КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 5, с. 408-411
УДК 523.74:523.98
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭНТРОПИЙНЫХ волн В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
© 2008 г. Б. В. Сомов1, Н. С. Джалилов2, Ю. Штауде3
Государственный астрономический институт им. ПК. Штернберга, г. Москва 2Институт земного магнетизма и распространения радиоволн РАН, г. Троицк Шамахинская астрофизическая обсерватория Азербайджанской Академии наук, г. Баку 3Институт астрофизики, Потсдам, Германия Поступила в редакцию 08.02.2007 г.
Для малых возмущений магнитогидродинамического типа в оптически прозрачной плазме с космическим обилием элементов выведено дисперсионное уравнение. Учтены электронная теплопроводность вдоль магнитного поля и протонная теплопроводность поперек поля. Показано, что энтропийные волны экспоненциально нарастают в широком диапазоне температур и плотностей космической плазмы. Обсуждаются проявления неустойчивости энтропийных волн в космической плазме.
PACS 52.30.Cv, 94.05.-a, 95.30.Qd
ВВЕДЕНИЕ
Роль энтропийных волн (ЭВ) в классической гидродинамике хорошо известна, особенно в задаче об устойчивости ударных волн [1, 2]. С учетом гравитации ЭВ являются существенной составляющей теории строения и эволюции Вселенной [3]. В магнитной гидродинамике (МГД) ЭВ с необходимостью присутствуют, например, в теории эволюционности разрывных течений космической плазмы [4], в том числе и пересоединяющих токовых слоев [5]. Между тем, в обычных условиях, т.е. при наличии тех или иных диссипа-тивных процессов и теплопроводного переноса энергии, ЭВ считаются затухающими. По этой причине часто предполагается, что ЭВ можно пренебречь. Однако, как показано ниже, ЭВ в космической плазме могут экпоненциально нарастать и, следовательно, должны учитываться во многих приложениях.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пренебрегая для простоты хорошо изученными эффектами обычной и магнитной вязкости, а также силой гравитации, возьмем в качестве исходной систему уравнений МГД в следующем виде:
^ + р divv = 0,
at
р dv+< *+ij - (в
V) в4- = 0,
(1)
(2)
T— = 1 dp y pdp =
dt y -1 dt y -1P dt = V,, • (K|| V| |T) + V± • (k1V1T) - X(p, T) +
dB
dt
+ Bdivv - (B • V)v = 0,
divB = 0,
p = - P T. M
(3)
(4)
(5)
(6)
Здесь 5 - энтропия единицы массы, Y = cplcv - отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме. В высокотемпературной плазме, например, в короне Солнца и солнечном ветре большую роль играет теплопроводность. В присутствии достаточно сильного магнитного поля теплопроводность вдоль поля, К||, определяется электронами, а поперек поля, к±, - протонами [6]. Вкладом в поперечную теплопроводность более тяжелых ионов можно пренебречь ввиду малого обилия их в космической плазме. Между тем, именно эти ионы определяют большую мощность потерь энергии на излучение в УФ- и мягком рентгеновском диапазоне [7] ; X - скорость потерь энергии на излучение оптически тонкой плазмы в единице объема.
Рассмотрим малые возмущения на фоне однородной равновесной плазмы с вмороженным однородным постоянным магнитным полем В0. Наличие стационарного состояния в такой плазме подразумевает присутствие постоянного однородного источника нагрева, мощность которого
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭНТРОПИЙНЫХ волн
409
Ж равна скорости потерь энергии на излучение. В космической плазме обычно применимо приближение идеальной проводимости, что позволяет пренебречь в уравнении (3) джоулевым нагревом и связанной с ним перегревной неустойчивостью [8]. Вместо этого в литературе обсуждаются самые разнообразные механизмы нагрева космической плазмы, например, нагрев теми или иными волнами, нагрев рентгеновским излучением, микровспышками и т.д. К сожалению, из наблюдений мало известно о физических свойствах такого нагрева. Поэтому обычно предполагается не джоулев нагрев, а некий фоновый источник тепла, не зависящий от параметров плазмы. Иными словами, подразумевается, что в правую часть уравнения (3) добавляется некоторая постоянная величина Ж.
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
Для малых возмущений, влияющих на плотность плазмы, из уравнений (1)-(6) получаем в линейном приближении обычным способом дисперсионное уравнение
ю5 + Iютю4- к2УД (1 + Р)ю3-
- ¿к2 У А
(Ют - Юр)£ + ют
2 отИ ,4 2а
ю + р УА к ео8 6-ю +(
"(7)
+ ^(ют - юр)вУА к4ео826 = 0.
Здесь характерные частоты 1
ют =
- (От + Ж), Юр =
Ор
суРо ' к суто
определяются через коэффициенты
Ор =
ЭХ-Эр
От =
ЭХ д т
Ж = Кцк2 + к±к! ,
(8)
(9)
(10)
которые характеризуют излучательную способность плазмы и анизотропную теплопроводность в ней. 6 - угол между волновым вектором к и вектором магнитного поля В0. Параметр в = с1 /УА -величина пропорциональная отношению газового давления к магнитному, с8 и УА суть скорость звука и альфвеновская скорость.
ПРЕДЕЛ СИЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Имея в виду приложения, которые можно описать в приближении сильного магнитного поля (см. [5]), например, магнитосферы планет, перей-
дем к пределу в —- 0 в уравнении (7). Получаем простое уравнение
О2(О2+1 )(О - От) = 0, (11)
переписанное в безразмерных переменных
О = ¿
ю
кУ-А,
От = У А
оР
= _ЮР.
к Уд
Первый корень уравнения (11), О2 ~ 0, соответствует медленным магнитозвуковым волнам. Если выполнено условие УА > с5, то их фазовая скорость Урк вдоль поля равна скорости звука с5 и, следовательно, стремится к нулю при в —0. С помощью знака "~" мы подчеркиваем здесь, что О2 есть малая положительная величина, которая пропорциональна малому параметру в, не равная тождественно нулю.
Второй корень, ю = ±кУА, соответствует быстрым магнитозвуковым волнам. В пределе сильного поля (УА > с2) диаграмма фазовой скорости этих волн становится практически изотропной.
Третий корень уравнения (11)
ю = -гют
(12)
соответствует интересующим нас ЭВ. При наличии магнитного поля они возмущают только энтропию и плотность плазмы. ЭВ неподвижны относительно среды; малые возмущения в них имеют вид
/'( г, г) = / 1ехр¿(к - г) - ехр(-ю^), (13)
т.е. экспоненциально нарастают, если юр < 0.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЛН
Используя (8), перепишем условие неустойчивости юр < 0 так
От + Ж < 0.
(14)
Поскольку коэффициент Ж больше нуля по определению (10), теплопроводность оказывает стабилизирующее влияние на ЭВ. Из (14) с учетом (9) следует, что неустойчивость ЭВ может проявиться только при отрицательных значениях производной от мощности лучистых потерь Х по температуре.
Современные расчеты Х в зависимости от температуры оптически прозрачной плазмы с космическим обилием элементов аккуратно учитывают многие факторы (см. [9]). При столкно-вительном возбуждении ионов мощность излучения из единицы объема плазмы пропорциональна квадрату ее плотности п:
Х(п, т) -п2д(т).
(15)
Функцию д(т) называют функцией лучистых потерь. Она сильно зависит от температуры т, но очень слабо - от плотности плазмы п (рис. 1).
т
р
и
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 46 < 5
2008
410
СОМОВ и др.
Рис. 1. Зависимость функции лучистых потерь от
температуры при заданных значениях плотности
93 103 113
плазмы: П1 = 109 см-3, П2 = 10 см-3, «3 = 10 см-3.
Результаты наших расчетов, базирующиеся на решении общего дисперсионного уравнения (7), представлены ниже для области температур, в которой ЭВ экспоненциально нарастают. На рис. 2 показано характерное время нарастания
т = -Щ- = -суро(йг + кук^ + к±к± )-1 (16)
Ш т
в зависимости от температуры при трех заданных значений плотности. Слабая зависимость от магнитного поля входит в расчеты с формулами
Спитцера для теплопроводности плазмы [6]:
К 2
к - 9 • 10-7 Т5/2, — - 2 • 10-11-«—(17) " К|| ТЪБ2
где теплопроводность измерена в единицах СГС, а магнитное поле В - в Гауссах. Чем сильнее поле, тем меньше поперечная теплопроводность и меньше характерное время нарастания (16). Однако, как видно из (17), этот эффект очень мал, поскольку поперечная теплопроводность много меньше продольной. Наши расчеты выполнены для широкого диапазона значений поля В = (10-1-104) Гс, что проявилось на рис. 2 лишь в незначительном "расслоении" кривых для инкремента неустойчивости т при плотности плазмы п2 = 1010 и п3 = 1011 см-3. Угол 0 принят равным п/4, длина волны выбрана X = 108 см.
Зависимость инкремента неустойчивости от длины волны показана на рис. 3. Время нарастания ЭВ может изменяться в широких пределах: от десятых долей секунды до десятков минут. Чем больше плотность плазмы, тем быстрее развивается неустойчи-
Рис. 2. Инкремент неустойчивости ЭВ в зависимости от температуры при заданных значениях плотности: «1 = 109, «2 = 1010, «3 = 1011 см-3. Слабая зависимость от магнитного поля проявляется в виде небольшого "расслоения" кривых, увеличивающегося с ростом п.
вость. Характерно наличие двух "главных" минимумов (областей сильной неустойчивости) при температурах Т1 - 2 -104 К и Т2 - 3 -105 К.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Эффект быстрого нарастания ЭВ в результате неустойчивости необходимо учитывать прежде всего в физике солнечной короны и солнечного ветра. Довольно очевидно, что здесь нельзя пренебрегать быстрыми течениями плазмы вообще (в частности, быстрыми потоками плазмы из пересоединяющих токовых слоев, см. [5]), а следовательно, и нарастаю-
т, с
Рис. 3. Зависимость времени нарастания неустойчивости от температуры и длины волны X, которая указана в виде чисел рядом с кривыми (единица измерения длины принята 108 см). Величина напряженности магнитного поля В0 = 1000 Гс. Угол 0, как и на рис. 2, равен п/4.
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 46 № 5 2008
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЛН
411
щими ЭВ, которые переносятся этими течениями. Неоднородность магнитного поля, поля скоростей и плазмы может создавать условия для нелинейного взаимодействия и преобразования части энергии ЭВ в магнитозвуковые и другие волны, переносящие энергию и импульс в космической плазме, нагревающие и ускоряющие ее.
Механизм неустойчивости ЭВ прост. В областях быстрого уменьшения функции лучистых потерь с температурой малое уменьшение температуры относительно равновесного значения приводит к большому увеличению мощности потерь энергии на излучение. И, наоборот, малое увеличение температуры сопровождается уменьшением мощ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.