ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. В. Б. Зеленцов
О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ШИРИНОЙ ЗОНЫ КОНТАКТА
Рассматриваются две нестационарные динамические контактные задачи о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость. В первой задаче штамп клиновидной форы, во второй - параболической. Для решения задач применяется метод, разработанный ранее [1, 2]. Требования, накладываемые на гладкость решения рассматриваемых задач, приводят к дополнительным условиям, благодаря которым определяется изменяющаяся во времени ширина зоны контакта между штампом и упругой полуплоскостью как функция времени и закона внедрения штампа в упругую полуплоскость, определяемого из дифференциального уравнения движения массивного штампа на упругой полуплоскости.
Ранее решения смешанных задач теории упругости с изменяющейся во времени границей смены краевых условий в аналитической форме рассматривались в ряде работ ([3, 4] и др.). Приведена [5] подробная библиография рассматриваемого класса задач.
1. Постановка задач и их интегральные уравнения. Рассматриваются нестационарные динамические контактные задачи (НДКЗ) о внедрении жесткого штампа клиновидной (НДКЗ 1) и параболической (НДКЗ 2) формы в упругую полуплоскость (-го < х < ^ у > 0). Внедрение штампов в полуплоскость осуществляется вдоль оси у (х = 0), являющейся осью их симметрии. Начальная скорость штампов и0, погонная масса каждого из них т, полуширина зоны контакта штампов с упругой полуплоскостью а (г) - знакоположительная функция времени г. Силы трения и сцепления в зоне контакта штампов с упругой средой отсутствуют. Форма штампов и закон их внедрения в упругую среду задаются функцией g(x, г)(г > 0, |х| < а(г)), которая в случае клиновидного штампа (НДКЗ 1) имеет вид
g(х, г) = е(г) - х\, 9! = ^а (1.1)
где 2а - угол раствора клина, е(г) - закон его внедрения в упругую среду, а в случае параболического штампа (НДКЗ 2) определяется равенством
g(х, г) = е(г) - 02х2 (1.2)
где 02 - параметр, характеризующий пологость (крутизну) формы параболического штампа, размерности м-1.
В начальный момент времени упругая полуплоскость находится в покое и поэтому смещения упругой среды и = и(х, у, г) и и = и(х, у, г) при г = 0 и их скорости равны нулю.
Граничные условия рассматриваемых НДКЗ в общепринятых обозначениях теории упругости [6, 7] имеют вид (г > 0)
и(х, 0, г) = g(х, г), |х| < а (1.3)
oyy(x, 0, t) = 0, a < |x| ; oxy(x, 0, t) = 0, |x| (1.4)
где oyy, üxy - нормальные и касательные напряжения. На бесконечности (при
2 2 ч
x + y ^ го) напряжения и смещения в упругой полуплоскости равны нулю.
I
Поставленные НДКЗ 1 и НДКЗ 2 с помощью интегральных преобразований Лапласа (по времени ^ с параметром р и Фурье (по координате х) [8], последовательно применяющихся к дифференциальным уравнениям теории упругости [6, 7] и к граничным условиям (1.3), (1.4), с учетом условий на бесконечности и нулевых начальных условий, приводятся к решению интегрального уравнения (ИУ) первого рода в безразмерной форме [1, 2]
1
| фр)к(^4 = 2п/Хх, р), |х| < 1 (1.5)
k(t) = JK(u)eiutdu, K(u) = 2(1- ß2)o2R \u) (1.6)
г
2 2 2 I 2 I 2 2 R(u) = (2u +1) -4u g1g2; o1 = vu +1, g2 = л/u + ß
л = ß = C2, Cl = C2 = M
pa ci 1 V p 2 Vp
(1.7)
где 9L(x, p) - трансформанта Лапласа функции m(x, t) - искомой функции распределения контактных напряжений под штампом;fL(x, p) = AgL(x, p), А = 2(1 - ß2)^a-1, gL(x, p) - изображение Лапласа функции g(x, t), описывающей форму штампа и закон его внедрения в упругую среду (1.1), (1.2)
gL(x, p) = еL(p) - 91ap_1|x|, |x| ^ 1 для НДКЗ 1 (1.8)
gL(x, p) = еL(p) - 92a2p^1 x2, |x| ^ 1 для НДКЗ 2 (1.9)
где eL(p) - изображение Лапласа функции e(t) из (1.1), (1.2), a = a(t) - полуширина зоны контакта (a(t) > 0), c1 и c2 - скорости распространения продольной и поперечной упругих волн смещений и напряжений, X, ц - коэффициенты Лямэ, р - плотность материала упругой среды. Контур интегрирования Г в комплексной плоскости u = о + ¿т проходит от -го до +го вдоль действительной оси (т = 0) под углом - arg p к ее положительному направлению.
2. Символ ядра ИУ (1.5) и его основные свойства. Функция K(u) (второе равенство (1.6)) - символ ядра ИУ (1.5) является четной, вещественной на действительной оси комплексной плоскости u = о + ¿т. Ее асимптотическое поведение в нуле и на бесконечности дается соотношениями
K(u) = |u|_1 + O(|u\) при |u| ^го (2.1)
K(u) = K(0) + -1K"(0)u2 + O(u4) при u ^ 0
2! (2.2)
K(0) = 2ß( 1 - ß2), K"(0) = 2ß-1( 1 - 9ß2 + 8ß3 + 8ß4 - 8ß5)
В комплексной плоскости u = о + ¿т функция K(u) имеет четыре точки ветвления u = ±iß, u = ±i и два полюса Релея u = ±in0, определяющихся из алгебраического уравнения Релея R(iu) = 0 [7].
Для однозначного представления функции К(и) в комплексной плоскости и = о + гт проводятся разрезы от точек ветвления и = г, и = г'в до вдоль положительной части мнимой оси (1ти > 0) и от точек ветвления и = -г, и = -г'в (в > 0) до -г— вдоль отрицательной части мнимой оси (1т и < 0). В разрезанной таким образом комплексной плоскости и = о + гт с выколотыми точками полюсов Релея и = ±г'п0 функция К(и) - аналитическая, включая полосу |1т(и)| < в, (в < 1 < По).
3. Асимптотическое решение ИУ (1.6). Нулевой член асимптотики решения ИУ (1.5) фЬ(х, р) при малых Л (большие р) может быть построен по формуле [1, 2, 9]
фь(х, р) = ф^^-ЛЛ р] + фь(^' р) - фь(Л, р], |х| < 1
: которой функции ф^ (х, р), ф— (х, р) определяются из ИУ
(3.1)
|фЬ(£, р)к(£ - х)^ = 2п/Ь(± Лх + 1, р)Л 1, 0 < х < —
(3.2)
/ф^& р)к(£- х)а% = 2п/Ь(Лх, р)Л-1,
—— < х < —
(3.3)
Ядро к(г) (1.6) после деформации контура интегрирования Г в действительную ось имеет вид
к(г) = | К(и)е"
Уравнения (3.2) являются ИУ Винера-Хопфа на полуоси [10], а (3.3) - уравнение свертки Фурье на оси [11].
Решение ИУ (3.3) находится с помощью интегрального преобразования Фурье и дается формулой
— ЬГ
Ь, , 1 г / (и, р) —¡их
ф—(х,р) = 2пл е '
К (и)
(3.4)
где
/ЬГ(и, р) = 2я^05(и) — 2Х1Лаи 2,
для НДКЗ 1 (3.5)
/ЬГ(и, р) = 28(и) -2^2Л25"(и), для НДКЗ 2 (3.6)
причем = 2(1 - в2)^а-1гЬ(р), ^ = -2(1 - в2)цв1р-1, = -2(1 - в2)ца92р-1, 5(и) - дельта-функция Дирака в комплексной плоскости и (штрихами обозначены производные). После вычисления квадратур в (3.4) в случае НДКЗ 1 получаем
А 1фЬ (х, р) =
1
Л К (0)
2
г 9,а
е Ь ( р)--т-
с2
/
П К (0)/ Щ ехр (-|х| £) 4 + |х| в ^
1 (и) =
2 -1 11(и)-4и о10о20/0 (и), 1 < и < —
[и ), в< и < 1
11( и) = (2 и2 - 1 )2101 (и), 10( и) = 2 (1 -в2 )о20, о10 = 7и2 - 1, о20 = 7и2- в2
(3.7)
о
о
а в случае НДКЗ 2
3
г о о^'чтл
(3.8)
Л-1 + / N 1
А фте(х, р)
ЛК (0)
'(Р) Л( х2 +
При получении соотношений (3.7), (3.8) учитывалось, что К'(0) = 0 ввиду четности функции К(и).
Для решения ИУ (3.2) применяется стандартная процедура их решения методом Винера-Хопфа [1, 2, 10-12]. Рассмотрим ИУ (3.2) для ф+ (х, р), доопределив его на всю действительную ось
1 + (Ъ );(Ъ ^ 12 п /+ (Лх -1, р )Л-1, 0 < х <~
|ф+ (Ъ, р)к(Ъ - х)йЪ = <] (3.9)
0 12пи+(х, р), -1< х < 0
Под и+ (х, р) понимается интегральный оператор
и+(х, р) = 1 /ф+(Ъ, р)к(Ъ - х)йЪ (3.10)
о
определяющий трансформанту Лапласа упругих вертикальных перемещений и(х, ^ поверхности упругой среды вне штампа.
После применения к ИУ (3.9) интегрального преобразования Фурье получим функциональное уравнение
К(и)ф+"(и, р) = Л-1 /+"(и, р) + и+"(и, р) (3.11)
ф+"( и, р) = |ф+(Ъ, р) еи йЪ,
о
(3.12)
/+"(и, р) = |/+(ЛЪ - 1, р)еиЪйЪ, и+"(и, р) = | V1 (Ъ, р)
относительно неизвестной трансформанты Лапласа-Фурье функции ф+ (и, р), являющейся изображением Фурье искомой функции ф+ (х, р). Функция /+" (и, р) в случае НДКЗ 1 определяется формулой
/+"(и, р) = АЛ-1|_- (е+(р) -П1 Л)(ги)-1 + 1-2ехр(гиЛ-1 ))(ш)-2] (3.13)
а в случае НДКЗ 2
/+"(и, р) = АЛ-1|_- (е+(р) - п2Л)(ги)-1 + 2п2Л2(1 + Л(ги)-1)(ги)-2]
Пк = 9к«1+ кС21, к = 1, 2
(3.14)
Функции ф+" (и, р), /+" (и, р) регулярны в верхней полуплоскости 1т(и) > 0, а х>+Р (и, р) регулярна в нижней полуплоскости 1т(и) < в, в > 0 комплексной плоскости
о
о
и = о + гт, функция К(и) регулярна в полосе |1т(и)| < в. Предполагая возможность факторизации функции К(и) [10]
К( и) = К+ (и )К-( и) (3.15)
где функции К+(и), К (и) регулярны соответственно в верхней (1т(и) > -в) и нижней (1т(и) < в) полуплоскостях, подставим выражение (3.15) в уравнение (3.11) и разделим его левую и правую части на К-(и). Образовавшуюся в результате этого функцию
-1 ЬГ
g (и, р) = Л К-1 (и) /Г( и, р) (3.16)
представим в виде суммы двух функций [10]
g(и, р) = g+(и, р) + g-(и, р) (3.17)
где g+(u, р) регулярна в верхней (1т(и) > 0), а g-(u, р) в нижней (1т(и) < в) полуплоскости и = о + гт. При этом в случае НДКЗ 1
21
g+(и р) = АХ X скп( р) g+n( и) (3.18)
к= 1 п = 0
С1о(р) = -(еЬ(р) - П1 Л( 1 + Лу_-2Лур))Л-1 Сц (р) = с21(р) = -2 с20(р) = -2 П1Л
и) = 1 к = 12 (и) = .1 Г ехр ( г СЛ-1 ) _а!С_1
и) = ( г и)кК ( 0), к =1, 2 g11 (и) = 2пгГ С К -( О С - иги
1 0+
в+1 (и) = ех^, т- = 'КК§, тр = К2П0) Г ехг^ ас
(ги)2 К (0) К-(0) р 2п Г (г О2 К (С)
1 0+
а в случае НДКЗ 2
3
g+(и, р) = АХ Сп (р) g+о (и) (3.19)
п=1
С1 (р) = -(еЬ(р) - П2«(1 + 2Л2у- + 2Л3(у-'+ у-)))Л-1 с2 (р) = 2п2 Л( 1 + 2 Лу-), сз( р) = 4п2Л2
+ ( ) 1 ,, К-'(0)
gзо(и) = —з-; У- = К-(0л
(ги)3 К - (0) К-(0)
Формулы для g+0 (и), g+0 (и) даны в (3.18), пк даны в (3.13), (3.14). Контур интегрирования Г0+ проходит в верхней полуплоскости вдоль разрезов от +г— до г'в вдоль мнимой оси (справа) и от гв до +г— (слева); выбор ветвей для вычисления корней о^ о2 осуществляется так, что вдоль берегов разреза
7- и2 + в2 = +гл/и2 - в2, V- и2 + 1 = +гл/и2 - 1
где верхний знак берется для правого берега, а нижний - для левого берега разреза. Штрихами обозначены производные.
В результате представления (3.17) функциональное уравнение принимает вид
ЬГ ЬГ -1
ф+ (и, р) К+ (и) - g+( и, р) = g-( и, р) + V- (и, р) К - (и) (3.20)
и ввиду убывания на бесконечности всех функций в (3.20) и теоремы Лиувилля получим из уравнения (3.20) два равенства
ф^(и, р)К +(и) - g+(и, р)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.