научная статья по теме О МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОСЫ Математика

Текст научной статьи на тему «О МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОСЫ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 75. Вып. 1, 2011

УДК 539.3:534.1

© 2011 г. В. Н. Паймушин, Т. В. Полякова О МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОСЫ

Проведен анализ уточненных уравнений свободных колебаний стержня-полосы, построенных ранее в первом приближении путем редукции двумерных уравнений к одномерным путем использования тригонометрических базисных функций и удовлетворения статическим граничным условиям на граничных поверхностях. Эти уравнения, решения которых найдены для случая шарнирного опирания торцевых сечений стержня, разделяются на две обособленные системы уравнений. Первой из них описываются неклассические бессдвиговые продольно-поперечные формы свободных колебаний (ФСК), сопровождающихся искажением плоской формы поперечных сечений. Показано, что соответствующие им частоты колебаний сильно зависят от коэффициента Пуассона, модуля упругости в поперечном направлении и для стержней средней толщины при одном и том же значении частотного параметра (тона) могут быть значительно ниже частот, соответствующих классическим продольным ФСК, совершающимся с сохранением плоской формы поперечных сечений. Второй системой уравнений описываются поперечные изгибно-сдвиговые ФСК, частоты которых уменьшаются при уменьшении модуля поперечного сдвига. По качеству и содержательности они практически эквивалентны аналогичным уравнениям известных вариантов уточненных теорий, но, в отличие от них, при увеличении номера тона и уменьшении параметра относительной толщины приводят к решениям по классической теории стержней.

Главная цель большинства исследований по разработке уточненных вариантов теории стержней, пластин и оболочек с учетом поперечных составляющих деформации состояла в уточнении классических уравнений, основанных на гипотезах Бернулли— Эйлера (для стержней) и Кирхгофа—Лява (для пластин и оболочек). К настоящему времени разработан ряд подходов к построению таких уточненных теорий, которые основаны на менее жестких допущениях, чем отмеченные классические гипотезы. Это прикладные уточненные теории С.П. Тимошенко, С.А. Амбарцумяна, Э. Рейссне-ра, В. Койтера, П. Нагди и др. Они в первую очередь позволяют учитывать влияние деформаций поперечных сдвигов и расширяют область применения развитых теорий к расчетам элементов конструкций из современных композитных материалов. Многочисленные конкретные результаты, а также библиография работ, относящихся к указанным теориям, приведены и проанализированы, в частности, в серии монографий ([1—6] и др.) и обзоров ([7, 8] и др.).

При анализе предлагаемых уточненных уравнений авторы всегда сравнивают между собой решения тех или иных задач, получаемых исходя из классических и уточненных уравнений. Такое сравнение, как правило, проводится или по определяемым полям перемещений, деформаций и напряжений при постановке задач статики, или по частотам и формам собственных колебаний при постановке динамических задач, или по критическим нагрузкам и формам потери устойчивости при постановке задач

устойчивости. В результате таких сравнений, как правило, пытаются доказать, что для постановки тех или иных задач механики деформирования тонкостенных конструкций предлагаемые уравнения — более точные, чем классические уравнения.

Для обоснования и формулирования цели проводимых ниже исследований следует остановиться на анализе работ [9—11], посвященных построению точных аналитических решений линейных задач теории упругости о частотах и формах свободных колебаний, т.е. решений, удовлетворяющих как уравнениям движения, так и сформулированным граничным условиям. В первых двух из них была рассмотрена двумерная задача о плоских формах свободных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с незакрепленными краями, свободными от усилий. На базе двойных тригонометрических базисных функций при точном удовлетворении всем статическим граничным условиям были найдены аналитические решения задач в виде компактных формул для определения частот и функций перемещений для описания форм колебаний, являющихся бессдвиговыми. В дальнейшем в [11] такие же аналитические решения трехмерной задачи были найдены и для пространственного ортотропного прямоугольного параллелепипеда со свободными гранями.

Анализ результатов, полученных в указанных работах, приводит к следующим выводам.

1) Построенными решениями, соответствующими нулевой гармонике в одном из направлений, описываются как чисто изгибные, так и чисто продольные безсдвиго-вые формы колебаний, соответствующие классической модели Бернулли—Эйлера в теории стержней и Кирхгофа—Лява в теории пластин. Эти решения характеризуются сохранением плоской формы поперечных сечений, т.е. точки, находящиеся в плоскостях, нормальных к осям координат до деформации, остаются в нормальных плоскостях и в деформированном состоянии.

2) Уравнения, описывающие плоские формы движения (в частности, свободные колебания), соответствующие плоскому напряженному состоянию, и их решения могут быть получены из трехмерных уравнений и их решений только в предположении о том, что нормальное напряжение равно нулю не только на соответствующих свободных гранях тела, но и на всех внутренних гранях, параллельных граничным. Однако частоты плоских продольных форм колебаний, найденные из таких уравнений, не всегда являются наинизшими по сравнению с другими. Например, для плоского стержня-полосы или пространственного бруса наряду с формами продольных колебаний, совершающихся с сохранением плоской формы поперечного сечения (известные в литературе классические решения), имеются также и бессдвиговые продольно-поперечные ФСК, которые характеризуются искажением плоской формы поперечного сечения. Если на двух противоположных гранях перемещения в перпендикулярных к ним направлениях не стеснены, то частоты свободных колебаний, соответствующих второй из указанных форм, на 20—30% ниже по сравнению с частотами, соответствующими сохранению плоских форм поперечных и продольных сечений.

В силу сформулированных выводов представлялось целесообразным использование тригонометрических базисных функций для понижения размерности трехмерных уравнений теории упругости и построение на их основе таких одномерных уравнений теории стержней и двумерных уравнений теории пластин и оболочек, которыми при минимальном количестве вводимых в рассмотрение искомых функций удается удовлетворить статическим граничным условиям на незакрепленных лицевых поверхностях пластин и оболочек, учесть при этом деформации поперечных сдвигов и обжатия, выявить на их основе все классические и неклассические формы колебаний. Кроме того, такие уравнения без дополнительных дифференциальных преобразований должны допускать переход к классическим одномерным уравнениям теории стержней

и двумерным уравнениям теории пластин и оболочек, основанным на классических гипотезах Бернулли—Эйлера и Кирхгофа—Лява.

Были построены [12] точные и приближенные уравнения статики и динамики стержня-полосы, удовлетворяющие сформулированным выше условиям и требованиям. Понижение размерности двумерных уравнений плоской задачи линейной теории упругости было осуществлено путем аппроксимации поперечных нормальных и касательных напряжений в направлении поперечной координаты на базе одинарных тригонометрических функций, что позволило удовлетворить статическим граничным условиям на продольных гранях путем введения в рассмотрение минимального количества неизвестных одномерных функций.

Было показано [13], что решения модельных задач о напряженно-деформированном состоянии стержня-полосы при некоторых видах нагружения, полученные на основе указанных уравнений, с точностью 0(е5) (б < 1 — относительная высота полосы) совпадают с точными решениями, найденными исходя из двумерных уравнений плоской задачи теории упругости. Эти результаты позволяют предложенную ранее [12] обобщенную уточненную модель рекомендовать к практическому применению, как имеющую весьма высокую степень точности для задач статики.

Ниже проводится исследование качества и содержательности предложенной ранее [12] уточненной модели при постановке и решении задач о свободных колебаниях стержня-полосы с шарнирно опертыми торцевыми сечениями.

1. Постановка задачи. Рассмотрим стержень-полосу из ортотропного материала, имеющую размеры a и 2h вдоль осей х = х и х3 = г, малые свободные колебания которой описываются уравнениями движения плоской задачи теории упругости

Здесь введены общепринятые обозначения для производных перемещений и и w по пространственным координатам х и г, модулей упругости Еъ Е3,013 и коэффициентов

р — плотность материала, ш — круговая частота свободных колебаний.

Граничным условиям (1.2) удовлетворяет представление перемещений и, w в виде

/1 = Е*и, хх + (С1з + VзEl*) ^ хг + ОпЫгг + О^и = 0 /3 = ЕзЧгг + ( + VlзEз*)u, хг + ^,хх + = 0

(1.1)

при статических граничных условиях г = 0, г = 2Н : wtZ + у13их = 0, и,г + w¡x = 0

(1.2)

2

(1.3)

X к = кк/ (2Н), к = 1,2,...

Из них при k = 0 следуют представления

и = и0 - ^0, w = >^0 - v13zU0, 0 < г < 2к

которые в случае v13 = 0 соответствуют классической модели Бернулли—Эйлера в теории стержней и Кирхгафа—Лява в теории пластин и оболочек. В связи с этим для практического использования была предложена [12] уточненная обобщенная модель

Кирхгофа—Лява первого приближения, которой соответствует представление перемещений в виде

и = и -С, Щ Чу 8т + ф'°08 ^, = Щ + ф8т

(1.4)

Х1 = л/(2Н), - Н Н

При использовании соотношений (1.4) для определения компонент напряжений Оц = £,*(ец + v31s33); 1,3, с13 = С^13у13 имеют место соотношения

СТц = Е1

ст13 = со8Х^

17*

О33 = Е3

и'- ^ Ж " + у ^т Х]С, + ф"008^1^ + v31X1фcos Х^

(1.5)

Х1фС08^1^ + V13 и'- ^ Ж"+ у ^тХ^ + ф"008-^!^

V

из которых видно, что граничные условия с13| ^=+Н = 0 удовлетворяются точно, а условия с33| ^=+Н = 0 — только при v13 = 0; функцией у описывается деформация поперечного сдвига, а функцией ф — поперечного обжатия. При ф = 0, у = 0 из представлений (1.4) следуют соотношения классической теории, а из представлений (1.5) — соотношения упругости классической теории только при v13 = 0.

Представлениям (1.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком