ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 458, № 4, с. 398-401
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.925
О НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ И ПРЕПЯТСТВИЯХ К ГАМИЛЬТОНИЗАЦИИ НЕГОЛОНОМНОГО ВОЛЧКА ЧАПЛЫГИНА
© 2014 г. И. ^ Бизяев
Представлено академиком В.В. Козловым 24.02.2014 г. Поступило 04.04.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565214280044
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим задачу о качении по плоскости неуравновешенного и динамически несимметричного шара [1—3, 15]. Следуя работам [10—12], эту систему будем называть неголономным волчком Чаплыгина. Отметим, что в [10—13] рассмотрена неголономная модель, в которой волчок Чаплыгина катится без проскальзывания. В этой работе мы рассмотрим другую модель качения, когда в точке контакта шара с плоскостью одновременно отсутствуют проскальзывание и верчение. Возможная реализация этой связи предложена в [14], где предполагается, что тело покрыто достаточно мягкой резиной, обеспечивающей надлежащий контакт с плоскостью. В подвижной системе координат Сху1, связанной с шаром, уравнения движения, описывающие эволюцию угловой скорости шара ю и вектора нормали к плоскости в точке контакта у, представляются в виде [2]
J ю = (J ю) х ю - - Л ю + у х д—СнО + X у, 2 ду
(1)
у = у х ю,
J = J + ЛЕ, J = I + т(Ь + С2) - тс ® с, Л = 2тЬ(с, у),
(J ю) х ю - 1Л ю, J 1у
Х0 =--—-,
(У, У)
где т, I = ё1а§(/1, /2, /3), Ь — масса, тензор инерции и радиус шара, c — вектор смещения центра масс относительно геометрического центра (см. рис. 1), Ц(у) — потенциал внешних сил.
Система (1) допускает два общих первых интеграла
Л = У , р1 = (ю, у), физические значения которых равны [1] Е0 = 1, Е1 = 0. На уровне Е1 = 0 существует также интеграл энергии:
Е = 1 (ю, Jю) + Щу).
Ограничим уравнения (1) на многообразие
М4 = {(ю, у )|у2 = 1,( ю, у) = 0}, (2)
которое диффеоморфно касательному расслоению двумерной сферы ТЗ2, и в результате получим четырехмерную систему, обладающую интегралом энергии Е. Ее свойства существенным образом зависят от наличия либо отсутствия дополнительных (тензорных) инвариантов: инвариантной меры, дополнительного интеграла.
В связи с этим изложим кратко ранее известные результаты о дополнительных инвариантах системы (1). Так, в работе [1] получен необходимый критерий существования инвариантной меры, зависящей от позиционных переменных у. Он выполнен лишь в случаях:
1) осевой симметрии (11 = /2, с1 = с2 = 0),
2) полной динамической симметрии (11 = 12 = /3),
3) уравновешенного шара ^ = 0).
Удмуртский государственный университет, Ижевск
Рис. 1. Шар на плоскости.
О НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ И ПРЕПЯТСТВИЯХ
399
Тем не менее в отсутствие внешних сил Щ(у) = 0 система обладает дополнительным квадратичным интегралом [3]:
е2 = ? (у х 5у х 5») - ле.
В [2] показано, что интегралы Е2 и Н задают ли-увиллево слоение многообразия Ж4 на инвариантные торы, которое эквивалентно лиувиллеву слоению в случае Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой.
В той же работе показано, что когда центр масс смещен вдоль одной оси и Щ(у) = 0, в системе (1) возникают предельные циклы на торах с рациональным числом вращения, с чем и связано отсутствие инвариантной меры.
В этой работе рассмотрим частный случай, для которого
(3)
ю2 =
JJi + 2a Yi (YÍ + Í2) £i(YÍ + y2 )
ю3 =
M3
gi
при этом Е и Е2 примут вид
Е = 1 (Ж? + М2 + М2) + и (Уз), Е2 = Мз.
Отметим, что в новых переменных энергия Е совпадает с гамильтонианом шарового волчка в по-
тенциальном поле и(у3). В итоге уравнения движения (1) представляются в форме
'pdx "'p дx
X = NJдЕ + NiJp--f-, x = (M, у),
N2 =
Ni =
i
JJi + ÍaYi
(4)
i
с = (с?, 0, 0), I = I?, I? - тсъ /3),
и = и(уз), как видим, при этом
2
5 = diаg(/?, /?, /3), /? = I? + тЬ ,
22
/3 = /3 + т( Ь + с?), Л = 2 а у?, а = тЬс?.
Оказывается, что тогда в системе (1) возникает дополнительный линейный интеграл:
Е2 = & Юз,
£1 = л/2 аУ1 + /1У2 + 1 - у3), однако необходимый критерий существования инвариантной меры по-прежнему не выполняется.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ДВУМ КОНФОРМНО ГАМИЛЬТОНОВЫМ ПОЛЯМ
Оказывается, что система (1) при условиях (3) может быть представлена в виде суммы двух конформно гамильтоновых векторных полей (конформно гамильтоново разложение [9]). Для того чтобы явно указать такое представление, введем новые переменные М1, М2, М3:
Ю = Y2 ( М? Y2 - У? М2) У? Yз Мз
Ю? = - ----,
А + 2 а У? (У2 + У2) (У? + у2 )
У?( М2 У? - У2 М?) У 2 Уз Мз
2 gi(Yi + Y2) VJi + 2 a Y. (Y2 + YÍ) где Jp — скобка Ли—Пуассона, соответствующая алгебре e(3):
{M¡, Mj} = -6ijkMk, {M¡,Yj} = -&ijkYk, {Yi, Yj} = 0.
Тот факт, что векторное поле (1) удалось представить в форме (4), говорит о том, что слоение на инвариантные торы исходной системы будет таким же, как и в случае гамильтоновой системы. Другими словами, нет топологических препятствий для гамильтонизации слоения. Однако, как будет показано далее, такие препятствия возникают при исследовании потока на инвариантных торах.
ОТСУТСТВИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ
И СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ
Покажем, что в случае (3) при u(y3) = 0 существуют торы с предельными циклами. Для этого введем углы Эйлера:
Yi = sin ф sin 0, y2 = cos Ф sin б, Y3 = cos б, Mi = cos фp0 - sin ф ctg 0pv,
M2 = - sin фр0 - cos ф ctg 0p(p, M3 = pv,
в которых уравнения движения представятся в форме
ф
gi sin2 0
p-9, p0 g2
c os 0 p ф g2sin3 0
(5)
gx = Jj, cos2 0 + J3sin2 0 + 2 a sin 0 sin ф,
g2 = JJ1 + 2 a, sin 0 sin ф, а интегралы движения примут вид
2
e = и+2 -p-, f =
2 2 sin 0
Зафиксируем к, 5, которые связаны с величинами первых интегралов следующим образом:
E = h, 5 = ---, 2h
2
400
БИЗЯЕВ
Р 1.25
1.1664 >
0.5385 0.5390 0.5395 0.5400 0.5405 0.5410
5
Рис. 2. График зависимости числа вращения системы (6) от параметра 5 при / = 15, /3 = 20.5, а = 6 (I^ = 6, 12 = 2, 13 = 7.5, Я = 3, т = 1, = 2) (а) и увеличенный
7
фрагмент вблизи резонанса р = - (б).
6
где 0 < 5 < 1. При этом эволюция 0 и ф описывается уравнениями
Ф =
_ ^ф
pф(sin е - 5)
5 sin2 е g 2
g isin е
Рассмотрим подробнее семейство торов, для которого выполнено
0 < 5 < 1, ф е [ 0, 2 п), ее [е 1? е 2 ],
где е1 и е2 — корни уравнения sin^ = 5 на интервале (0, п), и введем на них угловые переменные (ф, S)mod2n. Абсолютная величина Э находится из соотношения [2]
sin2 е - 5 = (1 - 5) cos2 Э.
В новых переменных траектория на торе задается
дифференциальным уравнением
2 _
^ d ф
_ а ( Э ) 2 ( 2 a а ( Э ) sin ф + ( 1 - 5 ) ( J1 - J3 ) sin2 Э + J3)
5( 2 a а(Э) sin ф + J1) (б)
а(Э) _ Vcos2Э + 5sin2Э.
Аналогично работе [2] вычислим числа вращения р системы (6):
р _ lim
V( и) - Vo
AQ^ 0.002
0.001 0
-0.001
2п
и ^ да и - и,
Рис. 3. Отклонение шестой итерации отображения Пуанкаре от тождественного на окружности для тора
с числом вращения р = 5 при 5 = 0.54 (/ = 15, /3 = = 20.5, а = 6).
в начальной точке У0 = 0, и0 = 0 и в зависимости от параметра 5 (при фиксированных остальных параметрах). Этот график изображен на рис. 2а. При увеличении графика виден горизонтальный уча-
7
сток, отвечающий резонансу р = - .
6
Покажем теперь, что поток на семействе торов, р7
отвечающих резонансу р = - , имеет предельные
6
циклы. Для этого рассмотрим на отдельном торе, соответствующем заданной величине 5, сечение Пуанкаре плоскостью ф = 0, которое определяет отображение окружности на себя
©5(Э): 51 ^ 51.
На рис. 3 приведено отклонение шестой итерации этого отображения от тождественного, т.е.
функция А©§6^ (Э). Отметим, что максимальное отклонение шестой итерации от тождественного отображения не превышает 0.002%.
Рисунок 3 показывает, что на рассматриваемых торах имеется 12 предельных циклов, 6 из которых устойчивы и 6 — неустойчивы. Это означает, что в системе отсутствует гладкая инвариантная мера. Таким образом, система (1) при параметрах (3) хоть и демонстрирует регулярное поведение и допускает представление в виде конформно гамильтонова разложения, но тем не менее не допускает решение в квадратурах.
Работа поддержана грантом Президента РФ поддержки молодых докторов наук МД-2324.2013.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Borisov A.V., Mamaev I.S., Bizyaev I.A. // Regul. and Chaotic Dyn. 2013. V. 18. № 3. P. 277-328.
2. Bolsinov A.V., Borisov A.V., Mamaev I.S. // Regul. and Chaotic Dyn. 2012. V. 17. № 6. P. 571-579.
О НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ И ПРЕПЯТСТВИЯХ
401
3. Borisov A.V., Mamaev I.S. // Regul. and Chaotic Dyn. 2008. V. 13. № 5. P. 443-490.
4. Bizyaev I.A., Tsiganov A.V. // J. Phys. A. 2013. V. 46. №8. P. 1-11.
5. Chaplygin S.A. // Regul. and Chaotic Dyn. 2002. V 7. № 2. P. 131-148.
6. Козлов В.В. // Успехи механики. 1985. Т. 8. № 3. С. 85-107.
7. Козлов В.В. // Тр. Мат. ин-та РАН. 2007. Т. 256. С. 201-218.
8. Козлов В.В. // ПММ. 1987. Т. 51. № 4. С. 538-545.
9. Борисов А.В., Мамаев И.С., Цыганов А.В. // Мат. заметки. 2014. Т. 95. № 3. С. 340-349.
10. Shen J., Schneider D.A., Bloch A.M. Proc. XLII IEEE Conf. on Decision and Control. Maui, Hawaii, Dec. 2013. Maui, 2013. V 53. P. 4369-4374.
11. Shen J., Schneider D.A., Bloch A.M. // Intern. J. Robust Nonlinear Control. 2008. V. 18. № 9. P. 905-945.
12. Lynch P., Bustamante M.D. // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. V 42. 425203.
13. Borisov A.V., Mamaev I.S. // Regul. and Chaotic Dyn. 2002. V. 7. № 2. P. 177-200.
14. Ehlers K.M., Koiler J. In: Proc. IUTAM Symp. on Hamiltonian Dynamics, Vortex Strcutures, Turbulense. Dordrecth: Springer, 2006. 516 p.
15. Kazakov A.O. // Regul. and Chaotic Dyn. 2013. V. 18. № 5. P. 508-520.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.