ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.38
© 2004 г. Е. К. Узбек
О НОВОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Для дифференциальных уравнений Кирхгофа, описывающих движение гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, рассматриваются условия существования частных решений, для которых компоненты вектора момента количества движения являются суперпозицией линейных и дробно-линейных функций.
Примечательная особенность уравнений класса Кирхгофа [1] состоит в том, что невырожденным линейным преобразованием основных переменных задачи они могут быть преобразованы в уравнения движения заряженного и намагниченного гиростата в ньютоновском, электрическом и магнитном полях. Эта гидродинамическая аналогия для частных случаев указывалась В.А. Стекловым [2] и П.В. Харламовым [3] и в завершенном виде получена в работах [4, 5]. Существует много подходов [6-9] к исследованию свойств интегральных многообразий уравнений Кирхгофа. В силу неинтегрируемости этих уравнений в квадратурах [7] важен подход, основанный на построении частных решений с помощью метода инвариантных соотношений [10].
В данной работе для случая, когда характерные матрицы, входящие в правые части уравнений Кирхгофа, диагональны, а векторы обобщенного центра масс и гиростатического момента направлены по главной оси, построено новое решение этих уравнений. Оно обладает новой структурой вспомогательных инвариантных соотношений, задающих компоненты вектора момента количества движения через компоненты единичного вектора оси симметрии ньютоновского, электрического и магнитных полей.
1. Постановка задачи. Вид решения. Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил, которая описывается уравнениями класса Кирхгофа [4, 5, 9]
х = (х + 1) х ах + ах х ВV + 8 х V + V х Сл (1.1)
л/ = V х а х (1.2)
где х = (х1, х2, х3) - вектор момента количества движения гиростата, V = (V!, v2, v3) -единичный вектор оси симметрии силового поля, 1 = (Х1, ^3) - гиростатический момент, характеризующий движение носимых тел, 8 = s2, s3) - вектор, сонаправ-ленный с вектором обобщенного центра масс гиростата, а = (ау) - гирационный тензор гиростата, построенный в неподвижной точке, В = (Ву), С = (Су) - постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными х и V означает производную по времени
Уравнения (1.1), (1.2) имеют первые интегралы
х • ах - 2(8 • V) + (Су • V) = 2Е, V • V = 1 (х + 1 )• V -1 (Вл • V) = к
(1.3)
Здесь Е и к - произвольные постоянные.
Пусть матрицы а, В, С имеют диагональную структуру с элементами а,, В;, С, (I = 1, 2, 3), а векторы 8 и 1 направлены по первой главной оси гирационного эллипсоида: 8 = (51, 0, 0), 1 = (V 0, 0).
Будем изучать решения уравнений (1.1), (1.2), которые характеризуются тремя инвариантными соотношениями [11, 12]
*1 = Ф1 (VI), *2 = V2 Ф2 (V!), Хз = Vз фз^) (1.4)
Тогда векторные уравнения (1.1), (1.2) с помощью геометрического интеграла из (1.3) могут быть преобразованы к пяти уравнениям
а\Фт (V,) - а3V1ф3(V,) у'(VI) = 2 1 У 1 4 ( 1 - 3 1 У(3 ' ! ' (1.5)
1 а3ф3 (Vl) - а2 ф2(Vl)
(а3ф3 (Vl) - а2 ф2 (Vl ))ф1 (Vl) =
= (а3 - а2)ф2(V,)ф3(Vl) + а2В3ф2(Vl) - а3В2фз(Vl) + С3 - С2 (1.6)
у^,)(а3ф3 (Vl) - а2 ф2 (Vl ))ф2 (Vl) =
= ф2(Vl)(а3Vlфз(Vl) - а1ф1 (Vl)) + (а, - а3)фl(Vl)фз(Vl) -
- азХ,фз(V,) + азВ,v1ф3(v1) - а,B3ф1(v1) - + (С, - Сз^ (1.7)
(1 - V2 - у^,))(азфз (V,) - а2 ф2 (V, ))ф3 (V,) =
= фз(V,)(а, ) - а2V,ф2(V,)) + (а2 - а,)фl(Vl)ф2(Vl) +
+ а{К,ф2(Vl) - а2В,Vlф2(Vl) + а,В2Ф1(V,) + + (С2 - С,)Vl (1.8)
= (азфз(Vl) -а2ф2^уСу!)) (1.9)
где у^) = V2 (V!); штрихом обозначена производная по вспомогательной переменной V!.
Если будет найдено некоторое решение у = у^), ф,^) (I = 1, 2, 3) уравнений (1.5)— (1.8), то из уравнений (1.9) можно определить зависимость v1 = Vх(?). Тогда компоненты вектора момента количества движения найдем из соотношений (1.4), где
V2(VI) = Ту(^), Vз(Vl) = V?- у2(Vl) (1.10)
На инвариантных соотношениях (1.4) интегралы энергии и момента количества движения из системы (1.3) таковы:
V, ф!^!) + у^ 1 ^2^1) + (1- V2- у^1 ))фз(Vl) = 2(Ь0у + Яо + П,V, + Л2V2)
2 (1.11)
а^2^) + а2 у(Vl )Ф2(Vl) + аз( 1-V2-у(Vl ))Ф2(Vl) = Соу + Шо + ш^, + Ш2V2 где
Ь0 = В2 - Вз, п, = -2 X,, п2 = В,- Вз
_ 2 3 1 _ 1 _ 1 3 (1.12) Со — С3 — С 2, — 2 5,, Ш2 — С3 — С,
п0, ш0 - произвольные постоянные, введенные вместо Е и к.
При исследовании условий существования инвариантных соотношений (1.4) для уравнений (1.1), (1.2) с интегралами (1.11) был рассмотрен [12] случай, когда функции у^), ф,^) в уравнениях (1.5)-(1.9) являются многочленами по переменной V!. Поэтому представляет интерес изучение решений уравнений (1.5)-(1.9) в более общем виде.
Зададим решение уравнений (1.5)-(1.9) с помощью следующих инвариантных соотношений:
у^) = а2 VI + а1 V! + а0
У1 1 алз)
ф2 ) = То+ ,——:-> Фз (V1) = — (Мо + а2 ф2^1))
У1 + ео "3
где а2, а1, а0, у0, ц0 - постоянные, зависящие от параметров задачи (1.1), (1.2), которые подлежат определению. Обоснованием такого подхода может служить не только более сложная структура решения по сравнению с принятой ранее [12], но и то обстоятельство, что при выполнении третьего равенства из (1.13) уравнение (1.9) принимает вид
2 2 1/2 = {(а2Vl + а1 Vl + ао)[- (1 + а2^ - а1 Vl + (1- ао)]} (1.14)
т.е. V! = V1(í) - эллиптическая функция времени. Последнее свойство характерно для большинства частных решений уравнений динамики твердого тела [6].
Отметим, что на основании соотношений (1.13) функцию Ф1^) можно найти из уравнения (1.5)
Ф1 ^) = 2" [Цо(2 (а2 + 1 )у1 + а1) + 2 "2 Vl ф2 (Vl)] (1.15)
Равенства (1.11), (1.12) дают значения постоянных первых интегралов на рассматриваемом решении.
2. Условия существования решения (1.13)-(1.15). С помощью выражений (1.13), (1.15) уравнения (1.6)-(1.8) запишем так (и = V! + е0 - новая переменная):
Цо"з Ф1 (и) + Й2("2- "з)Ф2(и) - ^оФ2(и) + О = 6 (2.1)
22
2а2(а1 - а3)(и - ео)ф2(и) + (01 и + Оо)ф2(и) + Б1 и + Эо (2.2)
2цо а1а3 у( и )ф2( и) 2цоа1а2(1- (и - ео)2- у(и))ф2(и) =
= 2а2а3(а2 - а1)(и - ео)ф2(и) + (К 1и + Ко)ф2(и) + М1и + Мо (2.3)
где
у( и) = а2и2 + (а1-2 еоа2) и + (ао- еоа1 + ео а2) Ф2 (и) = У о + У1 и-1
хо = цо(а3- а2) + а2а3(В3- В2), оо = а3(цоВ2 + С2- С3)
01 = 2 [цо а2 (а1а2-а1а3-а2а3) + 2цоа2 (а1 - а3) + а1 а2а3 (В1 - В3)]
О0 = 2ц0е0а2 (- а,а2 + а,аз + а2 аз) -4 ц0е0а2 (а,- аз) + + ц0 а,( а, а2 - а,аз - а2аз) - 2Х1а1 а2аз - 2е0а,а2аз(В, - Вз)
Б, = 2 [^(а, - аз)(а2 + 1) + ц0а1аз(В1-Вз) - ц0а, азВза2 + а,аз( С,-Сз)] (2.4)
Б0 = ц0( а,- аз )[а2-2 е0 (1 + а2)] -2 ц0Х1а1аз- ц0 а,аз Вз (а1-2е0а2) --2е0а2аз(С, - Сз)-251а1 аз-2ц0е0а2аз(В2 -Вз)
К, = 2[ц0 (а2а2- а,аз + а2 аз )(а2 + 1) + а,а2 аз( В2- В,)]
К0 = ц0(а,а2 - а,аз + а2аз)[а, - 2е0(а2 + 1)] + 2Х1а1 а2аз - 2е0а,а2аз(В2 - В,)
М, = 2^а,(Ц0 + азВ2)(а2 + 1) + 2ащ(С2- С,)
М0 = ц0а,(ц0 + азВ2)[а, - 2е0(а2 + 1)] +25,а2аз-2е0а,аз(С2- С,)
а функция ф1(м) в силу выражения (1.15) имеет вид
Ф1 (и) = 2Щ [^0(а1-2е0(а2 +1)) + 2 (уе0 У0) а2 +
+ 2 (ц0(а2 + 1) + у 0 а2 )и - 2 е0 у, а2и-1 ] (2.5)
Потребовав, чтобы функции ф2(и) = у0 + у^1 и фх(и) из соотношения (2.5) удовлетворяли уравнениям (2.1)-(2.3), получим следующие условия, связывающие параметры решения и параметры задачи (1.1), (1.2):
2
С2 = а! , у = , у = ^°£°а3 (26)
0 (а,- а2)(а,- аз)' 0 2 а2( а2- аз У 1 а, (аз- а2)
£02 2 2
а0 = —-[£0а,( аз- а2 )а2- а, (аз- а2 )а2- £0 а2( а,- аз)] (2.7)
а2 (а2 - аз)
22 у 0 а,а2 (а2- аз) + у 0 (ц0а2 аз- а, х0) + ц0 аз(а2 + 1) + а0 а, = 0 (2.8)
22
2ц0 а,аз (а,-2 £0 а2) -4£0 у 0 а2( а,- аз) + 2 у, а2( а,- аз) + О0 = 0 (2.9)
2у 0 а2( а,- аз) + у 0 О, + Б, = 0 (2.10)
2^0У1 а,аза2 - 2£0у2а2(а, - аз) + 4у0у,а2(а, - аз) + У0 О0 + у,О, + Д, = 0 (2.11) 2ц0 а
,а2[2£0(а2 + 1) - а,] -4£0У0а2аз(а2- а,) + 2у,а2аз(а2- а,) + К0 = 0 (2.12)
2
2у0 а2аз (а2- а,) + у0 К, + М, = 0 (2.13)
2^0У 1а1а2(а2 + 1) + 2^у2а2аз(а2 - а,) - 4у0у,а2аз(а2 - а,) - у0К - У1К - М0 = 0 (2.14)
Соотношения (2.6), (2.7) показывают, что в них параметр £0 выражен через компоненты гирационного тензора, параметры у0 и у: - через компоненты гирационно-
го тензора и величины В2, В3 и ц0, параметр а0 - через компоненты гирационного тензора и величины а1; а2. В силу соотношения (2.4) можно показать, что система уравнений (2.8)-(2.14) линейно зависима и приводится к системе
ц0(а2 - а3)[а2(а1а2 + а1а3 - 2а2а3) - а2(а3 - а1)] +
+ а2а3 [а1 (а3-а2)(В1-В3) + а2(а3-а1 )(В3-В2)] = 0 (2.15)
= —2-~-[а1(а3-а2 )(а1а2 + а1а3-а2а3)а1-
2а1а2а3(а3 - а2)
-2 е0а2 а3( а1( а3 - а2 )а2 + а2( а3 - а1)) ] (2.16)
2
ц0( а2 - а3)(- а1 а2 + а1 а3 + 2а2 а3 + 4а2 а3а2) + + 2ц0а2а3 [В3(а1 а2 - а1а3 + а2а3) - В2(- а1а2 + а1 а3 + а2а3)] -
2 2 2
- а1 а2а3(В3-В2) +4а1 а2а3( а2-а3)(С2-С3) = 0 (2.17)
2
х0а2 (а1 - а3) + 2х0 [ц0( а1а2 - а1а3 - а2а3 )а2 + 2 ц0а2 (а1 - а3) +
2
+ а1а2 а3( В1 - В3)] + 4а2 (а2 - а3 )[ц0( а1 - а3 )(а2 + 1) +
+ ц0а1 а3(В1 - В3) - ц0а1 а3В3а2 + а1 а3(С1 - С3)] = 0 (2.18)
2ц0 у 1 а1а3а2 - 2 е0 у 0 а2( а1 - а3) + 4 у 0 у 1а2 (а1 - а3) +
+ У0^а + У1 + а1 - аз)[а1 - 2е0(а2 + 1)] --2Ц0^1а1 а3 - ц0а1 а3В3(а1 - 2е0а2) - 2е0а1а3(С1 - С3) -
-2ц0е0 а1а3 (В1 - В3)-2 ^1а1 а3 = 0 (2.19)
Таким образом, равенства (2.6), (2.7), (2.15)-(2.19) служат условиями существования решения (1.13)—(1.15) для уравнений Кирхгофа (1.1), (1.2).
Если воспользоваться тем, что по своему механическому смыслу величины з^, С2 — С3 и Сх — С3 могут принимать произвольные значения, то для доказательства разрешимости уравнений (2.6), (2.7), (2.15)—(2.19) можно применить полуобратный метод, который позволяет избежать громоздких вычислений. Пусть заданы значения параметров а1, а2, а3, В1, В2, В3, а2 и а!. Тогда из уравнения (2.15) можно определить параметр ц0, а из уравнений (2.6) — значения параметров решения: е0, у0, у1. На основании полученных результатов из уравнения (2.7) можно найти параметр а0, из уравнения (2.16) — параметр из уравнения (2.17) — параметр С2 — С3, из уравнения (2.18) — параметр С1 — С3, из уравне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.