ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2012, том 31, № 3, с. 46-50
ГОРЕНИЕ, ВЗРЫВ ^^^^^^^^^^^^ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
УДК 541.124/128
О ПЛАНИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
В ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ © 2012 г. В. И. Быков
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева E-mail: vibykov@mail.ru Поступила в редакцию 24.06.2011
Сформулирована концепция планирования вычислительного эксперимента в теории горения, включая построение, качественный и численный анализы математических моделей, а также анализ их адекватности в соответствии с классификацией академика А.Г. Мержанова.
Ключевые слова: горение, вычислительный эксперимент, математические модели, химическая кинетика, макрокинетика.
Горение представляет собой сложный физико-химический процесс, который в общем случае характеризуется существенной нелинейностью, нестационарностью, сочетанием большого числа факторов — химическими и фазовыми превращениями, переносом тепла и массы и т.д. [1]. Соответственно, теория горения содержит значительное число математических моделей изучаемых процессов [2—6], что является основой для широкого использования современных методов вычислительного эксперимента [7—11].
В данной работе в компактном виде сформулирована концепция планирования вычислительного эксперимента в теории горения, обобщающая накопленный к настоящему времени опыт математического моделирования процессов горения, включая построение, качественный и численный анализы соответствующих математических моделей и их использование для исследования проблем устойчивости и управления процессами горения. Данное сообщение непосредственно примыкает к теме, затронутой в публикации [12], посвященной вопросам адекватности экспериментальных и теоретических моделей процессов горения.
Вычислительный эксперимент (ВЭ) является эффективным средством современного математического моделирования [8—11]. В общепринятой циклической последовательности: Эксперимент ^ Физическая модель ^ Математическая модель ^ ВЭ ^ Эксперимент, важное место занимает ВЭ, который в свою очередь состоит из нескольких этапов: ВЭ ^ Модель ^ Алгоритм ^ ^ Программа ^ ВЭ, и имеет в общем случае также циклический характер. В настоящее время ВЭ включает в себя уже не столько разработку вычислительного метода и его реализацию на
ЭВМ [13, 14], сколько планирование серии расчетов с четко определенной целью. Формулировка этой цели в значительной степени зависит от уровня адекватности рассматриваемой теоретической модели и уровня физико-химического понимания исследуемого процесса.
В соответствии с предложением академика А.Г. Мержанова [12] могут быть выделены следующие уровни адекватности моделей горения:
1) базовые математические модели, качественно отражающие ограниченную совокупность наиболее принципиальных свойств определенного класса процессов;
2) математические модели, отражающие основные характерные зависимости при варьировании параметров, имеющих реальный физико-химический смысл;
3) количественное описание некоторых экспериментально наблюдаемых зависимостей;
4) детальная математическая модель, позволяющая количественно описывать с заданной степенью адекватности все наблюдаемые данные.
Вся практика теоретических и экспериментальных исследований процессов горения показывает, что для описания одного и того же явления могут использоваться различные математические модели, адекватность которых может быть разной. Под физико-химической адекватностью модели понимается ее принципиальная возможность качественного описания того или иного экспериментально наблюдаемого свойства процесса. Математическая адекватность означает количественное описание в соответствии с заданным критерием определенного набора экспериментальных данных. Базовые модели теории горения отражают определенный уровень детали-
О ПЛАНИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
47
зации физико-химического описания рассматриваемого класса процессов. Между базовой моделью и количественной моделью конкретного процесса зачастую строятся еще несколько моделей различной степени адекватности. Промежуточные модели с возрастающей степенью детальности описывают выделенные параметрические зависимости и количественные характеристики изучаемого явления.
В том случае, когда при описании процесса горения удается выделить один или два определяющих параметра, мы имеем дело с малопараметрической задачей [12]. На начальном этапе исследования целью ВЭ здесь может быть получение интерполяционных формул, заменяющих точные аналитические решения соответствующих математических моделей. Для многопараметрических задач цель ВЭ может состоять в анализе некоторых предельных режимов, определяющих границы перестройки поведения процесса при изменении условий в многомерном пространстве параметров [13—18].
Важной составной частью ВЭ является параметрический анализ рассматриваемой математической модели или серии таких моделей. В простейшем случае в результате параметрического анализа строятся зависимости решений модели от входящих в нее параметров, в пространстве параметров выделяются области множественности стационарных состояний и их устойчивости, строятся параметрические и фазовые портреты и т.д. [19—22]. Параметрический анализ предшествует задачам оптимального управления процессом и разработке далее систем стабилизации заданного режима. Одной из основных целей ВЭ является понимание особенностей влияния различных факторов на характеристики рассматриваемого процесса и их соотнесение с аналогичными зависимостями в реальном эксперименте.
В качестве примеров рассмотрим серию базовых моделей теории горения. Простейшей такой моделью является модель Зельдовича—Семенова — модель теплового взрыва:
ская реакция первого порядка), то (1) дополняется уравнением материального баланса:
Y^ = exp[Т/(1 + р T)} - Т/Se, d т
(1)
где Т — безразмерная температура; т — безразмерное время; у, в, 8е — безразмерные параметры, характеризующие физико-химические условия осуществления процесса. Модель (1) отвечает условиям идеального перемешивания и предположению об избытке топлива. Дифференциальное уравнение (1) нелинейно и может иметь три стационарных решения, два из которых (низкотемпературное и высокотемпературное) устойчивы, а среднее неустойчиво.
Если принимаются условия выгорания (процесс горения рассматривается как экзотермиче-
YdT = f (x)g(T) - Т/Se, di
dx d т
= f (x)g(T) - x/Da,
(2)
где х — безразмерная степень превращения исходного реагента; /(х) — кинетическая функция (для реакции первого порядка /(х) = 1-х); g(T) = ехр{Т/(1 + + РТ)}; Da — безразмерный параметр. Классическая модель Зельдовича-Семенова (2) допускает уже не только множественность стационарных состояний, но и автоколебания. За счет увеличения числа степеней свободы (в (2) — две фазовых переменных) появляется возможность достаточно сложного динамического поведения. Численному и качественному анализу модели (2) посвящено значительное число работ. Принципиальным ограничением этой модели является то, что она не может описывать более сложные динамические режимы (детерминированный хаос). Для этого необходимо расширять фазовое пространство системы (2).
Предположение о многостадийности процесса горения приводит к необходимости модификации модели (2):
Y — = W(Т,x) - Т/Se, d т
dx = Е Y(Т,x) - x/Da,
d т ^
s=1
(3)
(4)
где W(T, x) — функция тепловыделения, x — вектор концентраций, ys — стехиометрический вектор s-й стадии сложной реакции, ws — скорость s-й стадии. Сочетание в модели тепловой (выражение (3)) и кинетической (выражение (4)) подсистем приводит к большому разнообразию динамических свойств системы (3), (4) в целом. В том случае, когда кинетическая подсистема нелинейна по x, взаимодействие кинетических и тепловых нелинейных факторов существенно усложняет наблюдаемую нестационарную картину [19—22].
Для изотермических систем (T = const) кинетическая подсистема (4) сама по себе может проявлять свойства триггера (множественность стационарных состояний) и осциллятора (автоколебания). Приведем простейшие базовые модели кинетических триггеров и осцилляторов. Если допускается возможность автокаталитических стадий, то простейшим автокаталитическим триггером является схема превращений:
Z о X, X + 2Z ^ 3Z.
(5)
m
Схеме (5) отвечает следующая кинетическая модель:
йх 1 1 1 2 — = к11 - к-1х - к2%1 ,
й т
(6)
где г = 1 — х, х — безразмерные концентрации веществ Z, X, соответственно; к — константы скоростей реакций. Модель (6) нелинейна и может иметь три стационарных состояния, т.е. обладает триггерными свойствами. При дополнении (5) так называемой буферной стадией
Z ^ У (7)
получаем автокаталитический осциллятор:
— = к11 - к_1х - к2х12, — = к31 - к-3у, (8) й т й т
где г = 1 — х — у. Система (8) имеет фазовое пространство размерности 2 и может описывать незатухающие во времени колебания, т.е. имеет свойства осциллятора. При определенном наборе параметров к система (8) имеет единственное и неустойчивое стационарное состояние, что гарантирует наличие у нее предельного цикла [19, 22].
Уравнения химической кинетики совместно с уравнением теплового баланса (3) могут описывать достаточно сложное динамическое поведение процессов горения. Необходимость интерпретации пространственных структур приводит к следующей базовой модели распространения пламени:
д-Т = + Ж(Т) + а(Т» - Т),
дт д€
(9)
где € — безразмерная пространственная координата; X, а — безразмерные параметры, характеризующие интенсивность процессов теплопроводности и теплообмена с окружением; Т0 — безразмерная температура окружающей среды.
При исследовании базовой модели (9) с учетом сложной кинетической зависимости возникает модель типа "реакция + диффузия":
дТ = + №(Т, с) + а(То - Т),
дт д€
дс = в д-С + р (Т, с),
дт д€2
(10)
(11)
где Ж — функция тепловыделения; Б — коэффициент диффузии реагентов; с — вектор их концентраций; F(T, с) — кинетическая функция, отвечающая заданной схеме превращений.
Если пространственных переменных не одна, а две или в общем случае три, то соответствующая математическая модель может быть записана в виде
— = Шу(Х(Т ^гаёТ) + №(Т). дт
(12)
Для распре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.