КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 6, с. 536-542
УДК 629.7
О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ ПЛЕНОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В КОСМОСЕ ПРИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОМ РАСКРЫТИИ
© 2007 г. В. М. Сорокин1 , В. М. Чмырев1 , А. К. Ященко2
Международное агентство по комплексному мониторингу Земли, природных и техногенных катастроф,
г. Москва
2Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В.Пушкова РАН, г. Троицк
Поступила в редакцию 13.12.2005 г.
В работе обсуждается возможность использования силы Ампера для раскрытия и стабилизации пленочных конструкций в космосе. Предполагается, что на поверхности тонкой пленки нанесен проводник, подключенный к источнику питания, или в качестве проводников с током используются солнечные батареи. Найдены напряжение и деформация тонкой пленки в результате протекания электрического тока по кольцевому проводнику, ограничивающему эту пленку. Получен метод расчета радиальной компоненты тензора напряжений в пленке, с которой соединены концентрические кольцевые проводники с током. Проведен расчет распределения напряжений для пленки с тремя проводниками. Обсуждается возможность минимизации магнитного момента системы токов.
РАС8: 46.25.Hf
1. введение
Увеличение эффективности солнечных батарей используемых на спутниках является одной из актуальных задач. Для решения этой задачи необходимо увеличение удельной мощности солнечной батареи, усовершенствование ее конструкции и снижение веса [4]. Такие требования к солнечным батареям предъявляются при разработке, как малых спутников, так и крупных космических аппаратов. В будущем высокоэффективные солнечные батареи потребуются для космических энергетических установок. В настоящее время при производстве солнечных батарей используется кристаллический силикон с удельной энергетикой 40 Вт/кг и арсенид галлия 80 Вт/кг. Удельная мощность должна увеличиться более чем в десять раз при использовании в качестве солнечной батареи тонкой пленки, с нанесенным на ней аморфным силиконом. Эта технология была предложена в недавнее время [5]. Препятствием для создания солнечных батарей на тонких пленках являлось отсутствие достаточно эффективных и технологичных конструкций для их раскрытия и разворота во время полета. Выходом из этой ситуации является использование гибких космических конструкций, разработка которых значительно продвинулась в России в последние годы [6]. Существую два перспективных метода раскрытия гибких конструкций в космосе, которые активно разрабатываются в настоящее время. Первый из них основан на использовании центробежных сил, а второй основан на использовании силы Ампера для раскрытия и стабилизации пленочных конструкций в космосе.
Настоящая работа посвящена анализу второго способа.
2. радиальное напряжение в круглой пластине, ограниченной проводником с током
Рассмотрим тонкую круглую пластину радиуса R и толщиной h. По окружности на краю непроводящей пластины расположен проводник с круговым сечением радиуса а. По проводнику течет постоянный ток I, который создает в окружающем пространстве магнитное поле с индукцией В = ц0Н. Согласно закону Ампера, это магнитное поле приводит к появлению силы, действующей на проводник с током, создающим это поле. Компонента силы Ег действующей в направлении координатной оси q, определяется свободной энергией магнитного поля I) по формуле:
4 I д q
(1)
Свободная энергия определяется магнитным по-
1 л
тока: ¥ = 2J Н • В(ёУ), где интегрирование
лем
ведется по объему, занятому полем. Воспользовавшись уравнением Максвелла V х Н = ] и вводя векторный потенциал поля по формуле В = V х А, 1
получим: ¥ = 2J ] • АёУ. Векторный потенциал
Я
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая равновесие сил, приложенных к выделенному элементу проводника.
определяется плотностью электрического тока J, создающего магнитное поле:
А =
ЕоГ.!
4 ^ Я,
СУ,
где Я, - расстояние между элементом тока и точкой наблюдения. Воспользовавшись этим выражением для векторного потенциала, получим формулу для свободной энергии магнитного поля, создаваемого тонким замкнутым проводником в виде:
I
ф = т — ■
т = ^оД С I С I ' 4пП Я,
(2)
где т - коэффициент самоиндукции замкнутого проводника. При выводе формулы (2) плотность электрического тока заменена полным током, протекающим в проводнике \СУ=1сИ. В этой формуле С1 и сГ - произвольные элементы проводника, расстояние между которыми равно Я. Подставляя (2) в (1), получим компоненту силы, действующей на замкнутый проводник с током:
я = I- дТ
д 2 дд'
(3)
Коэффициент самоиндукции (см. Приложение, формула (П4)), имеет вид:
Т = Ц ЯI 1п8Я -7|.
(4)
Подставляя (4) в (3) и полагая обобщенную координату д = 2пЯ, получим компоненту силы F||, действующей вдоль оси проводника:
я,, = £ /Г1п8Я -3
11 4п I а 4
Рассмотрим элемент кругового проводника, опирающийся на угол ф, длина которого равна I. Как показано на рис. 1, сила F± направленная нормально к проводнику и расположенная в его плоскости является равнодействующей сил приложенных к краям выделенного элемента. Следовательно F± = 2^| sin(ф/2). Сила, отнесенная к единице длины
проводника ^ = Fi/l = FJ2R sin(ф/2) = F||/R, определяется формулой:
/л =
ЦоI (, 8Я 3 4пЯI П а 4
(5)
Найдем радиальную компоненту тензора напряжений агг в пластине, возникающих в результате приложения к ее краям силы Ампера^. Введем декартовую систему координат с осью г, направленной нормально плоскости пластины, расположенной в плоскости х, у. Под действием приложенной силы в пластине возникает деформация и, которая удовлетворяет уравнению [3]:
1-а
А и
1+а ^ и) = -Р ^
(6)
где а - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, Р - плотность объемных сил, отнесенная к единице площади пластины. В покоящейся пластине, при отсутствии силы тяжести Р = 0. В цилиндрической
системе координат г = л/Х^+У; ф = агС£ (у / х), уравнение (6) имеет вид:
Сг
1ё
"Т (гиг) г ёг
= о,
которое, при условии иг(г = 0) = 0, имеет решение: иг = с1г. Радиальная компонента тензора напряжений агг определяется равенством [3].
Е (с
аи
1- а2 V Сг г
(7)
Подставляя в (7) иг = с1г, получим: агг = с1
1-а'
Так как радиальное напряжение не зависит от радиуса, то его величина определяется радиальной компонентой силы Ампера приложенной к краю пластины, отнесенной к единице длины проводника агг = Следовательно с1 = ^(1 - а)/Eh. Это значение константы позволяет получить формулы для напряжения и деформации тонкой пластины, ограниченной кольцевым проводником с током:
Цо1
= ■ . 1 8Я-3
агг 4лЯМ П а 4
_ Цо г(1 - а) I (, 8Я 3
иг 4пЯЕк V 1пт 4
(8)
Оценим величину радиальной компоненты тензора напряжения. Полагая в формуле (8): Я = 1 м, к = = 10-6 м, а = 10-4 м, I = 3 А, получим: агг = 12 Н/м2. Величина радиальной компоненты силы, приложенной к краю пластины, отнесенная к единице
агг =
= 1rAф)r = r. Компонента векторного потен-
r д r т r r
циала Аф магнитного поля тока j текущего в замкнутом кольцевом проводнике радиуса rj определяется формулой:
. _ М-р1 j i cos фdl _
A = "4ПГ ° RRj "
j
2n J
R cos ф dl
Рис. 2. Один из возможных вариантов соединения кольцевых концентрических проводников на тонкой пластине.
длины окружности, равна f= 1.2 • 10-5 Н/м. Приведенные оценки показывают, что кольцевой электрический ток создает в пластине напряжение, радиальная компонента тензора которого не зависит от г. Увеличение значения компоненты тензора напряжений на два - три порядка возможно в случае размещения на пластине концентрических кольцевых токов в замен одной токовой петли, рассмотренной выше.
3. силы взаимодеиствия кольцевых
концентрических проводников с током на тонкой пластине
Найдем силы, действующие на пластину, на которой расположены тонкие проводники в виде N концентрических окружностей с радиусами г7, как показано на рис. 2. Номера окружностей принимают значения 7 = 1, 2, ..., N. Наибольший радиус кольцевого тока совпадает с радиусом пластины г^] = Я. По проводникам текут постоянные электрические токи 17, которые создают в окружающем пространстве магнитное поле с индукцией В. Сила АР7, действующая со стороны магнитного поля на элемент тока 7 -го проводника ТАЯ,, определяется выражением АЕ7 = 1А17 х В. Магнитное поле, действующее на этот проводник, формируется токами в проводникаху Ф 7. В плоскости (х, у) отлична от нуля компонента поля Вг = В. Радиальная компонента силы Ампера действующей на элемент 7 -го проводника А17 определяется формулой:
А^ = 1А/г В (г = г, г = 0).
Магнитное поле В(г = г, г = 0) равно сумме полей создаваемых всеми кольцевыми проводниками, за исключением собственного поля 7 -го проводника. Магнитное поле В у кольцевого тока 1у радиуса гу в точке с координатами г = 0 , г = г7 имеет только ^-компоненту, которая определяется ф-компонентой векторного потенциала: Ву =
r
-z -2 r-r cos ф
где угол ф отсчитывается от плоскости, проходящей через ось г и точку наблюдения поля. Вводя новую переменную интегрирования 0 = (ф - п)/2, получим ^-компоненту магнитного поля в проводнике радиуса г , расположенного на плоскости г = 0 в виде:
в = 1^
1
-rj + r
1
r — r
j
- Ea-
. = 4rr 4 (r + j
где K(x), E(x) - полные эллиптические интегралы Лежандра, определяемые равенствами [1]:
п/2
к а,,) = J -=
j р 1
— sin20
п/2
E(X,j) = J 7l — ^ sin2
Суммарное магнитное поле всех токов, текущих в проводниках у Ф 7, действующее на 7 -й проводник
равно: В(г = г, г = 0) = ^Ву.
У Ф7
Следовательно, радиальная компонента силы f, действующей на единицу длины 7-го проводника расположенного на тонкой пластине, определяется выражением:
f = AF = EcIi V т
fi Al 2
1
j
-rj +r i
K (Xu)
1
r — r
j
-e au)
.(9)
Поверхностная плотность сил, действующих на пластину со стороны набора тонких концентрических кольцевых проводников с током равна сумме:
P = X f$(r — r,),
i
где 5(x) - дельта-функция Дирака.
(10)
р
р
4. напряжения в пластине при взаимодействии кольцевых концентрических проводников с током
Найдем тензор напряжений в пластине, на которой расположены тонкие проводники с электрическим током, формирующие поверхностную плотность сил (10). Согласно закон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.