КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 180-182
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 531.38
О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ОРБИТАЛЬНОГО МАЯТНИКА С ПЕРИОДИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА
© 2007 г. Ä. Ä. Буров
Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, г. Москва
aburov@ccas.ru Поступила в редакцию 12.07.2005 г.
PACS: 45.50.Jf.
1. Постановка задачи и уравнения движения.
Рассмотрим задачу о движении орбитального маятника PQ с вибрирующей точкой подвеса, подвешенного к спутнику. Предположим, что спутник с центром масс C совершает движение по невозму-щаемой круговой кеплеровской орбите радиуса R вокруг притягивающего центра O с орбитальной угловой скоростью D > 0. Будем считать, что точка подвеса маятника P совершает колебательные движения в плоскости орбиты около точки C, стержень PQ длины l невесом, а точка Q массы m также совершает движение в этой же плоскости.
Пусть CZ^ - равномерно вращающаяся вместе со спутником правая орбитальная система координат (ОСК), ось CZ которой сонаправлена вектору OC, а ось C^ параллельная скорости точки C. Будем предполагать,что во время движения спутник не меняет своей ориентации относительно этой системы координат, т.е. находится относительно нее в положении равновесия. Таким образом, в отличие от исследовавшейся в [1] (см. также [2], очерк 9) задачи о движении гантелеоб-разного тела переменной длины, предполагается, что вызванное движением маятника перераспределение масс в системе не сказывается ни на поступательном, ни на вращательном движении спутника.
Обозначим 0 угол между вектором PQ и нисходящей вертикалью в точке C. Тогда в проекциях на оси ОСК вектор OP имеет координаты (R - a cos(rot), b sin(roí)), а вектор OQ - координаты (R - a cos(rot) - l cos 0, b sin(rot) + l sin 0). Кинетическая энергия системы имеет вид
9-2
T = m/2 [l 0 +210ю(a sin(юt) sin0 + + bcos(ю t)cos0) --21\¡/ [ cos 0 cos (ю t)(b ю + a 0) + + sin 0 sin (ю t)(a ю + b 0)] +
2
+ \¡/ [-2Rlcos0 + 2alcos^t)cos0 + + 2 bl sin (ю t) sin 0]].
Точное выражение для потенциальной энергии имеет вид
U = -fM0 m/r,
r = ((R - a cos (юt) -1cos 0)2 +
2 1/2
+ (bsin(юt) +1cos0) )
где f - гравитационная постоянная, M0 - масса притягивающего центра. Введем безразмерное время t' = юt и безразмерные параметры l = Rl', a = Ra', b = Rb', D = П'ю. Будем считать, что a' < 1, b' <§ 1, l' <§ 1. Тогда, принимая во внимание соотношение D2R3 = fM0, отбрасывая штрихи, сохраняя прежнее обозначение для дифференцирования по времени, разлагая выражение для потенциала по малым параметрам и удерживая слагаемые до второго порядка малости включительно, безразмерную функцию Лагранжа можно представить в виде
1-2
Л = 2[0 + 2sintsin0[(A -BD)0-AD] +
+ 2costcos0[(B - AD)0 - BD] +
2 2 2
+ 6 A cos t cos 0D +3 D cos 0],
где A = a/l, B = b/l.
Уравнение движения при этом примет вид
Ö = a cos t sin 0 - ß sin t cos 0 -3 Q cos 0 sin 0 a = 2BQ - A-3 AQ2, ß = 2A Q - B.
(1)
2. Усреднение уравнений движения. Будем считать, что величины а, в и О одного порядка малости
а = а0е, в = р0е, О = О0 е.
Для усреднения уравнений движения можно воспользоваться, например, процедурой, приме-
О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ОРБИТАЛЬНОГО МАЯТНИКА
181
нявшейся в [3, стр. 309] в задаче о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса. В результате усреднения уравнения движения принимают вид
0 = гр, р = £К sin 0 cos 0,
к =
ßo а
'0 - 3 ц
и их также можно представить уравнения второго порядка
виде одного
ния устойчивого равновесия 0 = 0 и 0 = п, а также касательные положения неустойчивого равновесия 0 = ±п/2. При этом предположении уравнение (3) в общем случае интегрируется в эллиптических функциях. Между тем, положения неустойчивых равновесий соединены между собой верхней и нижней сдвоенными сепаратрисами - двояко-асимптотическими решениями, задаваемыми соотношениями
cos 0 = cc ch 1 т, sin 0 = c^th т,
0 = £ к sin 0 cos 0.
(2)
— = CsCc ch dT s
t,
Уравнение (2) имеет два семейства решений. Решения 0 = 0 и 0 = п определяют относительные квазиравновесия (ОКР), на которых маятник "в среднем" располагается вдоль радиуса орбиты и направлен соответственно к притягивающему центру и от притягивающего центра. Эти ОКР равновесия устойчивы при к < 0 и неустойчивы при к > 0. На касательных равновесиях 0 = ±п/2 маятник "в среднем" располагается вдоль касательной орбиты и направлен, соответственно, по ходу и против хода орбитального движения. Эти ОКР устойчивы при к > 0 и неустойчивы при к < < 0. В этом случае условие устойчивости имеет место, когда, например, амплитуда колебаний точки подвеса вдоль касательной к орбите достаточно велика.
Заметим, что система (2) консервативна, и имеет место закон смены устойчивости - потеря устойчивости радиальных равновесий сопровождается стабилизацией касательных равновесий и наоборот.
3. Периодические решения и расщепление сепаратрис неусредненной системы.
Вновь вернемся к рассмотрению уравнения (1).
Введем в нем новое время т, полагая т = оТз г. Тогда уравнение примет вид
где cc = cs = 1 для ветви I, cc = -cs = 1 для ветви II, cc = cs = -1 для ветви III и -cc = cs = 1 для ветви IV. При £ = 0 в общем случае данное уравнение интегрируется в эллиптических функциях.
Метод расщепления сепаратрис (см., например, [14]) позволяет убедиться в том, что при достаточно малых значениях £ Ф 0 эти сепаратарисы расщепляются и трансверсально пересекаются. На самом деле, функция Пуанкаре - Мельникова в данной задаче имеет вид
¿(X) = J d0 [aocos (X(t + x)) sin 0 -
- ß0sin (X(t + x)) cos 0] dT = = -sin(Xx)ccao¿i - cos(Xx)cßo¿2
¿1 = J shtsin(Xt)ch-2tdT = nXch-1 (nX/2)
¿2 = J cos(Xt)ch 2tdT = -nXsh 1 (nX/2).
d-0 = a1cos (Xt) sin 0 -d t
- ß1sin(Xt)cos0 - cos0sin0
(3)
X = з-1/2 ц-1,
a1 = a/( 3 Ц2), ß1 = ß/( 3 Ц2).
Будем теперь считать, что величина О имеет порядок единицы, а величины а и в - одного порядка малости ах = а0£, рх = в0£.
При £ = 0 это уравнение описывает плоские колебания обыкновенного орбитального маятника. У этого маятника имеются радиальные положе-
Так как ^ • Ф 0 при любом вещественном X, то функция $(х) имеет изолированные нули, и при достаточно малых значениях £ Ф 0 сепаратрисы расщепляются и пересекаются. При этом уравнение не имеет первого интеграла, и его решения демонстрируют хаотическое поведение. Обнаруживаемое методом расщепления сепаратрис явление хаотизации наблюдается в малой вместе с параметром £ окрестности сепаратрис-ного контура.
Автор выражает благодарность рецензенту за конструктивную критику. Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 05-01-00454, 06-01-
2
182
БУРОВ
90505-БНТСа и Государственной программы поддержки научных школ, грант НШ-6667.2006.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белецкий ВВ., Гиверц М.Е. О движении пульсирующей системы в гравитационном поле // Космич. исслед. 1967. Т. 5. № 6.
2. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972.
3. Боголюбов НН, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958.
4. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.
Planar Motion of an Orbital Pendulum with Periodically Oscillating
Point of Suspension
A. A. Burov
Dorodnitsin Computer Center, Russian Academy of Sciences, ul. Vavilova 40, Moscow, 119991 Russia
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.