научная статья по теме О МАГНИТО-РОТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЗЕМНОМ ЯДРЕ Геофизика

Текст научной статьи на тему «О МАГНИТО-РОТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЗЕМНОМ ЯДРЕ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 4, с. 3-7

УДК 550.380

О МАГНИТО-РОТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЗЕМНОМ ЯДРЕ

© 2014 г. С. Л. Шалимов

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: pmsk7@mail.ru Поступила в редакцию 05.08.2013 г.

Анизотропия конвекции в земном ядре может стать причиной его нетвердотельного вращения. При наличии дифференциального вращения возможна раскачка магнито-ротационной неустойчивости (неустойчивость Велихова) в жидком ядре. Показано, что развитие магнито-ротационной неустойчивости гидромагнитных течений жидкого ядра Земли может обусловливать вариации геомагнитного поля, наблюдаемые на земной поверхности.

Ключевые слова: устойчивость гидромагнитных течений, магнито-ротационная неустойчивость, земное ядро, геомагнитные джерки.

DOI: 10.7868/S0002333714040152

ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на достигнутые успехи компьютерного моделирования геодинамо (см. обзоры [Kono, Roberts, 2002; Jones, 2011] и ссылки в них), в которых получены интенсивность, морфология и часть вариаций (инверсии) магнитного поля, свойственные геомагнитному полю, ряд особенностей поля, наблюдаемых на земной поверхности, был воспроизведен только качественно и при специальных предположениях о параметрах, далеких от таковых для земного ядра. Примером являются квазистационарные пятна повышенной интенсивности геомагнитного поля на высоких широтах, соответствующие двум магнитным трубкам, связывающим северное и южное полушария Земли (в северном полушарии эти пятна нормальной полярности локализованы в северной Америке и в Сибири и центрированы вблизи широт 60°). В компьютерном моделировании [Christensen et al., 1998] наблюдали шесть пятен (вместо двух), и их появление связывали с конвективными колонками Робертса—Бюссе. В расчетах число Экмана было 10-4 (вместо 10-14 для ядра), а магнитное число Прандтля — порядка 1 (вместо 10-5 для жидкого металла). С уменьшением числа Экмана количество колонок может только возрастать. В других расчетах [Willis et al., 2007] магнитные аномалии также наблюдали только при использовании параметров весьма далеких от земных (число Рей-нольдса порядка критического и число Робертса порядка 10, вместо 10-6). При этом конвекция была очень слабой (тогда как для существования инверсий нужна сильная конвекция), поэтому фиксация магнитных аномалий была обусловлена не определенной модой конвекции, а предпи-

санными граничными условиями на нижней границе мантии. Эти недостатки расчетов указывают на неполноту наших представлений о крупномасштабных движениях в ядре Земли, что требует их дальнейшего изучения.

В связи с этим отметим, что в недавно проведенных лабораторных экспериментах с жидким натрием между дифференциально вращающимися сферами, пронизанными аксиальным магнитным полем, была, в частности, зарегистрирована генерация тонкой структуры магнитного поля, напоминающей две магнитные трубки [Sisan etal., 2004]. Особенностью этих экспериментов был контроль отсутствия градиентов температуры, поэтому генерацию структур магнитного поля невозможно связывать с традиционным механизмом геодинамо, основным атрибутом которого служит конвекция. Сами авторы [Sisan et al., 2004] интерпретировали появление указанных мод магнитного поля как развитие магнито-рота-ционной неустойчивости (МРН), обнаруженной Велиховым в 1959 году [Велихов, 1959]. Эта неустойчивость возникает вследствие дифференциального вращения проводящей жидкости, пронизанной аксиальным магнитным полем, когда зависимость азимутальной скорости вращения жидкости от радиуса подчиняется условию: dQ/dr < 0. Спецификой планетарного динамо является появление принципиально различных по свойствам конвекции областей внутри и вне Тейлоровского цилиндра, что отражается и на различном поведении дифференциального вращения в этих областях [Решетняк, 2010].

Следует отметить, что в недавнем обзоре [Ша-лыбков, 2009] сама возможность наблюдения

МРН в установках с жидким металлом подвергалась сомнению на том основании, что малое магнитное число Прандтля для жидких металлов неизбежно соответствует большому числу Рей-нольдса, так что жидкость всегда турбулентна, что не соответствует исходному состоянию для развития МРН. Однако авторы [Sisan et al., 2004] вполне понимали специфику исходного состояния, и их утверждение состоит как раз в том, что МРН может иметь место и в данном случае.

Условия эксперимента [Sisan et al., 2004] были смоделированы на компьютере [Gissinger et al., 2012]. Оказалось, что нестабильности пограничных слоев (тангенциальный цилиндр, слои на сферах) трудно отличить от признаков развития МРН, поэтому вопрос нуждается в дальнейшем изучении.

Вопрос об условиях существования МРН в ядре Земли практически не привлекал внимание исследователей (на это указано в работе [Велихов, 2005]). Исключением является работа [Petitde-mange et al., 2008], где эта неустойчивость была рассмотрена с учетом диссипации и в максимально упрощенной постановке задачи, когда задавалось только аксиальное магнитное поле. При этом вопрос о происхождении нетвердотельного вращения не был рассмотрен.

Условие нетвердотельного вращения dQ/dr < 0, необходимое для развития МРН, в ядре может быть выполнено за счет конвекции (благодаря которой устанавливается дифференциальное вращение, см., например, численное моделирование [Miyagoshi et al., 2010], где в пределе малой вязкости, когда число Экмана Ek = 0(10-7), устанавливался режим двойной конвекции, со слоями вблизи твердого ядра и в виде зонального течения ближе к границе ядро-мантия) за счет супервращения твердого ядра и на пограничных слоях (на границах тангенциального цилиндра или границе ядро—мантия).

В настоящей работе рассмотрен вопрос о возможной генерации МРН при условии, что дифференциальное вращение в жидком ядре обусловлено анизотропией конвекции, и показано, что характерное время развития неустойчивости близко к наблюдаемым на земной поверхности вариациям геомагнитного поля.

ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ

Устойчивость дифференциально вращающейся проводящей жидкости, погруженной (в классической постановке задачи [Велихов, 1959]) в вертикальное магнитное поле, рассматривали во

многих работах [Lakhin and Velikhov, 2007; Petitde-mange et al., 2008].

Дисперсионное соотношение для рассматриваемой неустойчивости может быть получено из простых физических соображений. Действительно, известно, что конвекция на быстровращаю-щейся планете реализуется в виде вихревых движений — квазигеострофических колонок поля скорости, вытянутых вдоль оси вращения на весь масштаб вращающейся жидкости L. При этом поперечный масштаб колонок l оказывается значительно меньше продольного L. Однако вихревые движения приводят к нарушению теоремы Пра-удмена—Тейлора, причем реалистические оценки плотности магнитной энергии в геодинамо следуют из предположения о магнитострофическом (а не геострофическом) балансе, когда сила Корио-лиса уравновешена силой Лоренца (см. например, [Решетняк, Соколов, 2003]). Поэтому после применения оператора ротора линеаризованное уравнение баланса импульса для достаточно медленных движений в пренебрежении вязкостью и

дО .. гл

возмущением температуры, а также при г— <§ О

дг

примет вид

2Vx(Qxv) = -^ УхГв0 ^, (2)

ЦоР ^ dzJ

а уравнение индукции будет иметь вид

(| + (Foe ф + v)-v) (Вое z + Ь) = (3)

= (Вое z + Ь) • V)(eф + v) + ЛА (Foeф + v).

При выводе (2), (3) было учтено, что в цилиндрической системе координат (г, ф, z): k = kez — волновой вектор, V = F0e ф + v = rQ (г) e ф + v, B 0 = B0e z — магнитное поле, fi — частота вращения, b, v — возмущения магнитного поля и скорости, пропорциональные exp (yt + ikzz).

Соответственно, радиальная и азимутальная компоненты уравнений (2), (3) будут

= ^ b = ^ I

ИoP ИоР

( у + цк2 ) br = ikB0vr, (у + цк2 ) = ikBov ф + r ^ br.

V ! dr

(4)

(5)

Комбинируя первые и вторые уравнения (4), (5), получим дисперсионное соотношение в виде

(КУА )4 + 4Р2 (у + цк2 )2 + (кУА )2 г ^ = 0. (6)

ч > дг

О МАГНИТО-РОТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЗЕМНОМ ЯДРЕ

5

Здесь Ул = Б/ х/ЙсР — альвеновская скорость, ц0 — магнитная проницаемость, п — сопротивление. Из (6) находим инкремент неустойчивости:

Y

.за

дг

1/2

- (RV,)2 I -пк

откуда получаем оценку максимального инкремента (соответствующего оптимальному волновому числу):

Y m

да

дг

TT

+ Л2 -1

Л

(7)

Здесь Л = уЦ2цО — число Эльзассера, с ростом которого третий сомножитель в (7) стремиться к единице.

ОЦЕНКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ

Поскольку конвекция в жидком ядре Земли реализуется в виде конвективных ячеек, продольный размер которых много больше поперечных [Zhang, Busse, 1989], то такая конвекция анизотропна, и она может стать причиной возникновения дифференциального вращения в ядре.

Следуя идее работы [Никитина, Рузмайкин, 1992], не будем учитывать молекулярную вязкость в основном течении, и считаем вне пограничных слоев амплитуды пульсаций скорости постоянными, причем пульсации vr, vz — независимыми. Тогда r, z — компоненты уравнения Рейнольдса (см., например, [Лойцянский, 1987]) после усреднения примут вид:

.V2)

(8)

= (v^ T dp

dz Ог2 p dz

Рассмотрим теперь ф-компоненту уравнения Рейнольдса

1 dl 2

i-2 dr

(pr2 (vrv,)) + dZz (p<VzV9» = 0, (9)

в котором, согласно полуэмпирической теории турбулентности [Монин, Яглом, 1992], напряжения Рейнольдса определяются из соотношений

С= (^г)д^г + {{(г) - (^ср)) С ^ zv <р) = (V zv z} 1Г Г'

дz

где С — константа связи, такая что С= vT, vT — турбулентная вязкость.

Для оценки осредненных произведений пульсаций скорости рассмотрим конвективный элемент, поднимающийся от твердого ядра к мантии. При подъеме этого элемента сила Кориолиса закручивает его вокруг оси вращения (на угол 8ф), а сила Архимеда отклоняет в радиальном направлении (на угол 8г). Соответственно можно написать

оценки = "^8;:, (у^) = v2zд2, где Vz - ско-

рость конвекции.

С учетом этих соотношений, оценивая слагаемые в (9), получаем

dQ , , l dQ п

—г + 2Qa + — г— = 0,

дг L dz

(10)

а = ((vrvr) - (V^ф)>/,

Сравнивая последние два слагаемых в (10) с учетом (8), можно получить оценку а = у^/20Ь, и, следовательно, дифференциальное вращ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком