научная статья по теме О НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СОЕДИНЕННЫХ ШПАНГОУТОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «О НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СОЕДИНЕННЫХ ШПАНГОУТОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 4, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. С. А. Луканкин, В. Н. Паймушин, С. А. Холмогоров

О НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СОЕДИНЕННЫХ ШПАНГОУТОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

Рассматривается конструкция в виде двух соосных цилиндрических оболочек разных радиусов, соединенных шпангоутом жестко или шарнирно. Исходя из построенных ранее уточненных уравнений общего вида сформулирована линеаризованная контактная задача, позволяющая исследовать все возможные классические и неклассические формы потери устойчивости при осесимметричных видах нагружения конструкции. Путем интегрирования по продольной координате и представления введенных в рассмотрение двумерных и одномерных искомых неизвестных в виде суммы тригонометрических функций по окружной координате, допускающего при переходе в возмущенное состояние возможность деформирования оболочек по антифазным формам, исходные соотношения задачи преобразованы к эквивалентной системе интегроалгебраических уравнений, содержащих интегральные операторы типа Вольтерры. Предложен численный алгоритм построения решений полученных уравнений, основанный на методе конечных сумм и позволяющий точно удовлетворять всем граничным условиям задачи и условиям сопряжения оболочек со шпангоутом. При сохранении и отбрасывании в соотношениях для оболочек параметрических слагаемых проведено исследование устойчивости конструкции рассматриваемого класса в случае действия на шпангоут внешнего давления, а также в случае ее осевого растяжения, при котором шпангоут оказывается в условиях деформации выворачивания, а в оболочке большего диаметра формируются докритические окружные напряжения сжатия.

Исследование устойчивости плоских криволинейных стержней на базе уравнений построенной ранее непротиворечивой геометрически нелинейной теории [1] позволило при совместном действии внешнего давления и обжимающей нагрузки выявить неклассическую пространственную изгибно-крутильную форму потери устойчивости (ФПУ), когда ось кольца (шпангоута) в возмущенном состоянии представляет собой пространственную кривую "восьмерку". Параметр критической нагрузки, соответствующей реализации такой ФПУ, оказывается значительно меньшим, чем тот же параметр для хорошо известной плоской изгибно-сдвиговой ФПУ, даже если поперечные сечения стержня имеют равные моменты инерции относительно своих главных осей.

На базе указанных выше уравнений были найдены [2] точные аналитические решения задач о статической и динамической ФПУ кольца, находящегося под действием постоянного по периметру погонного крутящего момента при двух видах нагружения. В первом случае внешние усилия, создающие крутящий момент, остаются в плоскости поперечного сечения кольца в его исходном недеформированном состоянии ("мертвые" силы), а во втором случае остаются в плоскости поперечного сечения в деформированном состоянии ("следящие" силы). Было показано, что во втором случае нагру-

Фиг. 1

жения найденное решение задачи о статической неустойчивости практически точно совпадает с решением задачи, соответствующей динамической постановке и сводящейся к исследованию колебаний около положения статического равновесия. Показано, что при обоих видах нагружения потеря устойчивости кольца происходит без деформации осевой линии при преимущественном ее изгибе в плоскости кольца, сопровождающемся ее незначительным закручиванием. Установлено, что исследование ФПУ кольца при рассматриваемом виде нагружения возможно только на основе уравнений, построенных с учетом поперечных сдвигов.

Необходимо отметить, что в реальных тонкостенных конструкциях подкрепляющие кольца (шпангоуты) не бывают изолированными, поэтому возможность потери их устойчивости по описанным выше формам определяется также и жесткостями соединяемых с ними других элементов в виде оболочек и видом таких соединений. Задачи их исследования в свете полученных ранее [1—7] результатов, очевидно, требуют постановки и исследования на базе уточненных и непротиворечивых уравнений теории оболочек [5] и стержней [1], имеющих соответствующую степень точности и содержательности для выявления всех возможных ФПУ реальных подкрепленных конструкций. Были построены [8] такие уравнения для тонких оболочек, соединенных по торцевым сечениям через плоский криволинейный стержень. В данной работе они используются для определения докритического напряженно-деформированного состояния и исследования возможных форм потери устойчивости двух соосных цилиндрических оболочек, соединенных кольцом (шпангоутом), при осесимметричных видах их нагружения.

1. Постановка задачи. Рассмотрим конструкцию, представляющую собой соосные цилиндрические оболочки, которые соединены шпангоутом (фиг. 1). Отнесем срединные поверхности оболочек к осевым координатам x(k) (0 < х(к) < 1к, к = 1,2), угловой координате 0 (0 < 9 < 2п), а в центре тяжести поперечного сечения кольца, имеющего площадь поперечного сечения F, введем декартовы координатные оси х, £, являющиеся главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей, параллельных осям x(k) и z(k), обозначим через 1х и . В точках Ок, имеющих координаты В(к), Н(к) (фиг.1, б), считаем соединения оболочек с кольцом или абсолютно жесткими (фиг. 1, б) или шарнирными (фиг. 1, в).

Для векторов перемещений оболочек ^^ и кольца U примем представления [1, 5]

и« = и(%(к) + *^(к) + г(V + у(кУк)), - 2 < г(к) < 1к\2 (1.1)

и = (и + гф + Хф!) e1 + (V + гх + ху) e2 + (Ж - хф + гф3) m (1.2)

Считая, что описанная выше конструкция находится в условиях осесимметричного нагружения, будем рассматривать два равновесных состояния. Первое из них — невозмущенное, будем описывать его уравнениями статического равновесия, соответствующими реализации в оболочках и кольце перемещений, заданных векторами

U« = u^e« + w0(k)m(k) + * «(y^e« + у0(kWk))

(1.3)

Uо = (U0 + V + x90)ei + (W0 - хф0 + *ф3)m

(1.4)

Принятым полям перемещений при малых деформациях соответствует формирование в оболочках и кольце внутренних усилий и моментов начального состояния, определяемых по формулам

T0(k) _ t I g(k)n0(k) + _(k) W

Taa - tk I gal u1,1 + ga2 _

0(k)

M1f ) = ^ 11 12

g (k)Y 0(k) + g (k) X g11 Y 1,1 + g12

Rk

0(k ^

+g SV0(k)

Rk

Ta03(k) - iGkV01(k) + Y0(k)); a- 1,2,3

M

3 (k) 0(k) _ tkG 13 .. 0(k)

_чгY 1

(1.5)

00 7-r| r 0 , r W , r 0

y = F\ Й2Ф1 + g22R + g23Ф3

T0 j-Л r , r W\ r 0 I

Tx = F|g1^1 + g12R + g^l,

W0

M0 = Jxg22 ф0,

R

r 0

W0

r 0

T* = F\g^1 + g23R + g33ф3

M0 = -J*g2 2 R

(1.6)

где gioL G(k) и g^a — упругие характеристики материалов оболочек (k = 1,2) и стержня (индекс r), считающихся ортотропными в принятых системах координат.

Второе равновесное состояние соответствует переходу от первого состояния в возмущенное за счет малых приращений полей перемещений в оболочках и стержне, заданных представлениями (1.1) и (1.2). Формирующиеся в них приращения внутренних усилий и моментов будут определяться по формулам

T(k) _ t To1 _ tk

f (k) , (k) \

g ам+g k +g 03V(k) Rk

a _ 1,2,3

T (k) _ t a(k) T12 _ tka12

(

U (k ) U2,1

и (k) ^ "1,2

Rk

, T.« _ tGkWf +Y(k)), T2(3k) _ tG3

Y 2k ) +

v(2k) - U)^ Rk

M(k ) = ^ 12

( (k ) (k )' g (k)Y(k) + g (k) Y 2,2 +1 ' gi1 y 1,1 + gi2 „ Rk

i = 1,2

(1.7)

M

(к) _ &&) Г, k), y (k) л

12

y 2,1

Rk

mS> _ M)y»■), M<?_ tMi?-

13 12 д 23 12 Rk

для оболочек и по формулам

Qx = UR), q, = FG23 i*+^ V

, Qy = FI Я12Ф1 + Я 22

r V,2 +W

R

+ g 23Ф3

J r r V2 + W r \ J r rV2 + W

Tx = F| g11Ф1 + g12 ~1 -— + g1393 I, Tz = F| g1391 + g23 — -— + Яззфз

R

R

Mx = Jxg22 My = Myx - MyZ= «12.

R

= GJ + ^J^, Mz = (1.8)

R

R

R

Myx = Gl2/x

R

91,2

R '

Syx - G12Jz '

My, = -«¿J,

9,2 + V

Syz - G23Jx '

R

93,2 - X R

для кольца.

Относительно введенных в рассмотрение усилий и моментов возмущенное равновесное состояние конструкции будет описываться двумерными линеаризованными уравнениями нейтрального равновесия

S(k) л. R_1S(k) - n S(k) J. R(k) J- S(k)) - n S(k) J. R(k) S(kh - n S11,1 + Rk S21,2 = n S 12,1 + Rk 22,2 + S23 ) = n S13,1 + Rk 23,2 - S22 ) = n

H« + rM% - N1(k) = n, <1 + R-1(H22,2 + H«) - N(3 = n H « + R-1(H23)2 - H22)) - N333) = n

(1.9)

составленными для оболочек, исходя из ранее полученных нелинейных уравнений общего вида [8], в которых

S(k) _ T(k) Tn(k) (k) S(k) _ T(k) Tn(k)r (k) Tn(k) (k) Mn(k) (k)

S11 - T11 + T13 Y1 , S12 - T12 + T11 "2,1 + T13 Y 2 + M11 Y 2,1

S(k) _ T(k) . Tn(k) (k) Tn(k)w(k) M0(k) n(k)

S13 - T13 + T13 Y + T11 w,1 + M11 Y ,1

S(k) _ T(k) Tn(k) R-1 (k) S(k) _ T(k) S(k) _ T(k) Tn(k) R 11k) r (k\

S21 _ T12 + T22 Rk "1,2, S22 _ T22 , S23 _ T23 + T22 Rk (w,2 "2 )

N(k) _ T(k) , Tn(k)„(kK Tn(kX,(kK Mn(kL(k)

N13 = T13 + T13 "1,1 + T33 Y1 + M13 71,1

N« = T2(3k) + T103(k)«(k1) + T3n3(k)Y2k) + M1n:3(k)Y 2^) (1.10)

N 3(k) = T3(k) + T13(k Vk) + M1n3(k)Y(1k)

H« = M^) ■

H« = M§k

M 13k )Y11k), m 13k V(k).

H12k) = Mg).

M

n(k)„ (k)

M13 )Y 2k)

M

°(kyk)

11

H

(k) - M,(k)

21

12

H

(k) - M2?

H

(k) - M.(k)

23

23

а также одномерными уравнениями равновесия

q*2 - RX? = n, q**2 + Q* - RXl = n, q*2 - Q* - RX! = n

М*2 - ад* + ш1) = 0, М*2 - Л«* + ш9у) = 0, М*2 - Л(«** + ш1) = 0 (1.11)

4х,2 - Л(Т* + ху) = 0, ,2 - Л(Т* + (3у) = 0

составленными для кольца. В последних для введенных в рассмотрение усилий и моментов имеют место следующие линеаризованные соотношения:

е* = е, + л_1(мх°ф,2+м°у2), е** = бу е* = ег + л_1[еУ Ж - v) + мх^ - х) - м*(ф,2 +

м** = Мх, м** = Му + л-\м0хиа - м°0 (Ж,2 - V)], м* = мг

Тх* = Тх, Т** = Т; + Л-1Мх (1.12)

«** = бх - Л^ + Л-\тХ°у - м° (Ж,2 - V)]

«** = (Тх° + Ту°)ф - Л-!м*, = т0х - м°хя-2 (Ж,2 - V)

5*х = 5ух + м0 Л-'и 22, = 5у* + мх Л-1 (Ж,2 - V) а также содержатся неизвестные ха =ф£ -Ф« а = 1,2,3

ту = Л1(2) - + Я(1)Ф(112) - Я(2)Ф(122) (1.13)

ту = Л« - Л« + Н(1)Ф(11) + 5(2)Ф(2З), ту = Я^Ф« - ^Ф^

^ = 5(1)Ф11/ - 5(2)Ф121), ху = лЦ - Л}2) + Н(1)Ф1З - Н(2)Ф

13

в которых Ф^, (а = 12,3) — приращения компонент главных векторов и главных моментов контактных усилий взаимодействия оболочек с кольцом, введенных в рассмотрение [8] в соответствии с ран

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком