УДК 556.048:556.166
О некоторых возможностях предсказания характеристик катастрофических паводков
Ц. Е. Мирцхулава*
Изложена методология прогноза характеристик катастрофических паводков на основе теории случайных процессов, в частности, теории пересечения уровня (теория выбросов). При расчетах используется наиболее просто и надежно устанавливаемый параметр — частота интервала между происшествиями. Расчет уточняется по мере поступления новой информации о событиях.
Знание различных характеристик паводков важно при интенсификации темпов развития сельского хозяйства, увеличении масштабов мелиоративных работ, решении задач энергетики, гражданского, промышленного и транспортного строительства, для разработки мероприятий, смягчающих негативные последствия паводков [4, 5, 7, 11, 13, 14, 23, 26—31].
Существующие методы позволяют устанавливать лишь экстремальные параметры паводков, а на практике для полного описания этого явления необходимы и другие характеристики. Применение существующих методов прогнозирования паводков осложнено случайностью явления и сложностью получения необходимых данных наблюдений над стоком рек и другими факторами. Случайность философский энциклопедический словарь поясняет как "отражение внешних, несущественных, неустойчивых, единичных связей действительности". Очень емко, рельефно определяет случайность гениальный А. С. Пушкин: "... и случай Бог изобретатель".
Однако случайность, как отметил один из виднейших математиков современности А. II. Колмогоров: "... не означает хаоса или бессистемности, случай имеет свои законы, значительно более сложные и общие, чем законы неслучайного" [10]. В связи с этим для решения задач, связанных с природными явлениями, предлагаемые точные решения нередко вовсе не являются точными, а представляют собой лишь идеализированный частный случай, который на практике не имеет места.
Анализ различных явлений природы показывает, что законы природы, которые считают детерминистическими и непреложными, определяют поведение природы "в среднем". Во многих случаях такое "среднее поведение" достаточно близко к тому, что на практике имеющимися отклонениями можно пренебречь. В таких случаях детерминистические законы особенно ценны. В других не менее важных ситуациях случайные отклонения могут оказаться значительными. В этих случаях необходимо исполь-
* Институт водного хозяйства и инженерной экологии Академии наук Грузии.
зовать аналитические методы, построенные на основе вероятностных статистических представлениях. Достаточно хорошая замена детерминистическим методам решения — приемы, основанные на случайных вероятностных методах. Они наиболее четко отражают физическую реальность. Одновременно с этим они включают в себя детерминистические решения в качестве частного случая. Таким образом, при решении задач, связанных с природными явлениями, применение вероятностных методов расчета скорее следует считать правилом, чем исключением.
В связи с изложенным, трудно воздержаться от искушения попытаться для разработки способа предсказания характеристик катастрофических расходов паводков использовать известные достижения теории случайных процессов [3, 9, 12, 14—22, 25]. Хотя с момента появления первых работ в этой области [9, 12, 21, 22] прошло немного времени, но уже получены многочисленные результаты для локальных свойств случайных полей, пересечений уровня. Модели случайных процессов типа пересечения уровня широко используются для решения ряда практических задач. Исследования в самых разнообразных областях науки и техники, таких как радиотехника, радиофизика, геофизика, гидрология, физика атмосферы и океана, водное хозяйство и т. д., показывают плодотворность этих методов. Совокупность методов теории случайных процессов и математической статистики позволяет надеяться получить рациональное решение при неопределенности, т. е. они могут явиться мощным инструментом при предвидении характеристик паводков.
Для прогнозирования характеристик катастрофических паводков наиболее интересно установление среднего числа появлений катастрофических максимальных расходов за определенное время, величины максимальных расходов, средней длительности этих расходов, средней длительности интервала между катастрофическими расходами. Решение перечисленных и связанных с ними задач является одной из актуальных задач гидрологии, а практическое значение весьма велико.
Цель данной работы — ознакомление заинтересованных специалистов со спецификой использования для предсказания характеристик катастрофических паводков методов теории пересечения уровня (теория выбросов). Автор, адаптируя известные решения теории случайных процессов для изучаемой задачи, не ставит перед собой цели изложить полное математическое обоснование всех приведенных прогностических выражений. Некоторые вопросы затронуты в ней лишь в той мере, в какой это нужно для понимания применения приемов теории выбросов при решении поставленной задачи.
Изучение различных задач статистической механики, радиотехники, теории надежности и других областей науки и техники естественным образом приводит к разнообразным задачам, которые в терминах случайных процессов эквивалентны задачам типа "пересечения уровня" [1—3, 6, 8, 15, 16, 18, 19, 20—22, 27—30]. Среди этих задач основным является описание закона изменения среднего числа выбросов. Вопрос о среднем числе пересечения некоторого уровня реализации случайного процесса давно привлекает внимание исследователей. Первые работы в этом направлении относятся к области радиотехники, где понадобилось считать среднее чис-90
ло прохождений тока шумов через определенный уровень. Впервые фундаментальное уравнение закона изменения среднего числа выбросов получено С. Раи сом [20, 21]. Дальнейшее развитие результатов дано Кацем и Слепяном [12], В. А. Волконским и Ю. Э. Розановым, Ю. К. Беляевым, В. И. Тихоновым и др. [12, 20, 21]. Этот раздел теории случайных процессов часто используется в моделях Т. Н. Шумова. Наиболее простые выражения для среднего числа выбросов за заданный уровень и другие характеристики получены для стационарного нормального процесса.
Интересующее нас среднее число превышения заранее заданного значения уровня расхода паводка и других характеристик возможно определять путем установления среднего числа выбросов и других характеристик приемами теории пересечения уровня. Решение задачи упрощается, если допустить, что процесс изменения анализируемого показателя стационарный, распределенный по нормальному закону (гауссово распределение), обладающий свойствами эргодичности (т. е. каждая отдельная реализация может характеризовать всю совокупность возможных реализаций).
Напомним, что случайная величина Х{к) подчиняется нормальному распределению, если ее плотность распределения имеет вид
Р(Х)
2я
ехр
{X - а)
2 Ь2
(1)
где а и Ь — действительные постоянные и Ь > 0. Нетрудно убедиться, что Х на являются соответственно средним значением и стандартным отклонением случайной величины Х(1).
Для получения с помощью разработанной теории искомых выражений необходимо, чтобы функциональное выражение расхода реки ()(1) было непрерывным и дифференцируемым. Решение задачи упрощается, если процесс 2(0 можно будет считать стационарным [12, 20, 21].
Стационарный случайный процесс будет дифференцируемым, если существует вторая частная производная от корреляционной функции. Проверка этого условия требует построения корреляционной функции. Под этим понимается как раз такая связь между двумя случайными переменными, при которой одна из них реагирует на изменения другой изменением своего математического ожидания. При решении задачи должна быть подобрана такая корреляционная функция, которая будет иметь вторую производную в точке t = 0. Для корреляционной функции могут быть подобраны разные выражения [25]. Наиболее подходящей представляется такая функция корреляционной матрицы, которая является корреляционным моментом изучаемого случайного процесса.
Корреляционная функция имеет вид
Кд ч Ь )
«с (О)
г \ п
п - 1
Математическое ожидание и дисперсия оцениваются
(2)
та0к) = -
*>0Ок) =
[«с О*)]'
п -1
(3)
(4)
где п — число реализаций наблюдений,
В случае, когда процесс нестационарный, математическое ожидание и дисперсия не являются постоянными. Для приближенного решения можно принять процесс стационарным, осредняя по времени оценки характеристик случайных функций. Для описания корреляционной функции, согласно [25], могут быть использованы выражения в виде
/Г(0 = у вт /9гехр(-р г )со5
(5)
или другие описывающие опытные данные формулы.
На практике особо интересуются расходами рек выше толерантного значения Толерантный — это такое значение расхода, которое является терпимым с точки зрения причиняемого как экологического, так и социального ущерба. Из теории пересечения уровня [12, 19—21] известно, что среднее число выбросов за уровень 0, за время Т и средняя длительность выброса соответственно могут быть выражены зависимостями
г =
_0_
(6)
(7)
Среднее число выбросов в единицу времени для стационарного процесса определяется из соотношения
V
_ о
V
а. Т
где
= ¡б/(в„ от-
(9)
Двухмерная плотность распределения вероятности Д2, *) в данном случае может быть представлена в виде произведения нормальных плотностей распределения 2 и х
да V) =
1
а,
ехр
-(6, ~ й) 2а\
ехр
20
(10)
После подстановки (10) в (7) имеем
Ог
х - л-
"(б,-б)2" 1 - F {б, - б т
[ Ч ] 1 0С Л
где интеграл функции Лапласа
/■(*) = -1=\е"г,2(И.
Ы2л о
(П)
(12)
При рассмотрении выбросов за нулевой уровень, т. е. при 0/ = б. Ф°Р" мула (11) упрощается и принимает вид
т - л-
(13)
Часто с приемлемой для практики точностью можно допустить, что
о,
О г
2лу
0>
(14)
где у0 = Ы0/Т0, N0 — среднее число нулей случайного процесса за время То- Тогда
= ехР|
(О, -в)2
Ч
(15)
При наличии реализаций случайного процесса среднее число Р0 определяется статистическим путем. В этом случае среднее число выбросов за любой уровень находится без знания корреляционной функции.
При наличии корреляционной функции, согласно [20], знач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.