научная статья по теме О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ, ПОДВЕШЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА ПЛАНЕТЫ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ, ПОДВЕШЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА ПЛАНЕТЫ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 4, с. 307-312

УДК 531.5

О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ, ПОДВЕШЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА ПЛАНЕТЫ

© 2014 г. А. А. Буров, А. Д. Герман, И. И. Косенко

Вычислительный центр РАН, г. Москва aburov@ccas.ru, anna@ubi.pt, kosenko@ccas.ru Поступила в редакцию 27.09.2012 г.

Рассматривается задача о плоских колебаниях маятника переменной длины, подвешенного на поверхности Луны. Предполагается, что Земля и Луна (или, в общем случае, планета и ее спутник, или астероид и космический аппарат) обращаются вокруг общего центра масс по невозмущаемым эллиптическим кеплеровским орбитам. Обсуждается вопрос о том, как изменения длины маятника могут быть использованы для компенсации его колебаний. Выписаны уравнения движения, указано правило изменения длины маятника, при котором он обладает положениями равновесия относительно вращающейся вместе с Луной и Землей системы координат. Исследуются необходимые условия устойчивости таких движений. Численно и аналитически изучается хаотическая динамика такого маятника.

Б01: 10.7868/80023420614040037

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование движений космической станции, связанной с помощью троса с поверхностью Луны, имеет давнюю историю [1, 2]. В этих работах, а также последовавших вслед за ними монографиях [3, 4], обсуждается большое многообразие возможных приложений такой конструкции в рамках новых программ исследования Луны и дальнего космоса. Некоторые результаты, касающиеся положений равновесия космической станции и их устойчивости, недавно получены в [5—7].

Исследование движения космических систем с управляемым переменным распределением масс восходит, вероятно, к работам [8—10], а так-

1

же к докторской диссертации В.А. Сарычева (см. также [11]). Численному и аналитическому исследованию необходимых условий устойчивости относительных равновесий спутника на эллиптической орбите посвящена работа [12], некоторые результаты которой были переоткрыты в [13, 14].

Различные аспекты динамики орбитальных тросовых систем с тросами переменной длины изучались в [15—19]. Параметрическому анализу орбитальных тросовых систем посвящена работа [20]. Динамика тросовых систем в окрестности точек либрации изучалась в [5, 21]. Движение космических систем многих тел с несколькими тросами исследовалось в [22].

Представляет интерес распространение результатов, относящихся к динамике орбитальных

1 Согласно сообщению автора.

тросовых систем с тросами переменной длины на задачи о движении орбитальных связок твердых тел [23—25], а также на задачи об орбитальном движении систем с равными моментами инерции [26-29].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Земля Е и Луна М, размеры которых считаются пренебрежимо малыми, совершают движение около общего центра масс О по эллиптическим невозмущаемым орбитам

|ом| = г = —^-, |ое| = цг = Ре

1 + е ео8 V 1 + е ео8 у'

_ т-м

тЕ

Здесь тЕ и тм — массы Земли и Луны соответственно, рЕ и рм — параметры их орбит, е — экс-центристет, у — истинная аномалия. Космическая станция присоединена к поверхности Луны невесомым нерастяжимым тросом или стержнем, длину которого можно менять сообразно наперед заданному правилу. Положение троса определяется углом ф, отсчитываемым от луча MZ — продолжения луча ЕМ за точку М (рис. 1).

Кинетическая энергия маятника записывается как

Z \

s ф/ x

+

Рм sin Ф

(1 + e cos v)2

1 -

(1 + и)3рМ

f

-3/2

= 0,

(1)

f = í2 (1 + e cos v)2 + (1 + ц)2рМ + 2í (1 + ц) x pMcos ф( 1 + e cos v).

Спрашивается, при каком правиле изменения длины троса € = €(у) маятник может находиться в относительном равновесии под заданным углом к прямой, соединяющей Землю и Луну.

3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ МАЯТНИКА

Частные решения, соответствующие постоянной ориентации маятника относительно подвижной системы отсчета, определяются как

Ф = ф0 = const, ф' = 0.

(2)

Рис. 1. Лунный маятник.

T = m (r2 + rV + í2 + í2 (v + ф )2) +

+ m (rí + rí v (v + ф)) cos ф + + m(v(rí + ír) - írф) sinф. Потенциальная энергия системы имеет вид

и = — Ц m_E +тм

rE ^

Здесь rE = |5E| = (р2 + 2р€ cos ф + €2)1/2 — расстояние от Земли до космической станции, р = |ЕМ| = = (1 + ц)г — расстояние от Земли до Луны. Предполагая, что величины r и € — заданные функции времени, выпишем уравнения Лагранжа. d dL dL г т7 тт т"»

--= —, L = 1 - U. Вводя истинную ано-

dtd( дф

малию в качестве новой независимой переменной и обозначая штрихом соответствующие производные, связанные с производными по времени как

d = v — = ю( 1 + ecosv)2 —, ю2 = GmE/(1 + ^)2pM, dt dv dv

где G — гравитационная постоянная, уравнения движения можно после преобразований представить в виде

+ 2 €'( 1 + ф ') - 2 e€ (1 + ф ') sin v + 1 + ecosv

Подстановка выражения (2) в уравнение (1) и введение новой независимой переменной € = €(v) =

n(v)p(v) = n(v) Pm ( 1 + ^ ), n(v) > 0 позволяют вы-1 + ecosv

писать дифференциальное уравнение на управляющее воздействие n(v), обеспечивающее существование относительных равновесий (2) в виде

2 (1 + ц)( 1 + e cos v)n' = — sin ф0 x 1 - (1 + П2 + 2 П cos фо)

x 2 3 /2 .

(1 + n + 2n cos ф0)

(3)

Решения этого уравнения образуют две существенно отличающиеся друг от друга группы. Первой группе отвечают решения, для которых П = П0 = const, и отношение длины троса к расстоянию от Земли до Луны остается постоянным. Для решений из другой группы n' ^ 0, и указанное отношение переменно.

4. РЕШЕНИЯ ИЗ ГРУППЫ I

Группа I образована теми решениями уравнения (3), на которых их левая часть обращается в нуль. Это имеет место, если sin ф0 = 0, т.е. если Ia: ф0 = 0, или Ib: ф0 = я, а также, если 1 — (1 + n2 + + 2n cos ф0)3/2 = 0, т.е. если Ic: n = —2cos ф0.

4.1. Случай Ia. В этом случае, несмотря на эксцентричность орбиты, трос остается вытянутым вдоль направления от Земли на Луну. Для реализации такого движения длина троса должна меняться по правилу

i = i(v) =

(1 + Ц ) n оРм 1 + ecosv

io

1 + ecosv

(4)

Устойчивость такого движения может быть исследована с помощью уравнения в вариациях

(1 + e cos у)5ф" + К5ф = 0, (5)

где K = П + 3 п + 3 .

(1 + ц)( 1 + п)3

Уравнение (5) было исследовано в [7] (см. также [12—14]). Согласно численным расчетам, его

х

О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ

309

тривиальное решение устойчиво всюду за исключением области и на рис. 2. В терминах физических параметров рассматриваемой задачи с учетом имеющих место для Земли и Луны соотношений ц = 0.0123 и е = 0.0545, можно сделать вывод, что тривиальное решение уравнения (5) неустойчиво при 3.31 < п < 6.16, что соответствует чрезвычайно большой длине троса, и устойчиво для всех других значений параметра п.

Исследование сил, действующих на космическую станцию, показывает, что натяжение троса находится из соотношения

K

V =

П

п3( п3 + 3 п + 3 )

-1 +

(1 + п) п

Gmm

M

п3 ( п3 + 3 п + 3 ) (1 + п)2 п ■

- 1 +

i

Gmm

M

[п(1 + И) r ]

Трос натянут, если п > 0.1678, т.е. если космическая станция находится за точкой Ь2 коллине-арного томографического решения, и должен быть сжат при меньших значениях, что делает невозможным создание этой системы при таких значениях параметра. Примечательно, что несмотря на то, что натяжение в тросе меняется вместе с изменением г, его знак остается постоянным, и во все время движения связующий элемент либо растянут, либо сжат.

4.2. Случай 1Ь. В этом случае трос остается вытянутым вдоль прямой, соединяющей Землю и Луну и обращен в сторону Земли. При этом выполнено неравенство п < 1, иначе трос будет пересекать Землю. Длина троса должна изменяться по правилу (4). Соответствующее уравнение в вариа-

п - 3п - 3

3

так

циях имеет вид (5), где К =

(1 + ц)( 1 - п)3

что полученные ранее результаты применимы и тут. В случае 0 < п < 1 выполняется неравенство К > 3/(1 + ц), так что для рассматриваемой механической системы решение (5) устойчиво.

Как и в случае 1а трос натянут, если космическая станция располагается за коллинеарным томографическим движением Ьь которое в данном случае отвечает значению п > 0.1509. Для общего положения космической станции в этой части оси, соединяющей Землю и Луну, натяжение троса определяется как

V =

п3 (п3 - 3 п + 3)'

Gmm

M

[п( 1 + И) r ]2

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

U

L

п -1 + 2 - (1 - п)2) ц

4.3. Случай 1с. В этом случае трос наклонен к оси, соединяющей Землю и Луну, на постоянный угол ф0 е я/2, 3я/2, отсчитываемый (рис. 1) от луча MZ. Если нормализовать все расстояния с помощью множителя 1/ЕМ, то космическая станция должна находиться на единичной окружности с центром в точке Е (см. рис. 3).

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 2. Области устойчивости на плоскости (е, К). Область и соответствует неустойчивости. Устойчивость в областях J и Ь обеспечивается соответственно условиями Жуковского и Ляпунова.

Однако, будучи рассмотренным в "настоящей" плоскости орбиты, эта окружность "дышит" с частотой орбитального движения, и длина троса подчиняется правилу (4). Соответствующее уравнение в вариациях записывается

как (1 + ecosv)( 1 + и)3ф" - 3sin^05ф = 0, и косые конфигурации с sinф0 Ф 0 всегда неустойчивы.

Натяжение троса может быть определено из анализа сил. Оно имеет вид

V = -(1 + 6 cos ф0 + 2cos3 ф0)- GmmM

[п(1 + Ц) г ]

Для изучаемой конфигурации трос растянут при 2я/3 < ф0 < 4я/3 и сжат при я/2 < ф0 < 2я/3 и при

п

e

0 . L2 1

II £ С I.I 1

L , 1 1 1 L

I - 1Я ■ ni - ¡Я

2

Рис. 3. Области различного поведения решений в плоскости орбит, нормализованной с помощью множителя 1/|ЕМ|.

4я/3 < ф0 < 3я/2. Когда космическая станция находится в точках ф0 = 2я/3, 4я/3, соответствующим треугольным томографическим решениям ЬА и Ь5, трос ненатянут. Заметим, что косые конфигурации не существуют при 0 < ф0 < я/2 и при 3п/2 < ф0 < 2я.

5. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ n = const

Для исследования динамики космической станции, присоединенной к Луне с помощью троса, применяется метод сечений Пуанкаре.

На рис. 4—6 представлены отображения Пуанкаре для п = 0.1, 0.5 и 1.1 соответственно для значений е = 0.0549, и ц = 0.0123, отвечающих системе, состоящей из Земли и Луны. На рисунках можно видеть, что в системе имеет место как регуля

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»