Письма в ЖЭТФ, том 98, вып. 5, с. 336-341 © 2013 г. 10 сентября
О новом типе безмассовых дираковских фермионов в кристаллических топологических изоляторах1)
С. Н. Молотков, Т. А. Потапова+ Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка,Россия Академия криптографии, 121552 Москва, Россия Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ им. Ломоносова, 119234 Москва, Россия
+ Факультет информационных технологий и вычислительной техники, Национальный исследовательский университет "Высшая
школа экономики", 101000 Москва, Россия
Поступила в редакцию 14 мая 2013 г.
После переработки 24 июля 2013 г.
Предсказан новый тип безмассовых дираковских фермионов в кристаллических 3D топологических изоляторах (ситуация 3D^2D). Спектр имеет четырехкратное вырождение в вершине 2D-зоны Бриллю-эна (точка M) и двукратное - в окрестности точки M. В 3D топологических изоляторах кристаллическая симметрия совместно с инвариантностью к инверсии времени допускает четырехкратно вырожденные дираковские конусы, которые отсутствуют в классификации топологических особенностей в работе (R.-J.Slager, A.Mesaros, V.Juriycic, J.Zaanen, Nature Phys. 9, 98 (2013)). Гамильтониан последней не содержит в себе дираковских особенностей с более чем двукратным вырождением. Поэтому ее топологическая классификация является неполной. Продольное магнитное поле в безспиновом случае сохраняет безмассовый закон дисперсии фермионов и не снимает четырехкратного вырождения. В спинорном случае магнитное поле снимает четырехкратное вырождение, оставляя только двукратное, и приводит к появлению щели в спектре фермионов.
DOI: 10.7868/S0370274X13170116
Введение. Методы алгебраической топологии оказываются плодотворными во многих задачах, от квантовой теории поля до физики конденсированного состояния. Хотя в своей основе математические методы являются общими, в зависимости от постановки задачи они могут варьироваться. Кратко упомянем часто используемые подходы. Например, при классификации и выяснении устойчивости структурных дефектов задача сводится к исследованию классов эквивалентности гомотопических отображений некоторого стандартного многообразия, связанного с обходом дефекта, в пространство параметра порядка. Классификация сводится к перечислению гомотопических групп, связанных с такими отображениями [1].
В ряде работ используется топологическая классификация в импульсном пространстве [2], основанная на вычислении группы кручения (изоморфной группе целых чисел 2) при обходе вокруг особой точки спектра.
1)1 См. дополнительные материалы к данной статье на сайте нашего журнала www.jetpletters.as.ru том 98, вып. 5.
В кристаллических изоляторах постановка задачи несколько отличается от упомянутых выше и сводится в основном к следующим вопросам.
1. Какие нетривиальные особенности электронного спектра, диктуемые пространственными симмет-риями и инвариантностью к инверсии времени, возможны на поверхности в этих системах в симметричных точках к зоны Бриллюэна (ЗБ)? При этом они не должны подпадать под систематику объемного спектра (должны лежат вне проекций объемных зон, см. ниже).
2. Являются ли эти особенности устойчивыми при непрерывных деформациях гамильтониана системы, при которых сохраняется инвариантность гамильтониана по отношению к пространственным элементам симметрии, инверсии времени и которые не захлопывают щель в проекциях объемных зон. Это приводит к так называемой 22-классификации, отличной от упомянутой 2-классификации кручений в импульсном пространстве.
До сих пор для кристаллических
и чисто 2Б-систем обсуждались особенности спектра с двукратным вырождением в
симметричных точках ЗБ (конические, е ~ ±|к|, квадратичные, е ~ ±|к|2, кубические, е ~ ±|к|3). Конические особенности спектра обнаружены экспериментально в чисто 2Б-системах (графен), а также в (двойные соединения ЫБЪ и гете-
рограницы между полупроводниками А4В6 и А2В6 с инверсией зон) и кристаллических системах
(см. ссылки в [3,4]).
Возникает вопрос о существовании конических особенностей в кристаллических системах с большей степенью вырождения. Вопрос о возможности появления и экспериментальном обнаружении таких особенностей (если таковые возможны) в кристаллических и чисто 2^-системах является интересной и актуальной задачей.
Поверхностные (краевые) состояния с коническим законом дисперсии и с более чем двукратным вырождением в 2Б^Ш-системах отсутствуют [5,6], поскольку группы бордюров из-за "бедности" элементов симметрии не допускают более чем двукратное вырождение [6].
Идеальной была бы ситуация, при которой можно было бы указать конкретные вещества или соединения, где возможна большая степень вырождения. Однако на сегодняшний день это невозможно. Тем не менее можно предъявить кристаллическую структуру, которую должно иметь соединение, чтобы в нем возникал конический безмассовый спектр с четырехкратным вырождением.
Именно эта задача решена в данной работе. Более того, оказывается, что в 3Б^2Б-системах четырехкратное вырождение конического спектра является максимально допустимым.
Четырехкратно вырожденные безмассовые дираковские фермионы. Ниже будет приведен пример кристаллической структуры, в которой в углах ЗБ (точка М, см. рисунок) возникают фермионы
(а) Л ¿4 л кГ к* кГ л л л кГ кГ кГ кГ УГ^Ч Л кГ кГ кг ЖЛ л -кЛЛ* "Ж* ЛЛ АЛ к; кг кг кг Л л л л (Ь) , (С) м X
I
(а) - Пример двумерной решетки с нетривиальными трансляциями [7]. (Ь) - Элементы симметрии решетки (штриховыми линиями обозначены плоскости скольжения). (с) - Неприводимая часть зоны Бриллюэна
с четырехкратно вырожденным спектром при |к| = 0 (здесь квазиимпульс к отсчитывается от симметричной точки М) и с двукратно вырожденным спектром
при |к| = 0. Данный тип фермионов может возникать как в 3Б^2Б-, так и в 2Б-случаях.
Элементы симметрии решетки. Пример кристаллической решетки приведен на рисунке. Данная решетка имеет несиморфную пространственную группу симметрии: она содержит нетривиальные трансляции на полпериода. Плоскости симметрии существуют только в комбинации с нетривиальными трансляциями на полпериода. Элементы симметрии следующие: {е|И}, {С4|И.}, {С||И}, {С2|И}, {ах|И + а}, {ау|И + а}, {аХуИ + а}. Здесь {И} = = (а, а) - трансляции на период, {а} = (а/2, а/2) -трансляции на полпериода.
Проективные неприводимые представления группы волнового вектора. Кратность вырождения энергетических зон в определенной точке зоны Бриллюэна определяется размерностью неприводимого представления группы волнового вектора Ои данной точки к. Нас будет интересовать точка М (рисунок), в которой возникает нетривиальный четырехкратно вырожденный безмассовый дираковский спектр.
Группа волнового вектора имеет нормальный делитель - группу трансляций. Фактор-группа группы волнового вектора изоморфна точечной группе направлений . Поскольку пространственная группа содержит нетривиальные трансляции, неизбежно возникают проективные представления. Пусть Т>(д) -матрица некоторого представления пространственной группы, а Vй(К) - матрица представления ее фактор-группы, причем для элемента симметрии д = = {К|И + а} = {К\г} (т = И + а) они связаны соотношением "Р(д) = егктVй(К). Умножение матриц представления для разных элементов группы подчиняется закону (см., например, [8])
^(д1)^(д2) = ш(дх,д2)Т>(д1 ■ g2),
-1 (!) "(д1,д2) = 1к)а2 = е*Ьа2,
где Ь = к — g-1k - некоторый вектор обратной решетки. В нашем случае факторы ш(д1 ■ д2) не равны все тождественно единице. Действительно, имеем
ш(С4, ах) = ехр[г(к — С-1к)а] = ехр(2г^уах) = —1, ш(ах, С4) = ехр[г(к — а-1к)0] = 1.
(2)
Представления группы, содержащей нетривиальные трансляции, являются, как видно из (1), (2), не обычными, а проективными представлениями. Система множителей - фактор-система ш(д^ ■ д^) - определяет с точностью до множителя и(д) (|и(д)| = 1 - про-
извольная однозначная функция на элементах группы д) проективные представления группы. При этом любые два проективных представления с фактор-системой из одного класса связаны соотношением V' (д) = О(д)/и(д).
Для одной и той же группы возможны различные классы фактор-систем. Все фактор- системы из одного класса связаны соотношением ш'(д1,д2) = ш(д1,д2)и(д1д2)/и(д1)и(д2). Если все множители ш(д1,д2) могут быть сделаны равными единице соответствующим выбором и(д), то такое представление эквивалентно обычному векторному представлению группы и относится к классу Ко. Принадлежность фактор-системы к тому или иному классу определяется вычислением множителей ш для образующих элементов точечной группы. В нашем случае точечной группы имеется
два образующих элемента: С4 и ах ((С4)4 = е и (ах)2 = е). Согласно (1), (2) фактор-система относится к классу К.. Это означает, что представления группы волнового вектора не сводятся к векторным и являются проективными представлениями. Все проективные представления для точечных групп давно построены. Они приведены, например, в [8]. Для группы С4У имеется два двумерных проективных представления, и Р2(1), фактор-система которых относится к классу К1 (фактор-системы могут быть приведены к стандартному виду, но для дальнейшего это нам не потребуется).
В таблице приведены характеры двумерных проективных (Р(1) и Р(1)), спинорных (Е[ и Е2) и векторных (Е) представлений. В ней приведены также волновые функции и компоненты волновых векторов и магнитного поля, преобразующиеся, соответственно, по спинорным и векторным представлениям. Спинорные представления далее не используются. Они приведены для иллюстрации их генетической связи с проективными представлениями, в которые они переходят. Двумерность представлений означает, что без учета симметрии к обращению времени спектр в точке М был бы двукратно вырожденным, причем как в безспиновом, так и в спинорном случае.
Требования инвариантности по отношению к обращению времени. Кроме инвариантности к операциям кристаллической симметрии, рассматриваемый гамильтониан инвариантен относительно операции обращения времени. Данная симметрия может приводить к дополнительному вырождению спектра. Операция инверсии време
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.