф(/ю) в аварийном режимах (кривая 2). По виду кривых можно сделать вывод, что робастная устойчивость в системе не обеспечивается. Годограф 2 точку с координатами (-1, ¡0) охватывает. В аварийном режиме система свойством устойчивости не обладает.
Этап 2. С использованием методики из Приложения проведем коррекцию параметров передаточной функции Щ(я) так, чтобы в системе обеспечивалась робастная устойчивость.
На рис. 3, а приведены годографы Ф(ую) для объекта в штатном (кривая 1) и аварийном режимах (кривая 2) после корректировки передаточной функции звена коррекции использова-
нием оценки Я3 из Приложения. Как видно, оптимизация оценки Я3 по параметрам передаточной функции Щ(я) к решению задачи не привела. На рис. 3, а оба годографа Ф(у'ю) точку с координатами (-1, у0) охватывают.
На рис. 3, б представлен результат оптимизации оценки Я4 из Приложения: для объекта в штатном режиме годограф Ф(у'ю) точку (-1, у0) охватывает, а в аварийном не охватывает. Робаст-ная устойчивость не обеспечивается. В то же время оптимизация оценок Я1 и Я2 из Приложения
по параметрам функции ^(л) привела к следующему: годографы Ф(у'ю) на рис. 3, в, г точку (-1, у0) не охватывают.
Для дальнейшего использования выбраны параметры регулятора, найденные в результате оптимизации критерия Я1. При таких параметрах годографы Ф(у'ю) удалены от точки (-1, у0) на большее расстояние по сравнению с результатом оптимизации критерия Я2. Найденная передато
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.