ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 1, с. 56-73
УДК 519.63
К столетию со дня рождения академика А.А. Дородницына
О МУЛЬТИОПЕРАТОРНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ И СХЕМ ПРОИЗВОЛЬНО ВЫСОКОГО ПОРЯДКА^
© 2011 г. А. И. Толстых
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: tol@ccas.ru Поступила в редакцию 26.07.2010 г.
Приводятся основные результаты развития мультиоператорного метода построения аппроксимаций заданного порядка. Рассматриваются мультиоператоры для различных задач аппроксимации. Особое внимание уделяется мультиоператорам для конвективных членов в уравнениях механики жидкости и газа. Приводятся типы мультиоператорных схем, оцениваются возможности их оптимизации. Представлены результаты решения тестовых задач для схем десятого и восемнадцатого порядков. Библ. 20. Фиг. 4.
Ключевые слова: компактные аппроксимации, мультиоператоры произвольно высокого порядка, уравнения с конвективными членами, мультиоператорные схемы, формулы повышенной точности.
1. ВВЕДЕНИЕ
Одной из тенденций развития современных численных методов является стремление к использованию при решении определенных классов задач методов высокой точности. Не являясь универсальными, такие методы в некоторых случаях позволяют на порядки уменьшить затраты машинного времени путем уменьшения при заданной точности числа степеней свободы (например, числа узлов разностных сеток). При решении пространственных нестационарных задач газовой динамики уменьшение числа узлов в каждом направлении в n раз уменьшает число арифметических операций для каждого временного цикла приблизительно в n4 раз.
Применение методов повышенной точности особенно актуально при численном моделировании нестационарных явлений, характеризуемых наличием широкого диапазона пространственных масштабов, включая самые маленькие.
Ограничиваясь проблемами механики сплошных сред, к таким классам, имеющим практическое значение, можно отнести следующие задачи: моделирование атмосферных процессов; применение прямого численного моделирования (DNS) и методики больших вихрей (LES) для описания турбулентности и других мелкомасштабных явлений; моделирование различных типов неустойчивости течений с возбуждением акустических полей.
Традиционные способы повышения точности и разрешающей способности численных методов так или иначе связаны с увеличением числа базисных функций, на основе которых строятся аппроксимации исходных уравнений. В случае разностных схем это означает увеличение количества узлов в шаблонах (т.е. количества соседних узлов сетки, используемых в аппроксимаци-онных формулах для каждого узла). Оно, в свою очередь, порождает ряд неприятных проблем (в частности, возможность проявления паразитических численных решений, необходимость специальных аппроксимаций в приграничных узлах, влияющих на устойчивость счета, и т.д.). Хотя существуют способы борьбы с этими трудностями, при решении задач из перечисленных выше классов обычно порядки разностных схем не превышают шести. Одним из примеров схем с мно-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00354) и проекта № 3.15 Программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3.
готочечными шаблонами, в котором улучшение свойства монотонности численных решений достигается путем использования линейных комбинаций аппроксимаций на различных шаблонах, являются схемы типа WENO (см., например, [1]).
В [2], [3] был предложен альтернативный способ увеличения порядков аппроксимаций. Вместо увеличения числа базисных функций в интерполяционных полиномах, на которых основаны разностные формулы, было предложено увеличивать число сеточных операторов в их линейных комбинациях, аппроксимирующих исходные операторы. Эти сеточные операторы являются представителями однопараметрических семейств операторов невысокого порядка и отличаются лишь значениями параметра. Их естественно рассматривать как базисные операторы, а линейные комбинации были названы мультиоператорами.
Реализация этой идеи возможна в случае сеточных операторов, определенных на равномерных сетках, либо построенных в физическом пространстве, либо полученных в результате гладких отображений. Согласно понятию порядка аппроксимации, ее точность при таком подходе определяется, как и обычно, степенью гладкости аппроксимируемых функций.
Мультиоператорные аппроксимации тестировались на модельных задачах и применялись при решении некоторых задач динамики жидкости и газа (см. [4]—[7]). Они позволяют эффективно выполнить требования, предъявляемые к разностным схемам высокой точности и высокой разрешающей способности.
Во-первых, они могут иметь формально любой разумно высокий порядок.
Во-вторых, желаемое повышение порядка не связано с увеличением числа узлов в шаблонах и с усложнением процедуры вычислений; при этом, если использовать параллельные вычислительные системы с малыми временами обмена данными, затраты машинного времени практически могут оказаться слабо зависящими от порядков аппроксимации.
В-третьих, они зависят от значений параметра, которыми можно распоряжаться для оптимизации, направленной на высокое разрешение коротковолновых составляющих акустических спектров.
Ниже приводятся идея методики и основные результаты ее развития, полученные к настоящему времени.
1. Пусть имеется однопараметрическое семейство операторов Ьк(э), аппроксимирующих с порядком т на сетке
с постоянным шагом к некоторый линейный оператор Ь. Зафиксируем Мзначений параметра s, 5 = 5, I = 1, 2, ..., М. Для узла сетки с номером] запишем разложение в ряд Тейлора действия Ьк(5()[м],- оператора Ьк на достаточно гладкую функцию и(х) в виде
Т / \г п г т 1 \1т { \1т + 1 \1т + М- 2 .т + М-1- /1ч
и ]у = [ Ьы]у + йт (А) к + йт + 1 (А) к + ... + йт + М-2 (а) к + 0(к ) . (1)
Здесь квадратные скобки означают, что функция непрерывного аргумента рассматривается в узлах сетки, а значения высших производных в узле х} включены в коэффициенты разложения. Оператор Ь может быть любым оператором, аппроксимируемым формулами численного анализа (оператором производной, интеграла, интерполяции и т.д.).
Равенства (1), выписанные для 5 = 5, умножим на пока не известные коэффициенты у; такие, что
2. МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ
«к = = 7к,у = 0, ±1, ±2, ...)
М
(2)
I = 1
а затем сложим. Учитывая (2), получаем
М
М
М
X Ч11к С^Н Ы ]у = [ £ы]у + ^ Уйт к>П + ^ УАт + 1 к>П + 1 + .••
I = 1
I = 1
I = 1
М
I = 1
Записав М — 1 равенств
мм м
^ = о, ^ у,ат + кт +1 = 0, ... ^ у,ат + м-2 ^¡)Нт +М-2 = 0 (4)
г = 1 г = 1 г = 1
и добавив к ним равенство (2), получим линейную систему для определения коэффициентов. Предположим, что она имеет решение при любом М. Тогда линейная комбинация операторов в левой части (3), названная в [2] мультиоператором, аппроксимирует исходный оператор Ь с порядком М + т — 1:
м
Ьм^1, «2,..., Sм) = ^уЛ(А-) = Ь + 0(кт + м-1). (5)
I = 1
Очевидно, что в случае разрешимости системы мультиоператор существует и единствен для любого набора Мразличных значений параметра. Операторы Ьк(з) будем называть базисными операторами. Таким образом, можно говорить, что повышение порядка в мультиоператорной методике достигается не путем увеличения числа базисных функций, а путем увеличения числа базисных операторов. Такой подход обладает следующим достоинством.
Пусть имеется вычислительная система с М процессорами (например, М-ядерный компьютер). Тогда вычисление действий мультиоператоров на известную сеточную функцию выглядит следующим образом. Эта функция раздается каждому процессору (или ядру), после чего процессоры (или ядра) одновременно производят вычисления действий базисного оператора со "своим" значением параметра. Затем результаты собираются и суммируются с уже известными коэффициентами. Это открывает возможность построения аппроксимаций сколь угодно высокого порядка точности без каких-либо усложнений базисных операторов и затрат машинного времени.
Максимальный порядок аппроксимации может возрастать быстрее с числом базисных операторов, если разложение типа (3) содержит четные или нечетные степени шага сетки к. Это имеет место, например, в случае центральных аппроксимаций, коэффициенты которых обладают симметрией или антисимметрией относительно центрального узла шаблона. Тогда в случае разрешимости системы обращаются в ноль 2(М — 1) членов разложения, а погрешность аппроксимации оценивается как 0(кт + 2М).
2. Основным моментом при построении мультиоператоров является разрешимость системы для коэффициентов при любых М. Она отсутствует в случае обычных разностных формул, но может иметь место в случае однопараметрических семейств компактных аппроксимаций оператора Ь. Будем рассматривать "обычный" сеточный оператор как оператор, действие которого на сеточную функцию в каждом узле определяется ее суммированием по узлам шаблона, образованного этим узлом и его соседями.
Под компактной аппроксимацией можно понимать аппроксимацию, в которой сеточный оператор является суперпозицией обычных операторов с шаблонами, содержащими сравнительно небольшое число узлов (поэтому используется термин "компактная"), в которой по крайней мере один оператор является обратным к некоторому обычному легко обращаемому оператору.
Простейшая форма таких суперпозиций имеет вид
Ьк = Аь 1В к, (6)
где предполагается, что шаблон оператора Ак содержит не более пяти точек. Помимо этого мы будем рассматривать суперпозиции вида
Ьк = Вк + Л-'Ск или Ьк = А-1 (Вк + Ск). (7)
Здесь Бк(з) является оператором, определяющим некоторую аппроксимацию невысокого порядка, а операторы Ак(«) и Ск(«) корректируют эту аппроксимацию, увеличивая ее порядок за счет увеличения общего числа коэффициентов. В дальнейшем будем использовать только трехточечные или двухточечные операторы. Это позволяет вычислять действия операторов в приграничных узлах, не требуя значений функций во внешних узлах, а также использовать трехточечные и двухточечные прогонки. При этом мы будем допускать, что оператор Ск, в свою очередь, может быть оператором рассматриваемой структуры.
Как правило, в зарубежных публикациях использ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.