КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 5, с. 457-462
УДК 531.36:534.1
О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ УПРУГОЙ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2008 г. А. П. Блинов
Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К.А. Тимирязева, г. Москва
Поступила в редакцию 08.11.2006 г.
Рассматривается задача о плоском движении по инерции трех тел, связанных упругой невесомой нитью в форме треугольника и частный случай задачи о движении замкнутой цепочки n тел. Такая конфигурация может служить основой для протяженных плоских конструкций в дальнем космосе. Тела рассматриваются как материальные точки. Работа примыкает к [1].
PACS: 45.50.Jf
Рассмотрим движение трех тел М0, М1, М2, с массами соответственно т0, тъ т2, связанных упругими невесомыми тросами в форме треугольника в плоскости этого треугольника. Эту задачу будем решать в ограниченной постановке, то есть массу т2 считаем много меньшей масс т0 и т1 [1]. Это позволяет считать, что движение тела М2 практически не оказывает влияния на движение связки тел М0 и М1 [2]. Для определенности положим т0 < т1.
В плоскости треугольника М0, М1, М2 зафиксируем неподвижную систему координат Оху, начало которой совпадает с центром масс тел М0 и М1 (рисунок). Начнем с рассмотрения движения связки этих тел, предполагая, что соединяющий их трос, благодаря вращению относительно точки О, всегда натянут.
1. ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ДВУХ ТЕЛ
Пусть а - полярный угол, отсчитываемый от оси Ох до луча ОМ1. Обозначим ОМ1 = г1, ОМ0 = г0 и запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии системы двух тел
Т = 1 (то т\ + тг) + 1 (то г0 + т1 г\)а2, (1.1)
1 2
и = 2goi (ro + Г1- ¡01) ,
(1.2)
где #01 - коэффициент жесткости троса на растяжение, 101 - длина троса в недеформированном состоянии.
Система имеет интеграл площадей
Учитывая это и, что во все время движения г1 = г0т0/т1, запишем выражение полной энергии системы
1 2 С 1 2 H = 2mro +-2 + 2g(Го -1) ,
2 2mr0 2
(1.4)
т = т0|а; g = I = ¿01/^ Ц = 1 + т0М.
Из выражения (1.4) следует уравнение движения связки тел М0 и М1 на уровне энергии Н
Го =
1
22 m г0
(1.5)
х [ - с2 + m( 2h - gf) г2 + 2 gmlrO - gmr^ ]
(m0r0 + m1r1 )a = с ( с = const).
(1.3)
r odr о
J- b0 + b2rl + Ъъrl - r0
(1.6)
458
и его интеграл
'=±Л I
2
где ¿о = —; ¿2 = (--П; Ьз = 2/.
Для приведения этого интеграла к нормальной лежандровой форме выясним расположение вещественных корней многочлена
ль (1.7)
БЛИНОВ
Аналогично, интеграл на отрезке [r* - £5, r*] представляется величиной
J 3 - P*
2 - arcsin(1 -1£)
P(r) = -r4 + b3r3 + b2r2 - b0
P* = r *l (r* + 2 pr* + q) Интеграл
r * - £5
rdr
i/i
= J
на числовой оси.
,V(r* - r)(r - r*)(r2 + lpr + q)
(1.9)
Производная многочлена -г4 + Ь3г3 + Ь2г2 - Ь0 имеет нулевой корень и вещественные корни
г\ 2 = 8(зь3 ±79Ь3 + 32¿2), < о, Г2 > 0.
после замены r = г* + p5 примет вид J2 =
= -1J
Го J'
1 fl- £
-l/l
p (r*+5p)dp
„Де ro* =
Учитывая, что Р(0) < 0 и Р( г1) < 0, можно заключить, что многочлен имеет только два веще-
'1- (1-Pi )Р + (Pi-Pi )P = (r* + 2pr* + q)1/2, pi = 2s(r* + p)/r0*, P2 = 52/r0*.
Так как p1
0, p2 —► 0 при 5
0 и при
ственных корня г* и г*, 0 < г* < г*. Так как Р( Г2) > 0, 0 < р < 1 - £, то подынтегральная функция разла-то на интервале (г*, г*) этот многочлен положителен, а, следовательно, отрезок [г*, г*] представляет размах колебаний троса.
Период колебаний троса определяется интегралом
гается в произведение р 1/2 на сходящийся степенной ряд по р в указанном отрезке.
При малых значениях я/г* этот ряд сходится медленно. Но в этом случае подынтегральную функцию можно упростить, отбросив в ней слагаемые порядка 0(я/г*). Тогда
т = 2
rdr
J -
g r V(r* - r)(r - r*)(r2 + 2pr + q)
(1.8)
1-£
Г *
dp
Выведем асимптотическую формулу вычисления последнего интеграла. (В справочнике [3] отсутствует приведение к лежандровой форме интегралов такого типа).
Учитывая, что основной вклад в величину интеграла вносят окрестности точек г = г* и г = г*, а многочлен г2 + 2рг + д остается положительным на [г*, г*], представим этот интеграл в виде суммы интервалов ^ + /2 + /3, где
2 ГО Г
В результате
r *
= 2— arcsin(1-2£). (1.10)
т - 2,/-{(P* + P*)[п/2 - arcsin(1 -2£)] + + 2r*/r0 arcsin(1-2£)}.
(1.11)
Для периода т можно дать и двустороннюю оценку
J1
=J
rdr
2 rcVm/gP1 < т < 2KjmTgP2,
(1.12)
V(r* - r)(r - r*)(r2 + 2pr + q)
5 = r* - r*, 0 < £ < 2
min 2 1/2
где P1 2 = [r/(r +2pr + q) ], r e [r*, r*]. max
J1 - P* J
dr
= P *
2 - arcsin(1 - 2£)
V(r* - r)(r- r*) при £
0,
P* = r * / (r* + 2 pr* + q)
1/2
Можно установить, что P1 = P*, P2 = P*.
Сила натяжения троса Fp = g01(r0 + r1 - l01) = = g01(^r0 - l01) достигает максимального значения при r0 = r* и - минимального - при r0 = r*. Неравенство цг* - l01 > 0 служит условием натяжения троса в процессе движения.
Радиус окружности гос, по которой движется точка M0 в стационарном вращении при а = ю = = const, определяется из равенства силы натяже-
2
*
*
r
*
r* + £5
*
r
r* + £5
*
r
ния троса и центробежной силы - ¿01) =
= т0г0сю2, то есть
§01101
|^01- Ш0Ю
2'
Шо
г,„ =
Ш1
Из последнего выражения следует, что для существования стационарного вращения связки необходимо ограничение скорости ю2 < |£01/ш0.
Для иллюстрации полученных формул рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть ш0 = ш1 = 104 кг, (| = 2), 101 = 103 м, g01 = 100 Н/м, ю = 0.02 с1.
Тогда растяжение троса в стационарном вращении А/01 = 20 м, с = ш0(101 + А/01)2ю = 208.08 ■ ■ 106 кг м2/с, Н = 4.1816 ■ 106 кг м2/с2. (Для простоты подсчета принято 1 кг = 10 Н.)
Пусть на этом уровне энергии создано возмущение в радиальном направлении, при котором интеграл площадей св = 212.242 ■ 106 кг м2/с. Тогда
ь0 = с2/^т) = 5.63 ■ 109, Ь2 = 2Н/g - I2 = -2.29 ■ 105, Ь3 = 21 = 103. (Здесь и иногда далее размерности опускаются.) Корни г*, г*, вычисленные с точностью 1 м, соответственно равны 527 м, 547 м. Коэффициенты р = 37, д = 19530; Р* = 0.909, Р* = = 0.912, г0* = 579.9.
Полагая, £ = 0.1, по формулам (1.10), (1.11) получим /2 = 1.687; т = 40.383 сек. Применяя двустороннюю оценку (1.12), получим 40.33 сек. < т < < 40.51 сек.
Если для определения /2 непосредственно по формуле (1.9) (я = 20, £ = 0.1) применить численное интегрирование по формуле трапеций с шагом 2 м, то получим т ~ 38.1 сек. с погрешностью 2.3 сек.
Замечание. В ряде работ [4] и др., посвященных изучению колебаний космических тросовых систем использован метод линеаризации.
2. ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ
К системе точек М0, М1 присоединим материальную точку М2 массы т2.
Пусть g0, g1 и 10, 11 обозначают соответственно жесткости и длины тросов ММ2, М1М2. Предположим вращение точек М0, М1 стационарным с постоянной угловой скоростью Ю, т0 = т1 и М0М1 = = 21с. Середину отрезка М0М1 точку О примем за начало вращающейся системы координат О^п со скоростью Ю, направив ось О£, по направлению ОМ0. Обозначив ОМ2 = Я и а - угол между лучами О\ и ОМ2, запишем выражение кинетической и потенциальной энергии точки М2.
т2
2 2 2
т = 2[(ю + а) я + я ],
и = 2 [ ^ (1о- 10 )2 + gl (11- А )2 ],
(2.1) (2.2)
где ¿0, ¡\ - длины тросов в недеформированном
(г, 2 1,2 1,2 ,2
состоянии I Я =2 ¿0 + 2 '1 - '
Переходя к декартовым координатам п точки М2, можно записать
Т = 1т2[42 + 112 + 2Ю(^11-п^) + Ю 2(^2 + п2 )],(2.3)
и = 1 [gоU(^ +1с)2 + п2- ¿0)2 +
+
gl (^ - 1с)2 + п2- ¿1 )2 ] .
(2.4)
Положение относительного равновесия точки М2 определяется уравнениями
дир/д^ = 0; дир/дп = 0, (2.5)
т
где ир = и - — Ю2(^2 + п2) - приведенная потенци-
альная энергия точки М2.
Эти уравнения в развернутом виде при п = 0 следующие:
^о( 1- /0/10)(£ + 1с) + 1- ¿1/¿1 )(£ - 1с) - т2Ю^ = 0, ^о( 1- ¿0/¿0) + gl ( 1- /,l//l ) - т2Ю2 = 0.
(2.6)
г0с =
Из системы (2.6) следует ^о ¿0
2 gl ¿1
7 = 0 • 7 =
0с 2 1с
2gо - т2Ю 2gl - т2ю
2
(2.7)
где ¿1с - длины ¿0, и ¿1 в стационарном движении. (Любопытно, что здесь отсутствует перекрестное влияние натяжений тросов).
Следует отметить, что стационарное движение возможно при ограничениях на угловую скорость ю2 < 2g0/m2; Ю2 < 2g1/m2. На данном уровне энергии Н область возможного движения определяется неравенством ир < Н или
gо(¿0 - ¿0)2 + gl(¿1 - ¿1 )2 - 2т2ю2(¿0 + - 2/2c) < 2Н.
Для определения устойчивости найденного нием (2.8), так как при п = 0 переход от %, п к г0, г1
вырождается (г1 = -г0). Поэтому вычислим
Э2^р/Э%2 = ^0 + Я1- т2 ®2- Я0 /0//о- /1//1-
- Яо/0 ( /2-^ )//3-^ (/с - %) 2//1,
Э2ир/(Э^ЭП) =
= [ Я0/0 (/с + %) //3 + Я1/1 ( /с - %) //3],
Э2^р/Эп2 = Я0 + Я1- т2 ю2- Я0 /0//0- /1//1 +
+ (Я0/0//0 + Я1/1//3 )п2.
При % = /0с - /с; п = 0 коэффициенты квадратичной формы ап£2 + 2а12^п + а22п2, С = % - /с - /0с равны:
стационарного движения относительно переменных /0 и /1 рассмотрим вид приведенной потенциальной энергии с учетом, что
% = (/2- /2)/(4/с); п2 = /0- (% + /с )2,
1 2 2 ир = 2 { Я0 (/0- /0) + Я1(/1- /1) -
(2.11)
- т2ю
1(/2 + /1) -2/2
или, после введения новых координат /0 = /0с + г0; /1 = /1с + г1,
ир = 2
т2 2^ 2 ( т2 2 ] 2 |-у ю I г0 + I Я1- 2" ю I г1 +
ап = Я0 + Я1- т2Ю2-2 Я0/с/0//0с -- 2я 1 /1 ( 1 + /0с//1с)//1с, «12 = 0,
а22 = Я0 + Я1- т2юЮ - Я0/0//0с - Я1/1//1с•
(2.12)
(2.8)
+ (2я0А0- т2Ю /0с)г0 + (2Я1А1- т2Ю /1с)г1 +
+ Я0^0 + Я1 А? - 2"т2Ю2(/1с + /1с - 2/2)
А0 = /00 - /0, А1 = /1с - /1.
Квадратичная часть этой функции является положительно определенной при условиях ю2 < 2я0/т2; ю2 < 2я1/т1.
Таким образом, условия устойчивости стацио
Учитывая, что т2Ю2(/0с - /с) = Я0(/0с - /0) + + Я1(/1с - /\), получим
а22 = -я0(/0с - /0)/с/[/0с(/0с - /с)] -
- я1 (/1с - А)/(/0с - /с) < 0, а 11 < а22.
(2.13)
Следовательно, положение равновесия (2.10) неустойчиво, так как по второй теореме Ляпунова о неустойчивости достаточно, чтобы функция ир достигала в нем максимума. Если вместо предва-
нарного решения (2.7) по Лагранжу совпали рительного натяга 4 имеется слабина, то натянутым центробежными силами будет только трос,
длина которого больше /с. Пусть /'с > /с. Тогда
в (2.12) можно положить я1 = 0 и получить
с условиями его ограниченности.
При п = 0 (связка те
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.