ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 5, с. 150-152
УДК 550.380
О МИНИМАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ГИДРОМАГНИТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЗЕМНОМ ЯДРЕ
© 2013 г. С. Л. Шалимов
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 31.01.2013 г.
Теоретически обоснована зависимость (полученная эмпирически рядом авторов из результатов численного моделирования конвективного динамо) интенсивности геомагнитного поля от мощности тепловой конвекции в жидком ядре Земли. Эта зависимость использована для оценки характерного времени развития джерков.
Ключевые слова: гидромагнитные течения, геодинамо, геомагнитные джерки, земное ядро. БО1: 10.7868/80002333713050074
ВВЕДЕНИЕ
Наблюдаемые вариации геомагнитного поля занимают достаточно широкий временной интервал — от миллисекунд до миллионов лет. Считается, что источники этих вариаций имеют как внутри, так и внеземное происхождение. Внешние процессы приводят к вариациям от миллисекунд (геомагнитные пульсации) до нескольких десятков лет, обусловленным 22-х летним солнечным циклом. Процессам внутри Земли приписывают наблюдаемые вариации, начинающиеся с одного года (джерки), а самыми длительными по продолжительности считают суперхроны — десятки миллионов лет. Для разделения вне- и внут-риземных процессов (в диапазоне от нескольких лет до нескольких десятков лет) обычно применяют сферический гармонический анализ.
Короткопериодные вариации геомагнитного поля (джерки), наблюдаемые на земной поверхности — это сравнительно резкие изменения в скорости вековых вариаций одной (как правило, восточной) или нескольких компонент магнитного поля Земли. Эти вариации определяются темпом изменения магнитного поля на границе жидкого ядра и мантии, а также электропроводностью мантии, через которую должен пройти магнитный сигнал от ядра. Из анализа наблюдений следует, что, в зависимости от интерпретации, длительность индивидуального джерка, может изменяться от нескольких месяцев до 10 лет [Alexan-drescu et al., 1996; 1999; Иванов, Бондарь, 2012].
На сегодняшний день причины возникновения джерков на земной поверхности до конца неясны, однако нет недостатка в гипотезах. В частности, по мнению французских геофизиков, джерк можно связать с дополнительными движениями в верхней части жидкого земного ядра, возникающими при изменении скорости вращения внутренней части ядра [Courtillot and Le Mouel, 1988].
Существуют работы по изучению движений вещества в жидком ядре, которые указывают на возможность вертикальных движений — апвелингов, ускоряющих или замедляющих скорость вращения Земли (что может отражаться и на генерации вековых вариаций геомагнитного поля) [VOorhies, 1986]. Джерки могут возникать из-за нестабильности в тороидальном магнитном поле [Rubcorn, 1985], при взаимодействиии альвеновских волн в жидком ядре [Hide, 1985] и в результате процессов, обусловленных спиральностью турбулентных движений в ядре [Шалимов, 2009].
Таким образом, происхождение джерков, как правило, связывают с достаточно быстрыми процессами в жидком ядре, которые обусловлены нестабильными или турбулентными движениями в нем.
В то же время, начиная с середины 1990-х годов, интенсивно развиваются исследования численных трехмерных моделей динамо во вращающейся сфере, (имитирующих гидромагнитные процессы в жидком ядре), которые не только демонстрируют принципиальную возможность генерации магнитного поля в рамках простейших моделей тепловой конвекции Буссинеска [Glatz-maier and Roberts, 1995], но и позволяют изучать свойства генерируемого магнитного поля в зависимости от параметров диффузионных коэффициентов, интенсивности тепловых источников, дифференциации вещества, видов граничных условий, влияния твердого ядра и других параметров [Roberts and Glatzmaier, 2000; Christensen and Aubert, 2006; Christensen, 2010]. В настоящее время существует достаточное количество таких численных моделей динамо, воспроизводящих как осесимметричные магнитные поля, такие, как геомагнитное, так и поля с магнитными диполями, лежащими в экваториальной плоскости, как у планет-гигантов [Christensen and Aubert, 2006; Christensen, 2010].
О МИНИМАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ГИДРОМАГНИТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
151
В ряде работ на основании результатов, полученных в численном моделировании, началось исследование скейлинга (scaling, масштабная инвариантность) динамо процессов [Christensen and Aubert, 2006; Christensen, 2010]. В настоящей работе эти исследования использованы для оценки характерного времени развития джерков.
ОЦЕНКА ХАРАКТЕРНОГО МИНИМАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ
При численном моделировании конвективного динамо-процесса во вращающейся сфере, как правило, решают систему уравнений движения, магнитной индукции и теплового баланса (с соответствующими граничными условиями) [Roberts and Glatzmaier, 2000; Christensen, 2010]. В рассматриваемом случае для построения скейлинго-вых зависимостей были использованы данные, которые получены для одной и той же базовой модели: конвекция обеспечивалась фиксированным градиентом температуры между внутренней и внешней границей вращающейся сферической оболочки, граничные условия — без проскальзывания, отношение радиусов внутренней и внешней оболочки также фиксировано и равно земному — 0.35 [Christensen, 2010]. Параметры, описывающие скорость вращения, вязкость, электропроводность теплопроводность и тепловой поток изменялись в достаточно широких пределах. Все численные расчеты проводились до достижения некоторого квазистационарного состояния, для которого вычисляли среднеквадратичные величины скоростей и магнитного поля и считали их характерными (усреднение проводили и для других параметров). Полученные таким путем эмпирические параметры позволяли строить различные зависимости и сопоставлять их с известными теоретическими соображениями.
В частности, для скорости конвекции U и интенсивности магнитного поля B были получены следующие степенные эмпирические зависимости от доступного теплового потока qc: U~ (qc)2/5, B ~ (qc)1/3 [Christensen, 2010]. При этом достаточно простое теоретическое обоснование нашлось только для зависимости скорости от теплового потока. Действительно, известно, что конвекция на быстровращающейся планете реализуется в виде квазигеострофических колонок поля скорости, вытянутых вдоль оси вращения на весь масштаб вращающейся жидкости L. При этом поперечный масштаб колонок ¡и оказывается значительно меньше продольного L. Указанную зависимость можно получить непосредственно из уравнения движения, которое для несжимаемой, вращающейся проводящей жидкости, вовлеченной в теп-
ловую конвекцию в присутствии магнитного поля имеет вид [Ландау, Лифшиц, 1982]
р(du + (uV)u) + 2pQeг X u + Vp =
= pvV u + pagTer + j x B. Здесь u — скорость, fi — частота вращения, p — плотность, p — негидростатическое давление, v — кинематическая вязкость, а — коэффициент теплового расширения, g — ускорение свободного падения, T — температура, B — магнитное поле, j =
= ц-V х B — плотность тока, r, z — координаты вдоль радиуса и оси вращения соответственно.
В геострофическом приближении сила Корио-лиса сбалансирована градиентом давления. Однако чисто геострофическое течение не имеет радиальной компоненты и не может переносить тепло от твердого ядра. Если пренебречь вязкостью, то нарушение теоремы Праудмена-Тейлора будет обусловлено в основном вихревыми течениями жидкости. Поскольку сила, определяющая геострофическое течение, — консервативна, то в аксиальном уравнении для завихренности, которое следует из (1) после применения оператора rot, баланс сил определяется слагаемыми, описывающими инерцию pV х (u х (V х u)), силу Корио-лиса 2pQ.du/dz и плавучесть pagV х Ter, где rotu — завихренность. Это приводит к соотношениям
U2 agT 2Q.U
lu
L
(2)
lu lu
Из (2) можно получить искомую оценку скорости [Aubert et al., 2001]
U
Qc
pH,
225 L f qj
lu
L )3/5 {q
QJ [pH,
15
(3)
где Нт = Cp/ag, Ср — удельная теплоемкость, Т — возмущение температуры, а ~ рСриТ, как это следует из уравнения баланса тепла.
В отличие от скорости, полученная эмпирически зависимость интенсивности магнитного поля от теплового потока была обоснована [Christmsen, 2010] из предположения, что та часть энергии потока, которая уходит в джоулеву диссипацию, как раз и определяет энергию магнитного поля. Скей-линг для характерного времени джоулевой диссипации, полученный чисто эмпирическим путем (из данных численного моделирования), показал [Christinsen, 2010], что зависимость В ~ (#с)1/3 в этом случае воспроизводится. Ниже будет дан вывод этой же зависимости для поля, исходя из других соображений.
Для этого воспользуемся правилом скорейшей реакции Голицына для систем, описываемых гидродинамически. Согласно этому правилу [Голицын, 2004], если известно воздействие (мощно-
152
ШАЛИМОВ
сти) на систему, то ее результирующую энергию можно оценить как произведение мощности на наименьшее время реакции, присущее этой системе. Напишем это правило в виде
(4)
11 _ \9с_ ] к.
2^0 Н) Н) и'
где, т — минимальное время, которое, если его ассоциировать с джерками (см. Введение), обусловлено адвекцией в жидком ядре Земли. Поэтому полагаем, что это время определяется временем оборота вихря жидкости т « 1и / и
Далее, известно, что реалистические оценки плотности магнитной энергии в геодинамо получают из предположения о магнитострофическом (а не геострофическом) балансе, когда сила Ко-риолиса уравновешена силой Лоренца (см. например, [Решетняк, Соколов, 2003]). Воспользуемся уравнением (1) и запишем этот баланс сил в виде
iL
(вИо
p2nu.
(5)
Из соотношений (2), следующих из уравнения завихренности, и (5) находим
U
lu
в
л/^ТРЙО
(6)
Подставляя (6) в (4), окончательно получаем оценки минимального времени вариаций течений в жидком ядре (наблюдаемых на земной поверхности) и интенсивности геомагнитного поля
т - 2fe) <piB^J-
ж - (HTГ
(7)
(8)
Таким образом, зависимость B ~ (qc)1/3, найденная эмпирически в работе [Christensen, 2010], воспроизводится. Кроме того, в представлении (8) интенсивность геомагнитного поля не зависит явно от скорости вращения планеты и электропроводности жидкого ядра, чт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.