научная статья по теме О ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ ГИБРИДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «О ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ ГИБРИДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 441, № 2, с. 179-182

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

о полной наблюдаемости

гибридных дифференциально-разностных систем

© 2011 г. В. М. Марченко

Представлено академиком С.К. Коровиным 25.05.2011 г. Поступило 20.06.2011 г.

В настоящее время в литературе пока не выработана общая точка зрения по поводу термина "гибридные системы". В англоязычной литературе этот термин используется в основном в связи с дискретно-непрерывными системами или системами, содержащими логические переменные. В данной работе рассматриваются гибридные дифференциально-разностные (ГДР) системы. С нашей точки зрения, гибридность возникает всегда, когда имеется неоднородность в природе рассматриваемого процесса или в методах его изучения. Историю вопроса можно проследить по работам [1—11] и ссылкам в них, где описаны и некоторые приложения таких систем, в частности, их связь [9] с непрерывно-дискретными системами и системами с запаздывающим аргументом нейтрального типа.

Рассмотрим ГДР систему в симметрической форме

( ?) = Ли X! (г) + Лих2 (?) , (1)

х2(г + к) = Л2Л(0 + Л22х2(0, г > 0; (2) с начальными условиями вида

XI (0) = XI (+0) = хю, Х2(т) = у(т), т е [ 0, к);

и выходом

У(г) = сл(г) + С2Х2(г), г> 0,

(3)

(4)

где 0 < к — постоянное запаздывание; х^) е К 1,

х2(^ е К"2, уЦ) е К ; I > 0; Ау, С,, , = 1, 2,] = 1, 2, -постоянные матрицы соответствующих размеров.

Под решением системы (1), (2) будем понимать абсолютно непрерывную ягвектор-функцию х^) и кусочно-непрерывную я2-вектор-функцию х2(1), которые для ? > 0 удовлетворяют уравнению (2) и для почти всех ? > 0 уравнению (1).

В некоторых случаях система (1), (2) может быть сведена к системе с запаздывающим аргу-

Белостокский технический университет, Польша Белорусский государственный технологический университет, Минск

ментом нейтрального типа, однако ГДР система в общем случае обладает более богатым множеством решений и, таким образом, обеспечение свойства наблюдаемости предъявляет к ГДР системе повышенные требования по сравнению с системами с запаздыванием.

Интегрируя систему (1), (2) "по шагам", убеждаемся, что решение x1(t, x10, у(-)), x2(t, x10, у(-)) начальной задачи (1)—(3) существует, единственно и имеет не выше чем экспоненциальный порядок роста при t > 0 (см. также [5, 6]).

Под состоянием системы (1), (2) в момент t > 0 будем понимать пару (x1(t, x10, у(-)), x2t(-)) g К 1 х

X PC([0, h), R"2) = Mpc, где x2t(x) = x2(t + т, x10, у(0), т g [0, h); при t = 0 получаем начальное состояние (x10, v(-)). Тогда задача полной наблюдаемости ГДР системы (1), (2) ставится как задача наблюдения (абстрактного восстановления — различения) ее состояний.

Пусть y(t) = y(t, x10, v(-)), t > 0, — выход (4), порожденный начальным состоянием (x10, у(-)) g Mpc. Тогда ГДР система (1), (2) называется:

1) сильно вполне наблюдаемой (СиВН), если для любых начальных данных (x10, у(-)), (х10, у (■)) g Mpc, для которых y(t, xw, у(-)) = y(t, j^io , у (■)), t > t1, при некотором t1 > 0, выполняется также условие x10 = х10, у(т) = у (т), т g [0, h);

2) слабо вполне наблюдаемой (СлВН), если для любых начальных данных (x10, у(-)), (х10, у (■)) g Mpc, для которых y(t, xw, у(-)) = y(t, Хю , у (■)), t > 0, выполняется также условие x10 = i10, у(т) = у (т), т g [0, h);

3) сильно финально наблюдаемой (СиФН), если для любых начальных данных (x10, у(-)), (х10, у (■)) g Mpc, для которых 3t1 > 0, y(t, x10, у(-)) = y(t, х10, у (■)), t > t1, выполняется также условие 3t2 > 0, x(t, xw, у(-)) = x(t, Х10, у (■)), t > t2, i = 1, 2;

179

3*

4) слабо финально наблюдаемой (СлФН), если для любых начальных данных (х10, у(-)), (х10, у (■)) е Mpc, для которых у(^ хм, у(-)) = y(t, Хю , у (■)), t > 0, выполняется также условие > 0, xi(t,

Xl0, у(0) = Xi(t, ^10, у (■)), t > t2,1 = 1, 2;

5) v-s-вполне наблюдаемой (у-у-ВН) для V + 1, s + 1 е N, если для любых начальных данных (хю, у(0), (^ю , V (■)) е Мрс, для которых y(t, хм, у(-)) = = y(t, х10, \|/ (■)), t > vh, выполняется также условие х^, х10, у(-)) = х^, х10, у (■)), t > sh, I = 1, 2;

6) -вполне наблюдаемой на продолжении (^-ВНП), если для любых начальных данных (х10, у(0), (^ю , V (■)) е Мрс, для которых у^, хм, у(-)) = = y(t, х10, у (■)), t е [0, выполняется также условие х^,х10, у(-)) = х([, /10, у (■)), t> tif, I = 1, 2.

Анализируя понятия полной наблюдаемости, получаем

Утверждение 1. Имеет место следующая цепочка импликаций:

СиФН ^ СиВН ^ V-0-ВН ^ V-^-ВН

о и и ^ ;

СлФН ^ СлВН о 0-0-ВН ^ 0-^-ВН v1 -^-ВН ^ V2-^2-ВН; если v1 > V2, у1 < у2.

Утверждение 2. Условие

rank

C2 AV2 C2AV2

С A + "2-1 2 22

22

= rank

C2A22 C2 AV2

C2A22

v + - 1

(5)

rank

C1

Pi", - Aii -A21

C2

-A1

hT - A

"

22

= n, + n2, p e C, (6)

2) выполняется ранговое условие

rank

C2

C2 A22

C2 A22

22

= rank

C2

C2 A22

n2 - 1 2 A22

C2 A"2

Здесь и в дальнейшем символ 1к означает единичную (к х к)-матрицу, С — поле комплексных чисел.

Условие (6) достаточно проверять на множестве а — спектре системы (1), (2), которое не более чем счетно, а = {р е С: Д(р) = 0}, где уравнение

A(p) = det

Pin, - A,, -A-

-A

21

!2

e,hin2 - A-

= 0

будем называть характеристическим уравнением, а его корни (в общем случае комплексные) — собственными значениями ГДР системы (1), (2).

Вектор-функции вида х($) =

(t) *2 (t)

Po *

= e go, go * 0,

где

poTn,- Au

-A

±H

-AU

Poh T л

e Tn2 - A

22

= 0,

является необходимым для v-s-BH системы (1), (2).

В крайних случаях СиВН и СлФН (см. утверждение 1) можно сформулировать эффективные параметрические необходимые и достаточные условия наблюдаемости системы (1), (2).

Теорема 1. ГДР система (1), (2) является слабо (и сильно, учитывая утверждение 1) финально наблюдаемой тогда и только тогда, когда

1) выполняется спектральное условие

будем называть собственными решениями (собственными движениями — модами) системы (1), (2) (здесь g0 — собственный вектор, соответствующий собственному значению р0). Тогда спектральное условие (6) означает полную наблюдаемость всех собственных движений системы (1), (2). Такая наблюдаемость называется спектральной. Таким образом, условие (6) является критерием спектральной наблюдаемости системы (1), (2).

Тео р е ма 2. Система (1), (2) является сильно вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда

1) выполняется условие

deЫ22 Ф 0;

2) выполняется спектральное условие (6);

3) выполняется ранговое условие

(8)

rank

C2

C2A22

C2A222

= n2

(9)

В частном случае ГДР систем — систем с запаздыванием вопросы полной управляемости и наблюдаемости рассматривались в работах [12, 13].

n

2

s

О ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ

181

При исследовании задачи полной наблюдаемости системы (1), (2), (4) важное значение имеют следующие утверждения.

Утверждение 3. Еслиу(1) = 0, I е [0, I*], при

I* > п2к, то у(1) = 0, I е [0, +да), во всех точках Iнепрерывности функции у(1), I > 0.

Утвержде н и е 4. Если х1(1, х10, у(-)) = 0, I > I*,

а также x2(t, х10, у(-)) = 0 в точках I непрерывности функции х2(0, I > I*, при некотором > 0, то

1) х^, х10, у(-)) = 0, I > П2к;

2) х2(^ х10, у(-)) = 0, I > п2к, в точках непрерывности функции х2(-).

Предположим далее, что рассматриваются только такие начальные вектор-функции у(т), которые непрерывны при т е [0, к), причем выполнено условие непрерывной стыковки: у (к — 0) = = А11х10 + А22у (0). Соответствующий класс начальных данных (х10, у(-)) обозначим символом Мс. Тогда решение начальной задачи (1)—(3), а также соответствующий выход (4) будут функциями непрерывными.

rank

Ci

C2

pIn1 - A11 -A12

-A21 ephL - A

22

Имеет место

Теорема 3. Следующие предложения эквивалентны:

1) выполнено спектральное условие (6);

2) система (1), (2) спектрально наблюдаема;

3) система (1), (2) слабо финально наблюдаема в классе Мс;

4) система (1), (2) сильно финально наблюдаема в классе Мс;

5) система (1), (2) п2-п2-вполне наблюдаема в классе Мс,

6) система (1), (2) t*-вполне наблюдаема на продолжении в классе Мс при I* > п2к.

Утв ержд е н и е 5. Для СиВН системы (1), (2) в классе Мс достаточно, чтобы наряду со спектральным условием (6) выполнялось также требование (8).

Тео р е ма 4. Рассмотрим систему (1)—(3), где начальные данные (х10, у(-)) выбираются в классе Мс. Пусть далее I* > п2к. Тогда цепочка импликаций в утверждении 1 допускает уточнение:

= n1 + n2, detA22 ф 0, p е С;

И

СиФН ^ СиВН ^ СлВН

О U U

СлФН ^ СпН о n2-n2-BH ^ ?*-ВНП

О

rank

Ci

C

pIn, - A11 -A12

-A21 Л„. - A

n2 22

= n1 + n2, p е С,

2

где СпН означает спектральную наблюдаемость, причем обратные импликации: СиВН ^ СлВН ^ ^ СиФН в общем случае неверны.

Рассмотрим ГДР систему (1)—(4) со скалярными коэффициентами:

Лу = а у е К, С,- = с,- е К, / = 1, 2; у = 1, 2

(Х10,у(■)) е Мс. (10)

Утверждение 6. Система (1)—(4), (10) 1) СиВН тогда и только тогда, когда наряду с требованием (6) выполняется хотя бы одно из следующих условий: а) ^ ф 0;

б) 0-22 = 0, ип ф 0, 0-21 ф 0;

2) СлВН тогда и только тогда, когда наряду с требованием (6) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

в) 022 ф 0;

г) 022 = 0, 012 ф 0, 021 ф 0;

д) «22 = 0, 0-12 = 0, с2 ф 0;

е) 022 = 0, «21 = 0, с2 ф 0;

ж) 022 = 0, 0-21 = 0, с2 = 0, 012 Ф 0.

При исследовании задач наблюдаемости случается так, что собственная динамика системы наблюдения задана, а структуру выходного устрой-

ства (матрицы С1, С2) можно выбарть. В такой ситуации возникает задача вычисления минимального числа выходов — размерности выхода, при котором система является наблюдаемой. Поскольку минимальным требованием в задачах полной наблюдаемости является их спектральная наблюдаемость (см. теоремы 1—5), рассмотрим задачу вычисления минимального числа выходов в случае спектральной наблюдаемости системы (1), (2) по измерениям выхода (4). Перейдем к точной формулировке.

Задача. Найти минимальное число г0, а так-

^ О^ Х П1 ^ Гп/0 Х П2

же вид строк матриц С1 е К , С2 е К , при которых соответствующая система (1), (2), (4) является спектрально наблюдаемой, т.е. выполняется спектральное условие (6).

Имеет место

Теорема 5. Минимальное число г0 выходов спектрально наблю

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком