ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.381:534.1
© 2004 г. А.П. Маркеев
О МАЯТНИКООБРАЗНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУЧАЕ ГОРЯЧЕВА - ЧАПЛЫГИНА
Рассматривается движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Геометрия масс тела и начальные условия его движения соответствуют случаю интегрируемости Горячева - Чаплыгина [1, 2]. В этом случае существуют периодические маят-никообразные движения, отвечающие колебаниям или вращениям тела вокруг оси динамической симметрии, занимающей неизменное горизонтальное положение. Решается задача об орбитальной устойчивости этих движений. Найдено явное решение линеаризованных уравнений возмущенного движения и показано, что в линейном приближении колебания и вращения тела орбитально устойчивы, а нелинейная задача об устойчивости всегда является резонансной: при любой амплитуде колебаний (или любой угловой скорости вращения) тела в невозмущенном движении его возмущенное движение таково, что имеет место резонанс четвертого порядка (два отличных от единицы мультипликатора чисто мнимы и равны +0. Показано, что в нелинейной постановке задачи маятникообразные колебания тела всегда орбитально неустойчивы, а вращения устойчивы.
1. Введение. Пусть твердое тело имеет одну закрепленную точку О и движется в однородном поле тяжести. Вес тела mg, расстояние от неподвижной точки до центра тяжести равно I. Пусть ОХУ2 - неподвижная система координат, ось О2 которой направлена вертикально вверх. Другая система координат Охуг жестко связана с движущимся телом, ее оси Ох, Оу и Ог направлены вдоль главных осей инерции тела для точки О, соответствующие главные моменты инерции равны А, В и С. Через х*, у*, г* обозначим координаты центра тяжести в системе Охуг. Предположим, что геометрия масс тела отвечает случаю Горячева - Чаплыгина [1 - 6]. Тогда, считая, что А = В = 4С, г* = 0, можно без ограничения общности положить х* = I, у* = 0.
Ориентацию тела зададим при помощи углов Эйлера, которые вводятся обычным образом. Уравнения движения имеют вид [7]
4^-3 qr = 0, dt 4
(1.1)
Y j = sin 0 sin ф, y 2 = sin 0 cos ф, y 3 = cos 9 Введено обозначение j2 = mgl/C.
В случае интегрируемости Горячева - Чаплыгина имеется ограничение на начальные условия движения. Они должны быть такими, чтобы постоянная интеграла площадей была равна нулю, т.е. чтобы выполнялось равенство
4( ру! + qу 2) + гуз = 0 (1.2)
При условии (1.2) уравнения движения (1.1) помимо интеграла энергии и интегра-
222
ла у! + у 2 + Y з = 1 имеют еще и дополнительный интеграл
г(p2 + q ) - ц2ру3 = ц3с (c = const) (1.3)
Наличие дополнительного интеграла (1.3) позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам. Аналитическим свойствам решений уравнений (1.1) и качественному анализу движения тела в случае Горячева - Чаплыгина посвящено довольно много исследований (см. монографии [3 - 6] и приведенную в них библиографию).
При выполнении условия (1.2) уравнения (1.1) имеют решения, соответствующие плоским маятникообразным движениям тела, для которых
у = const, 0 = п/2, р = q = 0, г = dф/dt, у х = sin ф, у2 = cos ф, у3 = 0
Для этих решений ось Oz динамической симметрии тела неподвижна и занимает горизонтальное положение, а движение тела вокруг этой оси описывается дифференциальным уравнением физического маятника d2y/dt2 + ^2cos ф = 0. Исключая из рассмотрения движения асимптотические к неустойчивому положению равновесия маятника (для него ф = п/2), будем исследовать орбитальную устойчивость колебаний произвольной амплитуды в окрестности устойчивого положения равновесия (ф = 3п/2) или вращений с произвольной угловой скоростью.
2. Функция Гамильтона. Если геометрия масс тела отвечает случаю Горячева -Чаплыгина, то функция Лагранжа задается равенствами
L = T - П, T = 2 C( 4 р2 + 4 q + г2), П = mg/у:
Функция Гамильтона равняется сумме T + П, в которой проекции р, q, г угловой скорости тела выражены через обобщенные импульсы р¥, р0, Рф, определяемые соотношениями
= 4 C (p у! + qy 2) + Cry з, pe = ^ = 4 C (p cos ф - q sin ф), рф = d\|/ Э9 оф
Учтя, что при условии Горячева - Чаплыгина (1.2) величина p- равна нулю, находим отсюда
p = (p9 cos ф - pф ctg 9 sin ф) / (4 C), q = -(p9 sin ф + pф ctg 9 cos ф)/(4 C), r = p^C
Введя затем безразмерные переменные q1, q2, p1, p2 при помощи канонического (с валентностью (Qj)1) преобразования
3п п
ф = у + q^ 9 = 22 + q2, Pф = CJPl, p9 = Cjp2
а также безразмерное время т = jt, получим следующее выражение для функции Гамильтона задачи Горячева - Чаплыгина:
Н = 1 [4+tg2 q2] P2 + P2 -cos qicos qi (2.1)
Дополнительный интеграл (1.3) задачи Горячева - Чаплыгина в переменных qi, pi ( i = 1, 2) записывается в виде
Pi(tg2q2P? + P2) -4sinq2(cosq^gq2pj - sinqxp2) = с (2.2)
3. Постановка задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических движений. Плоским колебаниям и вращениям тела вокруг оси динамической симметрии отвечают решения, для которых q2 = p2 = 0, а q1, p1 описываются каноническими
уравнениями с гамильтонианом Я(0) = 1/2pj - cosq1. Эти уравнения имеют интеграл
H(0) = h = const. При - 1 < h < 1 тело совершает колебания в окрестности устойчивого положения равновесия, для которого центр тяжести тела лежит на вертикали OZ ниже закрепленной точки O. При h > 1 осуществляется режим плоских вращений тела вокруг оси Oz.
Для дальнейшего невозмущенное движение целесообразно записать в переменных действие - угол I, w, как это сделано ранее [8] при исследовании плоских движений волчка Ковалевской. В случае колебаний положим k = sin(P/2), где в - амплитуда колебаний (0 < в < п). Тогда
2K(k1)w
q1 = 2arcsin[k1sn(u, k 1)], p1 = 2k 1cn(u, k 1), u = --(3.1)
п
где
w = Ю1Т + w(0), ®1 = п- ) (3.2)
2 K (k 1)
а k1 = k1 (I) - функция, обратная к функции
I = П[E(k 1) - (1- k2)K(k 1)] (3.3)
В случае вращений положим k2 = 2(1 + h)-1. Тогда
2 K (k2 )w
q1 = 2am(u, k2), p1 = —dn(u, k2), u = --(3.4)
k2 п
где
w = ю2т + w (0), ®2 = rK(r- (3.5)
k2 K (k2 )
а k2 = k2 (I) - функция, обратная к функции 4 E (k 2)
I = (3.6)
nk2
Используются общепринятые обозначения для эллиптических функций и интегралов [9].
В невозмущенном движении имеем q2 = p2 = 0, I = I0 = const, а переменные qx, px при заданном значении I0 определяются формулами (3.1) - (3.3) в случае колебаний и формулами (3.4) - (3.6) в случае вращений.
Положим r1 = I - I0. Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений тела эквивалентна задаче об их устойчивости по отношению к переменным q2, P2, r1.
4. Об устойчивости колебаний. Примем величину в качестве новой независимой переменной. Функцию Гамильтона возмущенного движения можно представить в виде ряда
H = r1 + h2 + H 4 + ... (4.1)
Функции h2 и H4 определяются равенствами
ад)
/ 2 . 2. ТТ 2 2 4
h2 = -4ПГ(Р2 + 4^02^2X H4 = ^20 r1 + Ml2r1 #2 + МЮ4#2
^2 ,2 . П[£(ki) - (1- k\)K(ki)]
Ц02 = 3dn u + k 1-2, Ц20 =--2-2—2-
16k2 (1- k2) K (k1) (42)
12
ц12 = -— [ 1- k 1 + 3sn u dn u( cn u zn u -sn udnu)]
4 (1- k1)
Ц04 = 6k\cn2u + 2k1 - 1)
Величина u определена последней формулой (3.1), k1 соответствует невозмущенному движению. Функция (4.1) п - периодична относительно w. Многоточием в (4.1) обозначена совокупность членов выше пятой степени относительно q2, p2, |r1|1/2.
Интеграл (2.2) для уравнений возмущенного движения также можно представить в виде ряда по степеням величин q2, p2, r1:
#2 + £4+ ••• = c (4.3)
где gn - форма степени n относительно q2, p2, |r1|1/2 с периодическими относительно w коэффициентами. При этом g2 - квадратичная форма относительно q2, p2, имеющая вид
2 2 2 2 2 g2 = 8k1cnu(2k1 - 1 - k 1cn u)q2 + 8k1snudnuq2p2 + 2k1cnup2 (4.4)
Об устойчивости в первом (линейном) приближении. В линеаризованных уравнениях возмущенного движения r1 = const, а изменение переменных q2 и p2, если за независимую переменную принять величину w, описывается уравнениями
aq = dh = Jh (4 5)
dw д p2' dw dq2
Функция h2 определена первым равенством (4.2).
Пусть X(w) - матрица фундаментальных решений системы (4.5), нормированная условием X (0) = E, где E - единичная матрица второго порядка. Элементы Xj(w) матрицы X удовлетворяют уравнениям
dx1: K(k1) dx2: 2K(k 1)
"Г1 = --r^x2.-, =--—Ц02x1,; j = 1, 2 (4.6)
dw 2п 2j dw п ^02 1 j J
и начальным условиям
xn( 0) = x22 (0) = 1, x12( 0) = x21( 0) = 0 (4.7)
Квадратичная часть (4.4) интеграла (4.3) является первым интегралом линейных уравнений (4.5). Используя этот интеграл, уравнения (4.6) удалось проинтегрировать в явном виде и получить следующие выражения для величин
хп = спи скш /(и) , х21 = 28пи [ 4 8п2 и - ( 1 + к\)(1 + к^п4и)]/3(и)
х12 = snu /(и)/2, х22 = спи с!пи ( 1 + к 1 /4и)/ъ (и) (4.8)
2 4 -1/2
/(и) = (1 - к 1sn и) , и = К(к 1)ж/п
Здесь модуль эллиптических функций равен к1. При ж = п матрица Х(ж) будет иметь такой вид:
Х(п) =
п -2
0 a
2
-a 0
a = [ 4 (1- k2 )]1/4 (4.9)
Корни (мультипликаторы) характеристического уравнения этой матрицы
ц2 + 1 = 0 (4.10)
различны и имеют модули, равные единице (ц = i, ц2 = -i). Отсюда следует [10], что изучаемые плоские колебания твердого тела орбитально устойчивы в линейном приближении.
Вычисление характеристических показателей. Резонанс. Пусть ±iX - характеристические показатели линейной системы (4.5). Из равенств ц12 = = exp(±rnX) следует, что величина X будет корнем уравнения cosпХ = 0. Отсюда следует, что X - постоянное полуцелое число, не зависящее от амплитуды колебаний тела в невозмущенном движении. Конкретное значение этого числа можно найти, воспользовавшись непрерывной зависимостью характеристических показателей от величины kj. Для этого рассмотрим колебания тела бесконечно малой амплитуды (kx ^ 0). В предельном случае, когда kj = 0, функция h2 представляет собой гамиль-22
тониан (p2 + 4 q2 )/8 линейного осциллятора с частотой, равной 1/2. Следовательно, X = 1/2. Отсюда, принимая во внимание п - периодичность гамильтониана возмущенного движения по w, получаем, что задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний твердого тела в случае Горячева - Чаплыгина всегда является резонансной: при любо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.