ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 4, с. 381-385
ДИАГНОСТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.9.082.5
О ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ ЧАСТИЦ МЕТОДОМ ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА © 2015 г. В. Н. Очкин
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия e-mail: ochkin@sci.lebedev.ru Поступила в редакцию 03.09.2014 г.
Анализируется точность абсорбционных измерений концентраций частиц в выделенном квантовом состоянии в зависимости от величины поглощения света объектом. Рассматриваются погрешности, связанные с конечной точностью при реальных измерениях интенсивности света, проходящего через среду при наличии шумов различной природы в детектируемом сигнале. Указываются оптимальные значения величин поглощения и факторы умножения погрешностей при отступлении от них.
DOI: 10.7868/S0367292115040046
1. ВВЕДЕНИЕ
Одни из самых распространенных количественных методов диагностики плазмы — абсорбционные спектральные методы — применяются, в том числе, для определения ее химического состава, кинетической температуры, распределений частиц по уровням энергии, плотности электронов и их распределений по скоростям [1, 2]. И в лазерной, и в классической версиях они имеют много разновидностей. Общим является большой динамический диапазон величин поглощения, например, для нескольких линий различной интенсивности (методы относительных интен-сивностей) или для контура (штарковского, до-плеровского) поглощения уединенной линии в одном цикле измерений и т.д.
Всегда при этом важен вопрос о точности измерений. Она определяется, в первую очередь, точностью измерений интенсивностей падающего и прошедшего объект света, т.е. коэффициента поглощения (пропускания). Из качественных соображений вполне понятно, что, поскольку точность детектирования светового сигнала при любом времени усреднения в эксперименте конечна, то и при слишком малых, и при слишком больших поглощениях точность будет страдать. В первом случае различие 10—1 интенсивностей падающего на объект 10 и интенсивности I прошедшего через него света, а во втором случае сама интенсивность I прошедшего света малы и перекрываются шумами (нестабильность источника света, погрешности фотометрирования или шумы детектора и электроники). Отсюда следует, что оптимальная доля пропущенного света должна быть конечна. Но какова она? Как ни удиви-
тельно, но столь общий вопрос о погрешностях спектральных абсорбционных измерений практически, за редкими исключениями, не обсуждался.
2. ОПТИМАЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОТСТУПЛЕНИИ ОТ НЕГО
К отмеченным выше редким исключениям можно отнести обзор [3] и книгу [4], посвященные оптическим измерениям изотопных отношений, где были сделаны оценки величины оптимального, с точки зрения точности измерения коэффициента поглощения, соотношения х = 10/1, х > 1, исходя из закона поглощения Бера—Буге-ра—Ламберта (ББЛ)
а = аЬ = 1п х, (1)
где а и а — экстинкция и коэффициент поглощения, соответственно; Ь — длина пути света в объекте. Связи погрешностей величин получаются дифференцированием
Ша = = , йх = Шо - V1. (2)
х а х 1п х I
Формулы (1) и (2) справедливы для малых поглощений, иное рассматривается ниже, в разд. 2.5.
В предположении [2] наибольшая погрешность измерения Шх соответствует тому, что погрешности измерений интенсивностей 10 и I равны по абсолютной величине и разнонаправлены, dI = —Ш^. Тогда относительная погрешность
- м , м -
a I0 ln x
5
381
г 22
20
18
16
14
12
10 - \ г1 '
8 - \
6 - \
4 2 0 1 г2
......
10 100
Рис. 1. Функции I для относительных погрешностей при измерениях коэффициента поглощения. Zl — джонсоновский, темновой, рекомбинационный шумы. 12 — дробовый шум.
Здесь z1 — функция, переводящая погрешности измерений интенсивностей в погрешности получаемых коэффициентов поглощения (функция "умножения ошибок"). Условием минимальной погрешности в относительной ошибке измеряемого коэффициента поглощения при фиксированном отношении й1/10 будет йг\!йх = 0, или
1пх = 1 + 1/х, х = 3.57, т.е. I = 0.28/0, а
й а а
3.6
й1 10.
а й а
1п 10
(£ )а =_I— =_1ПХ_
М 410 + 41 (Я/N) + (Я/М)-10 I "
1 •
(4)
Характеризация шумов различных типов, наиболее часто встречающихся в реальных измерениях, достаточно систематически проведена, например, в книге [5] (см. также [1]).
2.1. Тепловой (джонсоновский) шум связан с тепловыми флуктуациями плотности зарядов в цепи детектора. В этом случае
(Я) = елI
еп I Я км \4kTB'
(5)
где п и Я — квантовый выход и сопротивление нагрузки фотодетектора, В — ширина частотной полосы пропускания детектирующей системы. Величина интенсивности, при которой Я/М = 1, называется эквивалентом мощности шума МЕР, а обратная ей величина В — детектирующей способностью
(6)
(мер) ~А = в,и = ел.
,и 4кТВ
В этих обозначениях величины в знаменателе (4) записываются в виде
й! = (я/М)-и = ту1,
Ц00 = (Ви/00"
а само выражение (4) — как (
а) = IoBи 1п х й а) и
1 + х
(7)
(8)
Соответственно, формула (3) превращается в формулу
й а = z 1 а 1 BиIo
(МЕР) I,,
= , «=1 (9)
I0 1п х
с той же функцией z1. График этой функции приведен на рис. 1.
2.2. Шум темнового тока возникает из-за флуктуаций тока через детектор под действием приложенного к нему напряжения в отсутствие освещения. В этом случае формулы (8) и (9) сохраняются при замене Ви на Вв = (Н\/ец)^2е1йВ, /в — темновой ток.
2.3. Аналогичный вывод можно сделать и из анализа случая генерационно-рекомбинационного шума, возникающего при использовании полупроводниковых детекторов и связанного с размножением случайно возникающих зарядов. В этом случае для детектирующей способности следует использовать выражение, аналогичное таковому
для темнового шума, Ввг = (Н\/eп)/\|4e/J (т й / т г )В. Здесь тг и тВ — времена рекомбинации и диффузии к электродам носителей тока.
Таким образом, для рассмотренных выше типов шумов выражения для относительной точности измерений коэффициента поглощения (3) и вида функции z1 остаются справедливыми, если вместо члена й^^ использовать множитель 1/В!0 = МЕР)/!0 с соответствующими значениями В или МЕР для различных шумов. При одновременном присутствии нескольких источников шумов указанного выше типа с нормальной статистикой в регистрируемых сигналах их интенсивности складываются [5],
По логике автора [3], выбор условия ^ = —й^ связан с наличием одинаковой ширины "коридора ошибок" при детектировании каждого из сигналов, однако это предположение неоднозначно. Выбор разных знаков, очевидно, оправдан, но соотношение абсолютных величин должно зависеть от типа шумов. Рассмотрим это подробнее.
Введем величины отношений сигнал/шум для коэффициента поглощения (Я/N)а = а/йа и интенсивности (Я / N) [ = I / Л. Тогда из (1), (2) следует
г1Д
20 -
18 - /
16 -
14 - 0.2 0.1
12 4 0.3 0.05
10 8 \\ / 0.01
6 - N у << 1
4 -
2 -
0 1 1 1 1
10 30 х
Рис. 2. Графики функции при различных у. Случай с у ^ 1 соответствует рис. 1.
(ШР)Ъ =
X (NEP)I2
1/2
(10)
(-) =
ПI
12ку В
а мощность, эквивалентная шуму,
(ШЕР)-> = Б- =
П
(11)
(12)
2к\В
При этом для относительной погрешности измерений коэффициента поглощения справедливо выражение
= "2(Б-/О)1/2 = *
(ШЕР)Ц/2
г 1/2 ; 1 0
г 2 =
1 + Тх
1п X
(13)
График для г2 также приведен на рис. 1. Условие ми-
."1/2
+ 1) и
нимума г2 следует из уравнения 1п х = 2(х соответствует х = 12.9.
2.5. Следует отметить, что, поскольку выражения (3), (9), (13) получены путем дифференцирования закона ББЛ, они справедливы лишь для случаев малых шумов у = й1 /10 < 1. Проиллюстрируем, насколько велики отступления, например, функции г1 от выражения (3), если величина у = АI/1 конечна. Для этого впрямую составим
х , г, .(х .)
тш, 1ДЧ тт'
7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5
г,д(Хтт)
0.2
0.4
а оптимальное соотношение х = 10/1 сохраняется.
2.4. Иная ситуация имеет место для дробовых шумов, возникающих вследствие освещения детектора. При пуассоновской статистике фотоэлектронов в этом случае отношение сигнал/шум в интенсивностях
Рис. 3. Значения хт;п и г1л(хтт) в зависимости от у.
разность Аа = а - а между измеряемым а и истинным а0 значениями коэффициента поглощения и для относительной погрешности измерения коэффициента поглощения получим выражение
Аа = 1п [(1 + у)/(1 -ух) ] = ^
0 = ^ = ' г1А,
а
1п х
(14)
которое в пределе у = <Н/10 < 1 переходит в (3) с
г1А = г1 и определено для значений х < у-1. На рис. 2 приведено семейство зависимостей г1А от х при различных значениях относительной погрешности измерений у интенсивностей просвечивающего излучения. Из рисунка видно, что отношение погрешности измерения коэффициента поглощения к погрешности измерения интен-сивностей растет с увеличением последней. По мере роста погрешности минимум функции сдвигается в сторону меньших значений х. На рис. 3 приведены значения хт1п, соответствующие минимумам г1А, и значения функций г1А в этих точках. Значения х = хтп находятся дифференцированием г1А и соответствуют решениям уравнения
1
ух , , 1 + у ——1п х = 1п--
(15)
■ух 1 - ух
3. ТИПИЧНЫЙ ПРИМЕР
Приведенные выше соотношения и графики могут быть прямо применены как при планировании эксперимента, так и при нахождении точности проводимых измерений. Рассмотрим, однако, другую ситуацию — как можно оценить точ-
У
Погрешности измерений концентраций и связанные с ними величины на примере данных из монографии [6]
нм I, A N, см-3 [6] а X AN/N = Да/ а, %
50 2.7 х 109 0.12 1.13 17
398.2
150 5 х 108 0.023 1.023 90
80 2.6 х 109 0.18 1.4 12
318.6
130 1.5 х 109 0.1 1.1 21
ность уже приведенных в литературе результатов. Часто (и, скорее, в большинстве случаев) экспериментальные результаты приводятся авторами без анализа и указания погрешностей. Приведем характерный пример из спектроскопии плазмы.
В книге [6], в частности, описываются результаты измерений концентраций атомов титана в плазме дуги с титановым катодом, горящей в атмосфере азота малой плотности и использующейся для нанесения упрочняющих нитридных покрытий. Они изображены на рис. 4. Давление азота 5 х 10-3 Торр, ток разр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.