КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 6, с. 499-504
УДК 620.76/78.004
О КОРРЕКТНОСТИ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ СУБМИКРОННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ
© 2007 г. Е. К. Колесников, С. В. Чернов , А. Б. Яковлев
НИИ математики и механики им. акад. В.И. Смирнова Санкт-Петербургского государственного
университета Поступила в редакцию 11.08.2005 г.
Сформулированы общие условий применяемости канонической формулировки задачи о движении микрочстиц с переменным электрическим зарядом в околоземном космическом пространстве. Показано выполнение указанных условий для частиц субмикронных размеров, совершающих орбитальное движение в плазмосфере Земли.
РАС8: 45.20.Jj, 94.30.cv
Задачи динамики мелкодисперсных частиц в околоземном космическом пространстве (ОКП) активно рассматриваются на протяжении последних двух десятилетий в связи с проблемой антропогенного загрязнения ближнего космоса техногенными микрочастицами (МЧ). Особенно сложной является задача динамики в ОКП частиц субмикронных размеров, на движение которых наряду с гравитационным полем Земли и световым давлением существенное воздействие оказывают и электродинамические силы, обусловленные взаимодействием электрического заряда наводимого на МЧ с магнитным и электрическим полями околоземного космического пространства. Основным методом исследования особенностей динамики субмикронных частиц в ОКП является в настоящее время метод численного моделирования движения МЧ в околоземном пространстве с учетом воздействия на них всего отмеченного выше комплекса возмущающих сил. Тем не менее, предпринимаются попытки и аналитического исследования свойств движения МЧ в ОКП в модельных постановках динамической задачи, основанных на определенных упрощающих предположениях о числе, характере и способе определения действующих на МЧ возмущающих сил. Особенно эффективным аналитический подход оказывается в случае, когда задача динамики МЧ в ОКП допускает каноническую формулировку в виде системы уравнений Гамильтона. В частности, в работе [1] с использованием известных методов теории гамильтоновых систем, развитых в работах А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда и Ю. Мозера [2-3] (так называемой КАМ-теории), удалось доказать сохранение формы орбиты частицы с постоянным зарядом, движущейся в центральном гравитационном поле, при наличии малого возмущающего воздействия силы Лоренца, действующей на МЧ со стороны дипольного магнитного поля.
В работах [4-8] рассмотрена задача о возмущенном движении заряженной МЧ в центральном гравитационном поле, которое описывается более общей функцией Гамильтона, учитывающей воздействие на движение МЧ наряду с ди-польным магнитным полем и электрического поля коротации. Заметим, однако, что все отмеченные выше канонические формулировки задачи о движении МЧ в ОКП основаны на предположении о постоянстве электрического заряда МЧ. В то же время, как показывают результаты численного моделирования движения микрочастиц в ОКП [9], заряд МЧ в процессе ее орбитального движения, как правило, существенно меняется, что в реальных физических условиях ОКП ограничивает применимость модельных постановок с постоянным электрическим зарядом лишь некоторыми специальными случаями.
В настоящей работе мы покажем, что задача движения МЧ в ОКП при выполнении соответствующих условий допускает каноническую формулировку и в случае переменного заряда МЧ, что открывает возможность применения методов теории гамильтоновых систем к исследованию реальных задач динамики МЧ в ОКП.
1. ОБОБЩЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ЛОРЕНЦА ДЛЯ МИКРОЧАСТИЦ С ПЕРЕМЕННЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАРЯДОМ
Прежде всего, отметим, что общим условием корректности канонической формулировки задачи движения микрочастицы в ОКП является возможность представления всех сил Р', действующих на МЧ, в виде [10] Р' = -УУ или
^ = -
д и + С ди1
дх, С дX,
(, = 1, 2, 3),
где V = V (хь х2, х3, 0 - обычный потенциал, и(хь %2, Х3, XX1 , Х2 , Х3 , О - обобщенный потенциал. При движении МЧ на достаточно больших высотах, на которых силой сопротивления фонового газа верхней атмосферы можно пренебречь, основными силами, действующими на МЧ, являются гравитационная сила Егр, сила солнечного давления Есд и сила Лоренца ЕЛ. Не зависящие от скорости гравитационная сила и сила солнечного давления (для сферической МЧ) представляются обычными потенциалами Угр и Усд.
Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом нами случае движения микрочастицы с переменным электрическим зарядом в ОКП сила Лоренца, действующая на нее со стороны магнитного и электрического полей околоземного космического пространства, допускает представление с помощью обобщенного потенциала иЛ при выполнении соответствующих ограничений на характер изменения заряда МЧ в процессе ее орбитального движения, а также - на геометрические особенности магнитного и электрического полей ОКП. Первое из указанных ограничений состоит в выполнении условия квазиравновесности электрического заряда МЧ, который для любого положения МЧ в ОКП должен быть близким к равновесному электрическому заряду покоящейся в данной точке МЧ. При этом электрический заряд МЧ определяется местными значениями параметров фоновой плазмы и зависит только от текущих координат МЧ, то есть
Ч = Ч (г),
(1)
ЫУЧ , Е ||Уч,
(2) (3)
ил =
(4)
где Ш1 и - скалярная и векторная функции координат, удовлетворяющие уравнениям
[УШ1 = ч Уф 1го1;^2 = дго1А.
(5)
В (5) ф и А - соответственно, скалярный и векторный потенциалы, действующих на МЧ электрических и магнитных полей ОКП. Заметим, что в случае постоянного заряда микрочастицы функции Ш1 и определяются выражениями = qф, = = qA, подстановка которых в (4) приводит к известному выражению для обобщенного потенциала силы Лоренца частицы с постоянным зарядом ил =
= qф - -V • А. Функция Лагранжа МЧ, соответствующая представлению действующих на микрочастицу сил потенциалами Угр, Усд и ил, определяется выражением:
ь = у™ - ^д - ш +
2 1
V •
(6)
из которого следует выражение для компонент вектора обобщенного импульса
р, = — = шхг + —. Эх, с
(7)
Тогда функция Гамильтона, описывающая динамику в ОКП микрочастицы с переменным зарядом, с учетом (6) и (7), определяется формулой:
где г - радиус-вектор текущего положения МЧ. Второе ограничение (на геометрические характеристики полей) состоит в выполнении условий:
3
Н = X ХгРг - 1
г = 1
V2
с
2т X (р-тО!+уГР+Усд+ш-
то есть градиент заряда 4, рассматриваемый в соответствии с условием (1) как функция координат должен быть перпендикулярен вектору индукции магнитного поля В и параллелен вектору напряженности электрического поля Е. Нетрудно убедиться, что при выполнении условий (1)-(3), сила Лоренца может быть представлена обобщенным потенциалом
2. ОЦЕНКА ВЫПОЛНЕНИЯ УСЛОВИИ КОРРЕКТНОСТИ ГАМИЛЬТОНОВОИ ФОРМУЛИРОВКИ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ СУБМИКРОННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ
Проверим выполнение сформулированных выше условий (1)-(3) для частиц субмикронных размеров, совершающих орбитальное движение в земной плазмосфере. Покажем, во-первых, что выполнение геометрических условий (2) и (3) следует из особенностей пространственного распределения плазмы в плазмосфере Земли. Это распределение описывается, как известно, моделью двухкомпонентной плазмы [11], состоящей из "холодной" компоненты с плотностью «соШ и температурой ГсоШ и "горячей" компоненты с плотностью пш и температурой ГЬо(. При этом полная
2
г = 1
О КОРРЕКТНОСТИ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ
501
плотность плазмы n = ncold + nhot. Параметры ncold, Tcold и nhot, Thot задаются выражениями [11]:
'cold
T
nhot
J n* -1, T*> 1эВ 1 n*, T*< 1эВ
J 1эВ, T*> 1 эВ
1T*, T*< 1эВ
1 см-3, T*> 1 эВ 0, T* < 1 эВ
(8)
(9)
Thot = T*, T*> 1эВ.
В (8) и (9) функции n*(L) и T*(L) определяются формулами:
±st\ m( 15- L) /3.5 -3
n*(L) = 10 , см ,
T*(L) = 0.09239L2 7073, эВ,
(10)
где Ь - параметр местной магнитной оболочки. Как видно из (8) и (9), плазмосферная плазма является двухкомпонентной, если температура Т*, определяемая формулой (10), превосходит 1 эВ. В противном случае (при Т* < 1 эВ) плазмосферная плазма является однокомпонентной с плотностью п = п* и температурой Т = Т*. В плоскости магнитного экватора граница между этими структурными областями проходит на высоте около 9000 км. Равновесный заряд тела, будучи функцией локальных плотности и температуры, не зависит, таким образом, от продольной координаты вдоль силовой линии магнитного поля, что соответствует выполнению условия (2). В силу малости угла между магнитной осью и осью вращения Земли (11.5°) в качестве модели геомагнитного поля, как и в предыдущих наших публикациях [9, 12-4], а также работах зарубежных исследователей [7, 15], будем использовать модель дипольного магнитного поля с магнитным моментом, антипараллельным оси вращения Земли. В рассматриваемой модели магнитного поля основной вклад в геоэлектрическое поле на плазмосферных высотах дает, как известно, электрическое поле коротации, которое в модели "жесткой" коротации определяется выражением:
Екор = 1 (r х W) х B,
(11)
где й - вектор угловой скорости вращения Земли. Из (11) с учетом доказанного условия (2) следует выполнение условия (3).
Покажем, наконец, что для субмикронных частиц, движущихся в плазмосфере Земли, имеет место выполнение условия квазиравновесности электрического заряда микрочастицы (1).
С целью исследования вопроса об отклонении фактического потенциала МЧ от квазиравновесного была проведена серия численных экспериментов по моделированию динамики МЧ в плазмосфере Земли. Была использована программа численного моделирования движения мелкодисперсных частиц (МДЧ) в плазмосфере с учетом воздействия на МДЧ электродинамических сил, основанная на совместном численном решении уравнений движения и уравнения зарядки МДЧ. При этом на каждом шаге интегрирования определялся равновесный потенциал Феч как решение уравнения баланса заряжающих токов:
Jp + Jp + Jph + Jfield - emission (12)
В плазмосфере ток на микрочастицу плазмен-
те
ных электронов J значительно превышает суммарный ток ионов плазмы J , фотоэлектронов Jph и ток автоэлектронной эмиссии Jfield_emisslon
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.