научная статья по теме О НЕДОПУСТИМЫХ, ДОПУСТИМЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «О НЕДОПУСТИМЫХ, ДОПУСТИМЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 4, 2012

УДК 621.01

© 2012 г. Статников Р.Б., Матусов И.Б.

О НЕДОПУСТИМЫХ, ДОПУСТИМЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Обсуждаются вопросы построения допустимого множества решений в инженерных задачах. Приведены основные результаты многокритериальных исследований в задачах проектирования и улучшения прототипа, основанных на методе Исследования Пространства Параметров и ПК MOVI.

Все инженерные задачи являются многокритериальными по своему существу. Понятие "хороший/плохой" объект (машина, конструкция, механизм, прибор, конструкция и т.д.) не является абстрактным. За ним стоит набор числовых значений основных критериев, таких, как вес, КПД, расход топлива, материалоемкость, производительность и т.д. Как правило, эти критерии противоречивы — улучшение одних приводит к ухудшению других. Когда говорят "хороший/плохой" объект, то под этим подразумевается набор основных критериев, с помощью которых необходимо классифицировать инженерные объекты/решения как недопустимые или допустимые. Среди последних имеются так называемые Парето-оптимальные, или неулучшаемые решения по всем критериям одновременно. Если создавать конкурентоспособные объекты, то именно среди Парето-оптимальных решений следует искать наиболее предпочтительные варианты. В связи с этим определение "допустимые решения" является фундаментальным вопросом для всех инженерных задач. Попытки уйти от "многокритериальности" путем представления этих задач в виде однокритериальных и применение для их решения однокритериальных методов оптимизации заставляют специалистов искажать исходную постановку задачи: подгонять реальные многокритериальные задачи под один "самый важный" критерий, строить необоснованные свертки критериев и т.п. Несмотря на наличие огромного количества методов одно-критериальной оптимизации, как правило, решаются некорректно поставленные задачи [1—6]. Это обусловлено тем, что в силу противоречивости критериев специалисты встречаются со значительными трудностями определения допустимого множества решений, которые должны удовлетворять всем ограничениям. Последние обычно можно определить в процессе решения задачи. Все известные методы оптимизации вообще не обсуждают эти вопросы. С появлением метода Исследования Пространства Параметров (метод ИПП) [1—6] впервые представилась возможность строить допустимое множество решений и судить о содержательности математических моделей. Метод ИПП реализован в виде программного комплекса MOVI (Multicriteria Optimization and Vector Identification) [1, 7]. Метод ИПП дает специалистам информацию о зависимостях критериев от критериев, критериев от параметров и о том, какой ценой и за счет чего можно достигнуть улучшения/ухудшения тех или иных критериев, и о целесообразности коррекции исходной постановки задачи.

Постановка и решение инженерных задач оптимизации. Исходные данные [1—5]. Предположим, что задана математическая модель, которая зависит от п параметров аь ..., ап. Слова "задана математическая модель" означают, что имеется математиче-

ское описание функционирования системы, позволяющее по заданному набору а:, ..., ап вычислить любые интересующие характеристики системы. Сами а:, ..., ап могут быть естественными физическими величинами, например, массами, радиусами, жестко-стями и т.п., или, если единицы измерения этих величин фиксированы, могут считаться безразмерными. Если функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями, то в качестве параметров можно выбирать коэффициенты этих уравнений.

Пространство параметров. Пространством параметров называется n-мерное пространство, состоящее из точек с декартовыми координатами (аь ..., ап). Таким образом, каждой точке пространства параметров соответствует конкретный набор параметров (аь ..., ап) и наоборот.

Как правило, специалисты задают пределы изменения каждого из параметров, которые будем называть параметрическими ограничениями

а* <а;< а**, j = 1, 2,..., n. (1)

Ограничения (1) выделяют в пространстве параметров параллелепипед П = |^|(1)|.

Функциональные зависимости и ограничения на них. Кроме параметрических ограничений обычно в условия задачи включаются функциональные зависимости f(а) и ограничения1 на них

с* <f(а)< с**, l = 1, 2, ..., t. (2)

Здесь f(a) — некоторые функции от параметров а = (а1, ..., ап). Предполагаем, что все функцииf(a) непрерывны в П. Функциональные ограничения с* и с** могут быть жесткими, которые заданы заранее, и мягкими, которые могут изменяться.

Обозначим через G подмножество параллелепипеда П, состоящее из точек а, удовлетворяющих ограничениям (2): G = {а|}.

Критерии качества. Критерием качества называется характеристика системы, которая связана с ее качеством монотонной зависимостью. Иными словами, при прочих равных условиях система тем лучше, чем больше (меньше) критерий.

Для простоты записи в дальнейшем будем предполагать, что все заданные критерии Ф1(а), ..., Ф^(а) желательно уменьшить Фу(а) ^ min. Следовательно, чем меньше Фу(а), тем лучше система (при прочих равных условиях).

Относительно функций Фу(а) также будем предполагать, что они непрерывны в П. Очевидно, что не все значения Фу(а) одинаково приемлемы в смысле допустимого функционирования системы. В этом случае необходимо ввести критериальные ограничения

Фу(а)<Ф**, v = 1, 2, ..., к. (3)

Критериальное ограничение Ф** — это максимальное (минимальное) допустимое значение критерия Фу(а).

Пусть D — множество точек а, которые удовлетворяют всем ограничениям (1), (2), (3) D = {а|}, так, что D <z G <z П; если множество D непусто, то оно замкнуто. Естественно назвать D множеством допустимых точек (параметров). Сформулируем одну из основных задач оптимального проектирования.

Необходимо найти такое множество P с D, для которого

ФСР) = min (Ф( а)), (4)

а е D

1 Как правило, указанные параметрические и функциональные ограничения в дальнейшем корректируются с помощью программного комплекса MOVI.

где Ф(а) = (Ф:(а), Ф2(а), ..., Ф^а)) — вектор критериев; P называется множеством Па-рето так же, как его образ в пространстве критериев, — Ф^).

Главная трудность при переходе к математической задаче (4) состоит в выборе критериальных ограничений Ф** , а именно в нахождении их максимальных допустимых

значений. Обоснованный выбор критериальных ограничений невозможен без предварительного исследования системы: необходимо определить возможности системы по каждому из критериев.

Метод ИПП достаточно полно описан в литературе [1—6], поэтому ограничимся его кратким описанием.

В основе алгоритма лежит численное исследование (зондирование) пространства параметров проектируемой системы. Исследование проводится в три этапа.

1-й этап. Для каждой из N точек равномерно распределенной в П последовательности (в этом случае можно использовать различные последовательности с хорошими оценками равномерности [1, 4]) рассчитываем проектируемую систему и проверяем выполнение функциональных ограничений (2). Если они выполнены, то точка а = аi отбирается в качестве пробной точки в G и вычисляются все Фу(а); в противном случае точка а = аi отбрасывается. (После анализа таблиц испытаний и коррекции ограничений некоторые недопустимые решения могут стать допустимыми [1, 7].) По каждому критерию составляется таблица испытаний, в которой значения Фу(а:), ..., Фу(аЛ) расположены в порядке возрастания (если минимизируем Фу(а)).

2-й этап. Этот этап предполагает вмешательство специалиста. Просматривая поочередно каждую из таблиц, он должен для каждого критерия определить наибольшее допустимое значение Ф** . Стоит подчеркнуть, что этот диалог очень удобен для специалиста: он не должен "комбинировать", уменьшая одни критерии за счет других; ему показывают одну таблицу испытаний и предлагают назначить одно ограничение; затем повторяют то же с другой таблицей испытаний.

3-й этап. В соответствии с ограничениями Ф** строим множество D, т.е. путем перебора значений всех критериев в точках а , ., а нетрудно проверить, есть ли среди этих точек хотя бы одна, в которой справедливы одновременно все неравенства (3).

Все такие точки а' образуют допустимое множество D, и задача (4) становится разрешимой. Пусть построены допустимое и Парето-оптимальное множества. Предположим, что для какого-нибудь критерия специалист посчитал возможным выбрать новое ограничение Ф** > Ф** . Эта ситуация соответствует тому, что в данном случае

Ф** не является максимально допустимым ограничением. Так как имеется таблица испытаний, то не представляет никакого труда построить новое допустимое и паре-

товское множества, соответствующее всем ограничениям Ф** . (В этой ситуации не требуется рассчитывать новые значения критериев и строить новую таблицу испытаний.) Если на новом множестве Парето имеются решения, существенно улучшающие решения из ранее полученного паретовского множества (при ограничении Ф**), то специалист после анализа полученных результатов принимает окончательное решение взять в качестве критериальных ограничений новые или старые значения.

Количества критериев при поиске решений должно быть столько, сколько это необходимо, и прежде всего должны быть учтены все основные критерии, характеризующие функционирование исследуемого объекта. Именно такую возможность дает метод ИПП, который предусматривает возможность построения допустимого множества решений с учетом практически неограниченного количества критериев. В реальных задачах размер вектора критериев достигает многих десятков [1—5].

2. Аппроксимация допустимого множества и множества Парето. В п. 1 было определено понятие допустимости решения задачи и дан алгоритм получения таких решений.

В связи с этим возникает вопрос: как использовать этот алгоритм для построения всего допустимого множества с заданной точностью? Под его построением обычно понимают выделение такого конечного подмножества, которое с заданной точностью приближало бы любое значение каждого критерия, вычисленное в произвольной точке из области Б.

Пусть еу есть допустимая погрешность (по мнению эксперта) по критерию Фу. Обозначим чере

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком