КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 4, с. 307-312
УДК 531.5
О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ, ПОДВЕШЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА ПЛАНЕТЫ
© 2014 г. А. А. Буров, А. Д. Герман, И. И. Косенко
Вычислительный центр РАН, г. Москва aburov@ccas.ru, anna@ubi.pt, kosenko@ccas.ru Поступила в редакцию 27.09.2012 г.
Рассматривается задача о плоских колебаниях маятника переменной длины, подвешенного на поверхности Луны. Предполагается, что Земля и Луна (или, в общем случае, планета и ее спутник, или астероид и космический аппарат) обращаются вокруг общего центра масс по невозмущаемым эллиптическим кеплеровским орбитам. Обсуждается вопрос о том, как изменения длины маятника могут быть использованы для компенсации его колебаний. Выписаны уравнения движения, указано правило изменения длины маятника, при котором он обладает положениями равновесия относительно вращающейся вместе с Луной и Землей системы координат. Исследуются необходимые условия устойчивости таких движений. Численно и аналитически изучается хаотическая динамика такого маятника.
Б01: 10.7868/80023420614040037
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование движений космической станции, связанной с помощью троса с поверхностью Луны, имеет давнюю историю [1, 2]. В этих работах, а также последовавших вслед за ними монографиях [3, 4], обсуждается большое многообразие возможных приложений такой конструкции в рамках новых программ исследования Луны и дальнего космоса. Некоторые результаты, касающиеся положений равновесия космической станции и их устойчивости, недавно получены в [5—7].
Исследование движения космических систем с управляемым переменным распределением масс восходит, вероятно, к работам [8—10], а так-
1
же к докторской диссертации В.А. Сарычева (см. также [11]). Численному и аналитическому исследованию необходимых условий устойчивости относительных равновесий спутника на эллиптической орбите посвящена работа [12], некоторые результаты которой были переоткрыты в [13, 14].
Различные аспекты динамики орбитальных тросовых систем с тросами переменной длины изучались в [15—19]. Параметрическому анализу орбитальных тросовых систем посвящена работа [20]. Динамика тросовых систем в окрестности точек либрации изучалась в [5, 21]. Движение космических систем многих тел с несколькими тросами исследовалось в [22].
Представляет интерес распространение результатов, относящихся к динамике орбитальных
1 Согласно сообщению автора.
тросовых систем с тросами переменной длины на задачи о движении орбитальных связок твердых тел [23—25], а также на задачи об орбитальном движении систем с равными моментами инерции [26-29].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть Земля Е и Луна М, размеры которых считаются пренебрежимо малыми, совершают движение около общего центра масс О по эллиптическим невозмущаемым орбитам
|ом| = г = —^-, |ое| = цг = Ре
1 + е ео8 V 1 + е ео8 у'
_ т-м
тЕ
Здесь тЕ и тм — массы Земли и Луны соответственно, рЕ и рм — параметры их орбит, е — экс-центристет, у — истинная аномалия. Космическая станция присоединена к поверхности Луны невесомым нерастяжимым тросом или стержнем, длину которого можно менять сообразно наперед заданному правилу. Положение троса определяется углом ф, отсчитываемым от луча MZ — продолжения луча ЕМ за точку М (рис. 1).
Кинетическая энергия маятника записывается как
Z \
s ф/ x
+
Рм sin Ф
(1 + e cos v)2
1 -
(1 + и)3рМ
f
-3/2
= 0,
(1)
f = í2 (1 + e cos v)2 + (1 + ц)2рМ + 2í (1 + ц) x pMcos ф( 1 + e cos v).
Спрашивается, при каком правиле изменения длины троса € = €(у) маятник может находиться в относительном равновесии под заданным углом к прямой, соединяющей Землю и Луну.
3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ МАЯТНИКА
Частные решения, соответствующие постоянной ориентации маятника относительно подвижной системы отсчета, определяются как
Ф = ф0 = const, ф' = 0.
(2)
Рис. 1. Лунный маятник.
T = m (r2 + rV + í2 + í2 (v + ф )2) +
+ m (rí + rí v (v + ф)) cos ф + + m(v(rí + ír) - írф) sinф. Потенциальная энергия системы имеет вид
и = — Ц m_E +тм
rE ^
Здесь rE = |5E| = (р2 + 2р€ cos ф + €2)1/2 — расстояние от Земли до космической станции, р = |ЕМ| = = (1 + ц)г — расстояние от Земли до Луны. Предполагая, что величины r и € — заданные функции времени, выпишем уравнения Лагранжа. d dL dL г т7 тт т"»
--= —, L = 1 - U. Вводя истинную ано-
dtd( дф
малию в качестве новой независимой переменной и обозначая штрихом соответствующие производные, связанные с производными по времени как
d = v — = ю( 1 + ecosv)2 —, ю2 = GmE/(1 + ^)2pM, dt dv dv
где G — гравитационная постоянная, уравнения движения можно после преобразований представить в виде
+ 2 €'( 1 + ф ') - 2 e€ (1 + ф ') sin v + 1 + ecosv
Подстановка выражения (2) в уравнение (1) и введение новой независимой переменной € = €(v) =
n(v)p(v) = n(v) Pm ( 1 + ^ ), n(v) > 0 позволяют вы-1 + ecosv
писать дифференциальное уравнение на управляющее воздействие n(v), обеспечивающее существование относительных равновесий (2) в виде
2 (1 + ц)( 1 + e cos v)n' = — sin ф0 x 1 - (1 + П2 + 2 П cos фо)
x 2 3 /2 .
(1 + n + 2n cos ф0)
(3)
Решения этого уравнения образуют две существенно отличающиеся друг от друга группы. Первой группе отвечают решения, для которых П = П0 = const, и отношение длины троса к расстоянию от Земли до Луны остается постоянным. Для решений из другой группы n' ^ 0, и указанное отношение переменно.
4. РЕШЕНИЯ ИЗ ГРУППЫ I
Группа I образована теми решениями уравнения (3), на которых их левая часть обращается в нуль. Это имеет место, если sin ф0 = 0, т.е. если Ia: ф0 = 0, или Ib: ф0 = я, а также, если 1 — (1 + n2 + + 2n cos ф0)3/2 = 0, т.е. если Ic: n = —2cos ф0.
4.1. Случай Ia. В этом случае, несмотря на эксцентричность орбиты, трос остается вытянутым вдоль направления от Земли на Луну. Для реализации такого движения длина троса должна меняться по правилу
i = i(v) =
(1 + Ц ) n оРм 1 + ecosv
io
1 + ecosv
(4)
Устойчивость такого движения может быть исследована с помощью уравнения в вариациях
(1 + e cos у)5ф" + К5ф = 0, (5)
где K = П + 3 п + 3 .
(1 + ц)( 1 + п)3
Уравнение (5) было исследовано в [7] (см. также [12—14]). Согласно численным расчетам, его
х
О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ
309
тривиальное решение устойчиво всюду за исключением области и на рис. 2. В терминах физических параметров рассматриваемой задачи с учетом имеющих место для Земли и Луны соотношений ц = 0.0123 и е = 0.0545, можно сделать вывод, что тривиальное решение уравнения (5) неустойчиво при 3.31 < п < 6.16, что соответствует чрезвычайно большой длине троса, и устойчиво для всех других значений параметра п.
Исследование сил, действующих на космическую станцию, показывает, что натяжение троса находится из соотношения
K
V =
П
п3( п3 + 3 п + 3 )
-1 +
(1 + п) п
Gmm
M
п3 ( п3 + 3 п + 3 ) (1 + п)2 п ■
- 1 +
i
Gmm
M
[п(1 + И) r ]
Трос натянут, если п > 0.1678, т.е. если космическая станция находится за точкой Ь2 коллине-арного томографического решения, и должен быть сжат при меньших значениях, что делает невозможным создание этой системы при таких значениях параметра. Примечательно, что несмотря на то, что натяжение в тросе меняется вместе с изменением г, его знак остается постоянным, и во все время движения связующий элемент либо растянут, либо сжат.
4.2. Случай 1Ь. В этом случае трос остается вытянутым вдоль прямой, соединяющей Землю и Луну и обращен в сторону Земли. При этом выполнено неравенство п < 1, иначе трос будет пересекать Землю. Длина троса должна изменяться по правилу (4). Соответствующее уравнение в вариа-
п - 3п - 3
3
так
циях имеет вид (5), где К =
(1 + ц)( 1 - п)3
что полученные ранее результаты применимы и тут. В случае 0 < п < 1 выполняется неравенство К > 3/(1 + ц), так что для рассматриваемой механической системы решение (5) устойчиво.
Как и в случае 1а трос натянут, если космическая станция располагается за коллинеарным томографическим движением Ьь которое в данном случае отвечает значению п > 0.1509. Для общего положения космической станции в этой части оси, соединяющей Землю и Луну, натяжение троса определяется как
V =
п3 (п3 - 3 п + 3)'
Gmm
M
[п( 1 + И) r ]2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
U
L
п -1 + 2 - (1 - п)2) ц
4.3. Случай 1с. В этом случае трос наклонен к оси, соединяющей Землю и Луну, на постоянный угол ф0 е я/2, 3я/2, отсчитываемый (рис. 1) от луча MZ. Если нормализовать все расстояния с помощью множителя 1/ЕМ, то космическая станция должна находиться на единичной окружности с центром в точке Е (см. рис. 3).
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 2. Области устойчивости на плоскости (е, К). Область и соответствует неустойчивости. Устойчивость в областях J и Ь обеспечивается соответственно условиями Жуковского и Ляпунова.
Однако, будучи рассмотренным в "настоящей" плоскости орбиты, эта окружность "дышит" с частотой орбитального движения, и длина троса подчиняется правилу (4). Соответствующее уравнение в вариациях записывается
как (1 + ecosv)( 1 + и)3ф" - 3sin^05ф = 0, и косые конфигурации с sinф0 Ф 0 всегда неустойчивы.
Натяжение троса может быть определено из анализа сил. Оно имеет вид
V = -(1 + 6 cos ф0 + 2cos3 ф0)- GmmM
[п(1 + Ц) г ]
Для изучаемой конфигурации трос растянут при 2я/3 < ф0 < 4я/3 и сжат при я/2 < ф0 < 2я/3 и при
п
e
0 . L2 1
II £ С I.I 1
L , 1 1 1 L
I - 1Я ■ ni - ¡Я
2
Рис. 3. Области различного поведения решений в плоскости орбит, нормализованной с помощью множителя 1/|ЕМ|.
4я/3 < ф0 < 3я/2. Когда космическая станция находится в точках ф0 = 2я/3, 4я/3, соответствующим треугольным томографическим решениям ЬА и Ь5, трос ненатянут. Заметим, что косые конфигурации не существуют при 0 < ф0 < я/2 и при 3п/2 < ф0 < 2я.
5. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ n = const
Для исследования динамики космической станции, присоединенной к Луне с помощью троса, применяется метод сечений Пуанкаре.
На рис. 4—6 представлены отображения Пуанкаре для п = 0.1, 0.5 и 1.1 соответственно для значений е = 0.0549, и ц = 0.0123, отвечающих системе, состоящей из Земли и Луны. На рисунках можно видеть, что в системе имеет место как регуля
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.