научная статья по теме O КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛАХ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ Математика

Текст научной статьи на тему «O КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛАХ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 75. Вып. 3, 2011

УДК 531.381, 531.395

© 2011 г. В. Ю. Ольшанский

О КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛАХ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ

Рассматривается механическая система, состоящая из неизменяемого твердого тела (носителя) и подсистемы, конфигурация и состав которой могут изменяться со временем (движение ее элементов относительно носителя задано). Система движется в однородном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки носителя. Найден общий вид квадратичного интеграла при отсутствии динамической симметрии, получены необходимые и достаточные условия его существования. Найдены условия, когда интеграл распадается на два независимых интеграла и уравнения движения приводятся к автономному виду.

1. Постановка задачи. Уравнения движения носителя системы переменного состава можно записать в форме [1, 2]

уж = у х x + Лx + у х a + N ув = у х x; N = Mr + ^ + M/ (1.1)

Здесь у — орт вертикали, x — угловая скорость главной системы отсчета (ГСО), заданной главными осями оператора инерции / системы в неподвижной точке О, у — кинетический момент системы, у = ^ + ^ где K — кинетический момент в движении относительно ГСО, точкой обозначена производная по времени в ГСО, a = Ргс, Р — вес системы, гс — радиус-вектор центра масс, Mrи M/ — главные моменты реактивных сил и сил инерции в движении относительно ГСО. Имеем

Уравнения (1.1) эквивалентны известным уравнениям [3] вращательного движения системы переменного состава. В частном случае системы постоянного состава и изменяемой конфигурации имеем Л = 0, Mr = 0, M/ = — тогда N = 0 и получаем уравнения Лиувилля (см. например [4], с.162). Если дополнительно величины / и K постоянны в ГСО, то уравнения описывают движение уравновешенного гиростата и К — кинетический момент ротора (гиростатический момент).

Решается задача получения условий существования квадратичного интеграла

К = X ШпХп х С М f = тпгп х гГ

(1.2)

Симметрический оператор Л задается тождеством [2]

(1.3)

(у, ву) + (у, ву) + (у, Оу) + у) + (п, у) + ф(г) = сошг

(1.4)

и нахождения его явного вида, т.е. выражения операторов В(0, в(0, 0(0 и функций п(0, ф(0 через операторы /, Л и векторные величины a, ^ N которые считаются заданными функциями времени.

Квадратичный интеграл вида (1.4) при G = Q = 0 и условия его существования были найдены ранее [1]. Были получены [2] необходимые и достаточные условия существования двух квадратичных интегралов свободного движения (a = 0, G = Q = 0, n = 0).

В настоящей работе получены условия существования квадратичного интеграла общего вида (1.4), найдены условия, когда интеграл распадается на два независимых квадратичных интеграла. Показано, что в последнем случае уравнения движения приводятся к автономному виду.

2. Основные результаты. Далее всюду рассматриваем случай, когда центр масс не совпадает с неподвижной точкой, и динамическая симметрия отсутствует.

Справедливы следующие утверждения, доказательство которых приведено в разд. 3, 4.

Предложение 1. Оператор F имеет вид

F = у:Е + у2/—1 (2.1)

Предложение 2. Операторы G, Q пропорциональны тождественному оператору: G = = pE, Q = qE.

Интеграл (1.4) при учете предложений 1, 2 записывается в виде у У + V2(y, J-1y) + P(Y, y) + (m, y) + (n, Y) + ф(0 = const (2.2)

Предложение 3. Еслиp = 0, то при a ф 0 и отсутствии динамической симметрии параметр у: равен нулю.

Отметим, что при p = 0 (G = 0), у: = 0 интеграл (2.2) принимает вид, рассмотренный ранее [1]. Далее будем рассматривать случай G ф 0.

Предложение 4. Для существования интеграла необходимо условие

xnAf1 = x 22 A-1 = x33 A3-1 = x (2.3)

где Xjj = (ef, Лв,-), ef — орты главных осей, Л, — главные моменты инерции системы в точке О.

Обозначим

а, = Л,М, М = A — Ak)8ijk (2.4)

Предложение 5. Для существования интеграла (2.2) при у2 ф 0 необходимо, чтобы функции а¡(t) были пропорциональны:

а, = а0, a(t), a0i = а,(0), i = 1, 2, 3 (2.5)

Используем обозначения ( t \

в = exp

- J Я (¡5 )d ¡5

A Л2 Л3Р ,

Л01Л02 Л03а'

s = atr/ - Ja (2.6)

Теорема 1. Для существования квадратичного интеграла (1.4) механической системы изменяемой конфигурации и состава без динамической симметрии, движущейся в однородном поле силы тяжести вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром масс, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1) оператор Л имеет вид Л = Л: + Л2, где Л: = X/, а оператор Л2 задан тождеством

Л^ = n [(/z) х a + /(a х z)] (2.7)

2) P—1(nE + цх/—1) = C = const, ц = const

3) х/—1(п + K) = b = const, n: = ns + 2^a

4) N = XK — (Рп^/Р + 2n(K — n/a) х a

Интеграл (2.2) имеет вид

(u, Cu) + (u, v) = const; u = ß(y + n:), v = у - 2цЬ (2.8)

Система уравнений (1.1) при существовании интеграла (2.8) может быть записана в виде

du/dт = u х J_1u + 2ß2 (Cu) x a - (ß/x)u x b + ß2v x a

-1 -1 ( )

dv/dт = v x J u + (ß/x)b x v + 2цЬ x J u, dт = dt/ß

Условия 2-4 теоремы 1 и интеграл (2.8) содержат постоянный параметр ц. Если эти условия выполнены только для одного значения ц, то существует только один интеграл вида (2.8). Случай, когда условия 2-4 выполняются при произвольном значении постоянной ц и интеграл распадается на два независимых интеграла, приведен в теореме 2.

Теорема 2. При движении механической системы, описанной в теореме 1, существуют два квадратичных интеграла вида (1.4) при выполнении условия 1 теоремы 1 и условий

1) J = v(i)Jo, 2) n = noß, 3) a = (vß2)-1a0, 4) K = ß-%, 5) N = Xß-1Ko - 2no (vß2)-1ao x (K - По« Интегралы могут быть записаны в виде

no(vßJox + Ko + noso)2 + (vßJox + Ko + noso, Y) = const (2.Ю)

(vß)2(x, Jox) + 4noVß(Joao, x) + 2(a,, Y) = const (2.11)

Для системы постоянного состава и конфигурации J = const, Л = o, тогда в условии 1 теоремы 2 v = 1, а из первой формулы (2.6) при X = o получим ß = 1. При Л2 = o из условия (2.7) следует n = o, тогда и no = o. Формулы (2.Ш), (2.11) дают в этом случае известные интегралы проекции кинетического момента и энергии для гиростата

(Jx + K, y) = const, (x, Jx) + 2(a, y) = const

Отметим, что при no ф o, т.е. при Л2 ф o, интеграл (2.Ю) связывает квадрат модуля кинетического момента с проекцией кинетического момента на вертикаль. Такая связь в системе постоянного состава отсутствует.

Система (1.1) приводится к автономному виду. При Л2 ф o получаем уравнения

dz/dB = z x (J01 z + d) + w x c, dw/d9 = w x (J1 z + d) + z x c (2.12)

где

d9 = dt/(ßv), z =ß y + nos o, w = z + у/По (2 13)

c =Поаo, d = 2c - (trJo)Jo-1c - Jo-1Kо Систему (2.12) можно записать в форме

dz/dB = z x dH/dz + w x SH/öw, dw/dB = w x dH/dz + z x dH/dw

где гамильтониан помимо квадратичных содержит линейные слагаемые, допускающие различную физическую интерпретацию [4]:

H = (z, J-1 z)/2 + (d, z) + (c, w)

Функциями Казимира последней системы являются F1 = z2 + w2, F2 = (z, w); кроме того, существует интеграл H = const. Для указанных выше переменных z, w получаем

F2 = (z noz + Y)/no , f1 = 2nof2 + y2 / по

Интеграл F2 = const совпадает с интегралом (2.10), интеграл F1 = const — следствие геометрического интеграла y2 = 1, и получаем еще обобщенный интеграл энергии H= = const, заданный формулой (2.11).

Если для механической системы изменяемой конфигурации и состава Л2 = 0, то уравнения (1.1) приводятся к виду, описывающему движение гиростата:

dz/d9 = z х J1 (z - K0) + y x a0, dj/d9 = y x J1 (z - K0) (2.14)

с интегралами

(vp/0x + K0, j) = const, (vP)2(x, J0x) + 2(a0, j) = const

3. Доказательство теоремы 1. Сначала дадим доказательства предложений 1-4, затем после формулировки и доказательств предложений 6-11, докажем предложение 5. Дифференцируя выражение (1.4) в силу системы (1.1), получим тождество

(2Fy + Gy + m, y x J + r x y + LJ + yx a + L) + (y, Q *y + n *) +

+(y, F'y + G'y + m) + (gty + 2Qy + n, y, JЛ - r) + y = 0 (3.1)

Здесь r = J-1K, L = N - Лг.

Выделяя члены с j3, получим тождество (Fy, y, J-1y) - 0, откуда следует представимость оператора F в виде (2.1).

Выделяя члены с j2j, из тождества (3.1) получим

(Gy, y, J-1y) + (GTy, y, J-1y) - 0 или GT(y x J-1y) + J-1y x GTy - 0

Полагая y = e¡, имеем GTe¡ = g¡e¡. Записывая последнее тождество в координатной форме, получим систему условий

AiÁgj + AjÁgi = 0, i фj, i = 1, 2, 3, Agí = (gj - gk) 5iJk

Отсюда следует, что g1 = g2 = g3, и, обозначив gi = p, получим G = pE. Выделяя в тождестве (3.1) члены с y2J, получим тождество

(Gj, Y, J-1y) - 0, или j х Qj - 0

Следовательно, Q = qE. Так как y2 = 1, то слагаемое (j, Qj) в интеграле (2.2) включим в ф(0.

Предложения 1, 2 доказаны.

Докажем предложение 3, для чего выделим в тождестве (3.1) члены с yj и, учитывая предложения 1, 2, получим тождество

2(Vly + v2J-1y, Y, a) + p(Y, ЛJ-1y) + p'(y, j) + (n, j, J-1y) - 0 (3.2)

Полагая здесь сначала j = ei, y = Ajej, затем j = e/, y = A,«,- и складывая полученные равенства, придем к условиям

pXij = -^AA^ (i, j, k) (.3)

Если a ф 0 и AAkф 0, отсюда приp = 0 следует = 0.

Для доказательства предложения 4 положим в тождестве (3.2) y = ef, y = Aiei и получим условия, приводящие к условию (2.3):

p' + A— rkip = 0, i = 1, 2, 3 (3.4)

Предложение 6. Параметр p(t) можно записать в виде

p = poP, po = const (3.5)

Доказательство следует из условий (2.3), (3.4) и определения (2.6) функции P(t).

Предложение 7. Параметры Ч- (i Ф j), V можно записать в виде

Ч = -nbA}flk(i, j, k), Vi = pn = poPn (3.6)

Доказательство. При p Ф 0 из условий (3.3) следует, что параметры должны быть пропорциональны AAkak. Обозначив = pn, получим равенства (3.6).

Предложение 8. Для существования интеграла (1.4) при p Ф 0 необходимо выполнение условия 1 теоремы 1.

Доказательство. Запишем оператор Л в виде Л = Л1 + Л2, где Л1 = J. Из предложения 4 следует, что (ef, Л1ei) = Чй, тогда (ei, Л2ei) = 0. Диагональные элементы матрицы оператора (в главном базисе) Л2, заданного тождеством (2.7), равны нулю, а внедиаго-нальные определяются первой системой равенств (3.6).

Предложение 9. Параметр n в интеграле (1.4) имеет вид

n = v1s + 2y2a (3.7)

Доказательство. Тождество (3.2) при условиях (3.3) — (3.5) записывается в виде Vi«y, Y, a) + <J—1y, Jy, a» + 2^ <J—1y, Y, a) +

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»