Математическое моделирование,численные методы
и комплексы программ
Исаченко И.А.,
Гриценко В. А., доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
(Атлантическое отделение Института океанологии им. П. П. Ширшова Российской академии наук)
О НЕДОСТАТОЧНОСТИ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ ПРИ
ИССЛЕДОВАНИИ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ПО ПЛОТНОСТИ ТЕЧЕНИЙ
Выполнено численное моделирования коллапса хорошо перемешанной плотностной неоднородности (пятна) в линейно стратифицированной среде. Показано существование потенциальной возможности генерации турбулентности в областях, выделенных по значению градиентного числа Ричардсона. Использованная в расчетах модель оказалась чувствительной к изменению коэффициента турбулентной вязкости внутри пятна. Для лучшего понимания процессов перемешивания необходима модель турбулентности с явным учетом процессов ее генерации и диссипации.
Ключевые слова: плотностная неоднородность, коллапс пятна, число Ричардсона, турбулентная вязкость, численное моделирование, стратифицированная жидкость.
ON FAILURE OF THE SIMPLE EDDY VISCOSITY MODEL IN A STUDY OF DENSITY
STRATIFIED CURRENTS
Numerical simulation of the collapse of well-mixed density inhomogeneity (patch) in a linearly stratified medium was carried out. The existence of feasible generation of turbulence was demonstrated in areas identified by the gradient Richardson number. The model used in the calculation was sensitive to changes in the eddy viscosity coefficient inside the mixed patch. A turbulence model with explicit generation and dissipation is required for a better understanding of mixing processes.
Keywords: mixed region collapse, Richardson number, density stratification, eddy viscosity.
Введение
Различные гидродинамические процессы в устойчиво стратифицированной среде могут приводить к образованию перемешанных по плотности областей (пятен) с доступной потенциальной энергией. В дальнейшем пятна сплющиваются и распространяются по своему горизонту плавучести в процессе, который часто называют [14,15] коллапсом.
Первые лабораторные исследования двумерного растекания объема хорошо перемешанной жидкости в непрерывно стратифицированной среде принадлежат Jin Wu [15]. В начальный момент времени пятно имело форму цилиндра с горизонтальной осью и поперечным сечением в виде полукруга (у боковой стенки бассейна). Наблюдения позволили выделить три хорошо различимых стадии процесса и предложить эмпирический закон, описывающий изменение толщины пятна в течение начальных стадий. В дальнейшем многими авторами [1,4,5,6,7] подробно изучались различные фазы коллапса перемешанных пятен.
Поскольку масштабы натурных течений на два-три порядка и более превосходят лабораторные, значение числа Рейнольдса оказывается высоким, и имеет место ситуация турбулентного пятна, находящегося в окружении нетурбулизованной жидкости. Возникновение областей перемешанной жидкости в океане связывают [2] с обрушением внутренних волн большого масштаба, потерей устойчивости сдвиговых течений, а так же обрушением поверхностных волн и опусканием термиков из приповерхностного слоя. Теоретические оцен-
ки [2] зависимости горизонтального размера турбулентного пятна от времени, выполненные Г. И. Баренблаттом, предполагают полную плотностную однородность пятна за счет турбулентности, которая поддерживается сдвигом скорости. Они хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований растекания ламинарного перемешанного объема [4].
Известно [6], что при вырождении турбулентных следов под действием сил плавучести образуются системы хорошо перемешанных областей малого объема, если турбулентной энергии недостаточно для поддержания перемешанного состояния во всей области следа. Эти особенности, по-видимому, необходимо учитывать для успешной компьютерной симуляции турбулентных течений в стратифицированной среде океана.
Хорошая лабораторная, аналитическая и численная изученность течений, возникающих при коллапсе плотностных неоднородностей в стратифицированной жидкости, позволяет использовать данную задачу как тестовую при разработке новых моделей динамки жидкости. Цель данной работы - на основе анализа данных численного моделирования распределения значений градиентного числа Ричардсона показать наличие локализованных в пространстве областей течения, в которых потенциально возможна генерация турбулентности.
Численная модель
Расчеты проведены при помощи двумерной численной модели [3]основанной на уравнениях Навье-Стокса в приближении Буссинеска (изменение плотности учитывается только в слагаемом, содержащем ускорение силы тяжести). Данная модель позволила задать значение турбулентной вязкости внутри пятна, используя дополнительное поле пассивной примеси (трассера). Уравнения модели записываются в переменных вихрь - функция тока следующим образом:
дю дю дю 2 до .
— + и— + ж— = —--+ vT Аю,
дг дх дг р0 дх
до до до
- + и — + ^ —
дг дх дг
дс дс дс
— + и— + ^ —
дг дх дг
Ау = ю,
где ю = ди - д- вихрь, у - функция тока, о = р - р0 - аномалия плотности, р0 = 1г • см-3 - плотность пресной воды, 0 < с(г,х,г)< 1 - концентрация трассера, и = дуу, ж = -ду - горизонтальная и вертикальная проекции вектора скорости, vT = vT (г,х,г ) = v0 + v1c(t,x,z) - эффективное значение коэффициента(турбулентной) вязкости, V, - коэффициент молекулярной кинематической вязкости, v1 - коэффициент турбулентной вязкости, Бт = П0 + Sc~1v1c - коэффициент диффузии, П0 - молекулярный коэффициент
диффузии, 8с - турбулентное число Шмидта.
При построении численного алгоритма использована безразмерная форма уравнений модели. В частности, уравнение переноса вихря ю в безразмерном виде записывалась следующим образом:
дю дю дю ^ до „ -1 ,
-+ и-+ -= гг0 — + Кет Аю,
дг дх дх дх
где о = (р - р0)/ Ар0 - безразмерная величина избыточной плотности, Ет0 = Н° ,
0
Р0^0 '
и0 н,
Яет =——- - число Фруда [11] и турбулентное число Рейнольдса. Переход к безразмерным
т
т
уравнениям осуществлен с использованием диаметра пятна H0 в качестве характерного масштаба длины. Характерный масштаб скорости U0 определяется произведением Н0N, где
N-
^Р^ А
—0— - характерная частота плавучести, Ар0 - максимальный перепад плотности ок-
Томаном и Шевчеком в 1966 г. (цит. по [10]), а именно = 0 и = 0, где п меняется
Н - Р-
ружающей пятно жидкости между его верхней и нижней границей, g = 980см • с-2 - модуль ускорения силы тяжести.
На всех границах для ю и у установлено градиентное условие, впервые использованное
дс д 2у
-= 0 и —
дп дп
вдоль нормали к стенке. Для избыточной плотности и трассера на всех границах задано условие Неймана: — = 0, — = 0.
дп дп
Система уравнений модели в безразмерном виде численно решалась на прямоугольной равномерной разностной сетке с числом узлов 801x801. Конвективный член в уравнениях переноса аппроксимирован при помощи схемы с направленными разностями [10]. Уравнение Пуассона для функции тока интегрировалось по алгоритму Гаусса-Зейделя.
Для определения значения числа Ричардсона в каждом узле сетки использован разност-
д I2 д
ный аналог формулы Яг = - g-—/I — I [8,12]. Значения - g■—К10-6 округлялись в сторо-
р дг \дг) р дг
ну нуля. Области со значением Яг = 0 в дальнейшем анализе не участвовали, таким образом исключалась область в центре пятна, где жидкость не стратифицирована. Значения (ди / дг)2 К 10-5 так же округлялись в сторону нуля для пресечения появления очень больших значений Яг, затрудняющих графическое представление результатов. Те точки, в которых знаменатель числа Яг был равен нулю (движение отсутствует или производная ди / дг мала), сначала помечались, а затем им присваивалось значение, немногим большее максимального значения Яг среди не помеченных точек.
Параметры расчетов
Все расчеты проведены в прямоугольной области высотой Ьг = 4 -102 см и шириной Ьх = 4 -102 см, внутри которой начальное распределение избыточной плотности было задано (в безразмерном виде) согласно линейному закону: о(х,г) = (Ьг - г)/Н0 .
Пятно кругового сечения диаметром Н0 = 102 см расположено симметрично своему изо-пикническому уровню в центре области, плотность жидкости внутри пятна Ьг /(2Н0). Характерный перепад плотности Ар0 = 10-5 г • см, параметры вязкости и диффузии: v0 = 1,5 • 10-2 см2 • с-, V = 10v0, Б0 = 10-5 см2 • с- , 8с = 2. В результате N «10-4с-2, что по
порядку величины совпадает со значениями квадрата частоты плавучести в сезонном и суточном пикноклине в природных водоемах [13].
Результаты расчетов
Принято [2,14,15] рассматривать три стадии коллапса: начальную, промежуточную или стационарную и вязкую. По-видимому, используемая в работе модель применима только для моделирования непродолжительных по времени процессов. Но именно на начальных стадиях коллапса движения достигают наибольшей интенсивности и именно они интересны в кон-
тексте возможности генерации турбулентности. Границы стадий коллапса могут быть легко выделены по графику изменения горизонтальных размеров пятна, см. рис. 1.
На рис. 2 показан типичный вид коллапса плотностной неоднородности. Быстрое вертикальное сжатие пятна приводит к формированию двух пар антисимметричных вихрей, обычно наблюдаемых в голове течения интрузионного типа.
Поле трассера, которым была помечена исходная плотностная неоднородность, позволяет определять ее границы во время всего расчета. Хорошо видно (рис. 2), что изолинии трассера в средней части пятна располагаются горизонтально, что означает завершение быстрой перестройки формы пятна и начало второй стадии коллапса.
Наиболее подходящим с точки зрения поставленной цели критерием выбора момента времени, в который следует анализировать пространственное распределение значений Яг, является достижение наименьшего по времени значения его пространственного минимума. На рис. 3 видно, что такой минимум имеет место при N = 3, в самом начале основной стадии коллапса.
Из общих соображений [11, стр. 290-291] о балансе генерации турбулентной энергии сдвиговым течением за счет работы против турбулентных напряжений и ее расходованием на перемешиванием устойчиво стр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.