ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. А. А. Буров
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ, РЕАЛИЗУЕМЫМИ БОЛЬШИМИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ СИЛАМИ
Для систем, стесненных связями, реализуемыми большими потенциальными силами, исследуется вопрос о необходимых условиях устойчивости установившихся движений. Для изучения собственных значений линеаризованной системы вводится расширенная матрица, аналогичная расширенной матрице, возникающей в условиях знакоопределенности ограничения квадратичных форм на линейное многообразие. На примере обсуждается вопрос о корректности реализации односторонних связей в особенных случаях нулевой реакции.
Как известно, метод Рауса [1, 2] и его модификации (см., например, [3-5]) позволяют эффективно решать не только задачу о существовании установившихся движений механических систем, стесненных связями или обладающих первыми интегралами, но и исследовать достаточные условия их устойчивости и неустойчивости. В то же время для систем, стесненных односторонними связями, исследование необходимых условий устойчивости затруднено определенными сложностями, связанными с составлением уравнений возмущенного движения. Ниже обсуждается один из возможных путей преодоления таких трудностей в случае, когда механическая природа связи известна.
1. Уравнения движения механической системы, стесненной связью, реализуемой большой потенциальной силой. Рассмотрим движение механической системы, для которой выражения для кинетической и потенциальной энергии имеют вид
Т = Т(х, х), и = и(х), х б Я" (1.1)
Предположим, что на систему также действует дополнительная сила с потенциалом (ср. [6, 5])
им = 2 Аф( х) (1.2)
зависящим от положительного параметра N где
Ф( х) = /(х) (1.3)
или (1.4)
Г/(х), х е % + и %
ф( х) = \ (1.5)
10, х е %_
Области %± и поверхность % определены соотношениями
%_ = {х: /(х)< 0}, %+ = {х: /(х)> 0}, % = {х: /(х) = 0} (1.6)
соответственно. Предполагается, что /(х) - гладкая функция в Я", причем гладкая поверхность % разделяет "-мерные области %- и %+.
Будем считать, что для достаточно больших значений параметра N сила с потенциалом (1.2), (1.3) реализует двустороннюю связь
/(х) = 0, х е Я" (1.7)
а силы с потенциалом (1.2), (1.4) реализуют одностороннюю связь
/(х)< 0, х е Я" (1.8)
Так как все введенные выше функции гладкие, уравнения движения можно представить в виде
£дЬ = дЬ-Щ<, ь = Т- и (1.9)
аХ дХ дх дх
2. Установившиеся движения. Согласно теории Рауса [1-5], установившиеся движения рассматриваемой системы можно найти как критические точки потенциала
Щх; N) = и(х) + ^(х) (2.1)
Они определяются соотношениями
Жх( х; N) = и х( х) + N (х) / х( х) = 0 (2.2)
имеющими место как для потенциала (1.2), (1.3), так и для потенциала (1.2), (1.4) в области % и %+. Для потенциала (1.2), (1.4) в области %_ уравнения установившихся движений имеют вид
Жх (х; N) = их (х) = 0
Введем переменную
X = х)
как это было сделано ранее [5]. Тогда система (2.2), состоящая из " уравнений относительно " переменных, оказывается эквивалентной системе
их + X /х = 0, / (х) = е*, е = ^1 (2.3)
состоящей из " + 1 уравнения относительно " + 1 неизвестных. При е ^ 0 второе уравнение преобразуется в уравнение (1.5) поверхности %.
Решение системы (2.3), представленное в виде формального ряда по отношению к параметру е, имеет вид
х = х0 + е хх + ..., X = Х0 + еХ + ... (2.4)
причем величины х0, Х0 удовлетворяют системе
их + Х0 /х = 0, = 0 (2.5)
/° = /(х„), /х = /х( хс), их = их (х0) Если матрица
А = и хх( х0) + Х0 / хх( х0) (2.6)
невырожденна, то величины х:, могут быть представлены в виде
х1 = Х0(А /х> /х) А /x, Х1 = -Х0(А /х. /х)
в случае, когда связь напряженная. Так как
/(х0 + ех: + ...) = /0 + е(/х, хх) + ... = е^, + ...
и е > 0, при Л0 > 0 критическая точка располагается внутри области %+, и связь напряжена вне зависимости от того, является она односторонней или двусторонней. При Л0 < 0 критическая точка, удовлетворяющая соотношениям (2.5), располагается внутри области %-, чего при реализации односторонней связи в рамках сделанных выше предположений быть не может. Наконец, случай Л0 = 0 требует рассмотрения более высоких приближений.
3. Необходимые условия устойчивости. Достаточные условия устойчивости найденных установившихся движений в рамках теории Рауса при N ^ т.е. при е ^ 0, были установлены ранее [5]. Обратимся к исследованию необходимых условий устойчивости. Прежде всего с помощью введенных выше обозначений представим уравнения движения в виде
й дЬ дЬ лй / , л /о 1ч
т-гт = ------ Л -г, /(х) = Ле (3.1)
йг дх дх дх
Эти уравнения справедливы всюду, если реализуемая связь - двусторонняя, и в области % и %+, если реализуемая связь односторонняя. Рассмотрим случай, когда выполнено любое из этих условий. Тогда уравнения движения (3.1), линеаризованные в малой окрестности найденного установившегося движения, имеют вид
дЬ 5 у . дЬ 5 Х = дЬ 5 у. . дЬ 5 г д/5Л Л д2/ 5 г (32)
------О X: + -т----О X: = ------О X: +-Т----О X: — -т-5Л — Л ------О X: (3.2)
дx¡дxj 1 дд:; дXj 1 дxi дxJ■ 1 дxi дXj 1 дxi дxi дXj 1
д/ 5 xj = е5Л (3.3)
дxj
Все частные производные, входящие в уравнения (3.2), (3.3), вычислены в критической точке (х = хе, х = 0, Л = Ле). Подстановка разложений (2.4) в уравнения (3.2), (3.3) в пределе при е ^ 0 позволяет представить эти соотношения в виде
Р5х + О5х + А5х + Е5Л = 0, (Е, 5х) = 0 (3.4)
(ср. [7], гл. 5, с. 38). Тогда характеристическое уравнение представимо в виде
ёеЦ(ц) = 0, 1(ц) =
Н(Ц) Е
ЕТ 0
Н(Ц) = Рц2 + Оц + А (3.5)
Матрица 1(0) совпадает с расширенной матрицей второй вариации потенциала, известной из [4] для систем, стесненных двусторонней связью, и из [5] для систем, стесненных односторонней связью.
На самом деле подстановка соотношений
5 х = ецг 5 х0, 5Л = ецг5Л0 (3.6)
в уравнение (3.4) дает
Н(ц)5х0 + Е5Л0 = 0, (Е, 5х0) = 0 (3.7)
откуда и следует сформулированное утверждение. Более того, так как 5 х0 = —Н-1(ц)Е5Л0
из второго соотношения (3.7) имеем (Е, Н-1 (ц)Е) = 0
(3.8)
В простейшей ситуации, когда имеются лишь две степени свободы, из соотношения (3.8) следует немедленно утверждение [7] о возможной стабилизации системы при наложении новой связи.
Замечание. Разлагая определитель (3.5) по последнему столбцу, получаем многочлен степени 2(" _ 1). Это означает, что применение расширенной матрицы позволяет заранее исключить пару нулевых корней, получающихся при прямом вычислении определителя нерасширенной матрицы.
4. Структура характеристического многочлена системы с тремя степенями свободы, на которую наложена одна связь. Пусть
I, О
0 §з -§2 -§з 0 £1 §2 -£1 0
А = ^(0,1, а.2, аз), Е = со1 (/ь /2, /3)
Тогда характеристическое уравнение определено соотношением
2
ц + а1 §зц -§2ц /1
2
-§зЦ ц + а2 §1Ц /2
2
§2Ц -§1Ц ц + аз /3
/1 /2 /3 0
=0
(4.1)
Функция в левой части равенства (4.1) четна по ц. Следовательно, полагая V = ц2 и меняя знак, получаем
av + bv + с = 0
а = X ^ Ь = X /21(а2 + аз) +
(1, 2, з) (1, 2, з)
X /1 §1
Ц1, 2, з)
= X /
(1, 2, з)
(4.2)
1 а2аз
Более того, так как найденное установившееся движение предполагается неособым, можем считать, что
а = /2 + /2 + / з = 1
(4.3)
Необходимые условия устойчивости оказываются выполненными, если оба корня уравнения (4.2) вещественны и отрицательны. В силу последнего предположения эти условия имеют вид
Ь - с > 0, Ь > 0, с > 0
(4.4)
Замечание. Вообще говоря, рассмотренная задача выглядит как более простая по отношению к задаче о существовании и устойчивости периодических решений систем, стесненных односторонними связями. По публикациям на данную тему, восходящим, вероятно, к [8-11], имеются подробные обзоры [12-15].
5. Обобщенная задача трех тел. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, рассмотрим плоскую задачу о движении тросовой связки двух массивных то-
2
с
чек, взаимодействующих с третьей массивиои точкой силами ньютоновского притяжения. Эта задача была рассмотрена [15] (см. также [16]) в предположении о том, что точки связаны нерастяжимым безмассовым стержнем и образуют гантель; было, в частности, показано, что в пространстве параметров имеются области, такие, что для соответствующих значений этих параметров оказывается возможной гироскопическая стабилизация "треугольных" установившихся движений.
В качестве обобщения этих результатов условия существования и устойчивости стационарных движений были рассмотрены для широкого класса возможных потенциалов взаимодействия между точками, образующими гантель [17].
Чтобы применить полученные результаты к задаче, описанной выше, оказывается достаточно исследовать знак силы, реализующей соответствующую связь. Если г1 и r2 - расстояния от точки m0 соответственно до точек m1 и m2, образующих гантель, а - угол между m0m1 и m0m2, то приведенный потенциал имеет вид [17]
2
P 2 2 1/2 W = р- + П + E (l), l = (r1 + r2-2r1r2cos а) (5.1)
где П = -ym0(m1/r1 + m2/r2) - ньютоновский потенциал, E - потенциал взаимодействия между точками m1 и m2, р - постоянная циклического интеграла. Функция
1 2 2 J = m [ m1( m0 + m2) r1 + m2 (m0 + m1) r2-2 m1 m2r1r2cos a], m = m0 + m1 + m2
описывает момент инерции всей системы относительно ее центра масс.
Уравнения критических точек приведенного потенциала (5.1), т.е. уравнения установившихся конфигураций, имеют вид [17]
2
dW р г , , , mo m1
■г— = —-—■[m,(m0 + m9)r, -m,m9r9cosa] + y —— +
dr1 mJ2 r?
r, - r2 cos a
■ 1 2 - E'( l) = 0 (1 о 2) (5.2)
l
dW Эа
2
P ■ E' (l)
—- mi m2sin a + —
2 1 2 l
mJ
r1r2sln a = 0 (5.3)
Согласно уравнениям (5.3), имеется класс "треугольных движений" таких, что
2. Р I
Е'(I) = 2 т1 ш281п а (5.4)
шЗ
Предположим, что сопротивление троса на растяжение задается потенциалом
Е(I) = |"(1 -)2/2' 1 ^ ° (5.5)
I I < °
Тогда в силу выражений (5.4), (5.5) на классе треугольных движений трос растянут, и результаты, касающиеся существования и устойчивости установившихся движений, полученные ранее [15, 16] для связи, реализованной с помощью стержня, остаются справедливыми и для связи, реализованной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.