о пороговой анизотропии для неустойчивых
сферических звездных систем
В. Л. Поляне и,ко ". Е. В. Полячеи,ко "". И. Г. ПТухлти,''
"Институт астрономии Российской академии наук 119017, Москва, Россия
ь Институт солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук
664033, Иркутск, Россия.
Поступила в редакцию 15 марта 2011 г.
В анизотропных бесстолкновительных звездных системах с преобладанием радиальных движений над трансверсальными, как правило, возникает неустойчивость радиальных орбит. На примере простейшего анизотропного обобщения политропных моделей сферических скоплений мы показываем, что инкременты неустойчивости при приближении к изотропному пределу становятся экспоненциально малыми. Учитывая конечность времени жизни реальных астрономических объектов, следует считать, что эти системы становятся устойчивыми при некотором конечном значении радиальной анизотропии.
1. введение
В отличие от плазмы, гравитирующая среда далеко по так богата неустойчивостями. Действительно, изложению теории устойчивости плазмы посвящены многотомные монографии (например, [1 3]), в то время как для перечисления основных пеустойчи-востей гравитируюгцих систем более чем достаточно пальцев одной руки. При этом одна из них, джин-совская, особенно выделяется среди них благодаря разнообразию проявлений и исполняемых ею функций. Именно эта, безусловно главная в гравитируюгцих системах неустойчивость, не имеет аналога в плазме. Это связано с фундаментальным различием между электростатическим и гравитационным взаимодействиями: если одноименные электрические заряды отталкиваются, то аналогичные гравитационные «заряды», коими являются массы, притягиваются. Формально это проявляется в различных знаках правой части уравнения Пуассона, Aip = —4жре электрический потенциал, рс плотность зарядов) в случае электростатики и АФ = 4тгGp (Ф гравитационный потенциал, р плотность массы, G гравитационная постоянная) в гравитации. Соответственно, при возмущениях достаточно холодной однородной плазмы в ней возникают электро-
* E-mail: epolyach'fflgmail.com E-mail: shukhman'Qiszf.irk.ru
статические (леигмюровские) колебания, а гравитирующая среда распадается на части из-за джинсов-ской неустойчивости. Минимальный размер этих частей равен так называемой критической длине волны Джинса Асг: неустойчивыми оказываются все масштабы, большие Асг. Благодаря этой неустойчивости, напомним, образуются звезды, их скопления и практически вся наблюдаемая сложная иерархическая структура Вселенной. Подробности можно найти, например, в книге [4], значительная часть которой посвящена подробному рассмотрению различных аспектов джинсовской неустойчивости. Для систем конечных размеров ее причиной является слишком малая дисперсия скоростей частиц, заставляющая такие системы делиться на меньшие части.
Данная выше интерпретация джинсовской неустойчивости как происходящей в недостаточно «горячих» системах и приводящей к их распаду на более или менее мелкие части, основана на подходе самого Джинса, рассматривавшего неустойчивость в газовой среде. Ближайшим аналогом газовой среды в звездных системах являются изотропные скопления, в которых дисперсия скоростей звезд одинакова во всех направлениях. В этом случае из условия равновесия может вытекать, что такие системы в принципе не могут делиться на более мелкие части, так как размер последних был бы меньше критической джинсовской длины волны. Именно так и происхо-
дит в реальных изотропных звездных скоплениях, которые во всех сколько-нибудь разумных случаях устойчивы (подробнее см., например, [5]).
Однако звездные системы, в отличие от газовых, являются в большинстве случаев бесстолкновитель-ными и потому могут быть анизотропными: дисперсии скоростей по разным направлениям могут отличаться друг от друга, в том числе и сильно. В этой ситуации джинсовская неустойчивость может развиваться, например, по одному из направлений, прежде всего по тому, в котором система является наиболее холодной.
Интересной и важной для звездных систем разновидностью джинсовской неустойчивости такого именно рода является так называемая неустойчивость радиальных орбит, открытая авторами [6]. В некоторых случаях, наиболее интересных с точки зрения астрофизических приложений, ее можно определить как джинсовскую неустойчивость в системе сильно вытянутых по радиусу орбит звезд. Последние при этом выступают как целое и играют роль отдельных частиц в «обычной» джинсовской неустойчивости. Эта неустойчивость может быть ответственна, например, за наблюдаемую несферичность звездных скоплений, которая могла развиться при их формировании в процессе коллапса (когда, очевидно, образуются системы с превалированием радиально вытянутых орбит).
При переходе от чисто радиальных орбит к округлым орбитам неустойчивость, разумеется, не может исчезнуть сразу же. Единственное, что мы можем гарантировать это заведомую устойчивость всех изотропных равновесий сферических скоплений. Причиной рассматриваемой неустойчивости является как раз анизотропия скоростного распределения звезд с преобладанием радиальной компоненты.
Первое исследование устойчивости конкретной серии моделей сферических звездных скоплений [7], было выполнено авторами [8]. Активная работа, предпринятая в последующие годы, проводилась как с помогцыо решения линейной задачи на собственные значения матричным методом [9 14], так и различными версиями методов моделирования Лг тел (Л'-1хк1у) [15 20].
Вообще говоря, есть две принципиально отличающиеся друг от друга возможности перехода от устойчивых систем к неустойчивым. Первая: неустойчивость стабилизируется только при полном устранении вызывающей их причины, т.е. при изо-тропизации фазовой плотности. И вторая: для этого достаточно лишь уменьшения анизотропии до неко-
торого уровня, при котором система может оставаться, вообще говоря, даже силыгоанизотропной.
Цель настоящей работы состоит в выборе между указанными альтернативными возможностями. Исследование проводится на примере простейшей серии анизотропных моделей сферических скоплений звезд с функциями распределения
F(E,L) = C(.s,q)L-4(^E)q, Фо(0) < £ < 0, (1) где C(n,q) = const, v скорость звезды,
Ь = Г = Г у +
ii
Е=- с2 + Ф0 (г) = - (с2 + <•!) + Ф0 (г)
соответственно угловой момент и энергия звезды, « и ц параметры модели. Предполагается, что аддитивная постоянная в невозмущенном гравитационном потенциале Фо(»') = —Ф(г) выбрана так, что Ф0(Д) = —Ф(Л) = 0, где Я радиус системы. Интеграл
р0(г) = 2тг J dvr v± dv± F,
определяющий плотность, имеет смысл только для ц > — 1, л' > 2. Явное выражение для плотности есть
p0(r) = A(s,q)r~* ф?+(з-»)/2
(2)
где коэффициент A(.s,q) связан с C(.s,q) соотношением
.4(».„) = С(„.(2Т)'/' 2-/' + '' ■
где Т(х) гамма-функция. Обычно рассматриваем безразмерные величины, полагая
4nG = 1, А = 1, Фо(0) = 1,
(3)
что дает явное выражение для коэффициента C(s,q) в (1):
2s/2 Г(</+(5-я)/2)
(2тг)3/2 Г(1 + у)Г(1 - а/2)'
Функции распределения (1) представляют простейшее обобщение политропных моделей, которые соответствуют s = 0:
Fi„o(E) = C(0,q)(-E)4.
(4)
Политропными эти модели называются по той причине, что, вычисляя с помощью выражения (4) плотность ро и аналог гидродинамического давления Р,
мы убеждаемся в том, что давление и плотность связаны стандартным политропным соотношением: Р ос Рд, где V = + 5)/(2(/ + 3). Напомним, что теория устойчивости звездных систем была начата Антоновым [21] с его знаменитого (и до сих пор наиболее часто цитируемого) доказательства устойчивости именно всех политропных моделей (4) при ц > 0, т. е. убывающих с энергией.
Более разнообразные результаты можно ожидать для обобщенных политропных моделей (1). Для предельного случая я = 2 мы получаем из (1) систему с чисто радиальными движениями звезд. Это следует из легко проверяемой формулы для отношения кинетических энергий радиального Тг и поперечных Т± движений звезд в моделях (1),
Как и должно быть, для изотропного случая (.ч = 0) получается £ = 1, а для системы с чисто радиальными орбитами (« = 2) имеем £ = ос. Таким образом, при изменении параметра « от 0 до 2 получаем все представляющие интерес скопления, от изотропных до систем с чисто радиальными орбитами1 К При этом нам заранее известно, что изотропные распределения устойчивы (по крайней мере, при д > 0), в то время как радиальные неустойчивы. Поэтому можно было бы предположить, что существует какое-то критическое значение параметра я, нсг, разделяющее устойчивые (при я < .чсг) и неустойчивые (при « > н„) системы.
Расчеты, результаты которых были приведены в [9], показали, что для рассматриваемых обобщенных политроп инкремент неустойчивости становится малым при « « 0.6, почти независимо от ц. Поэтому естественно было предположить, что это значение параметра соответствующее £ « 1.4, является тем самым критическим значением, которое отделяет устойчивые модели от неустойчивых. Этот результат был фактически подтвержден авторами работы [17], которые совершенно другим методом (путем традиционного численного моделирования Лг тел) исследовали устойчивость тех же моделей (1) и пришли к тем же выводам.
На этом фоне неожиданными оказались результаты авторов работы [23], посвященные тем же моделям обобщенных политроп. Используя приближенное уравнение для неустойчивых мод с малыми ин-
При « > 0 сферические системы являются трансверсаль-ш) анизотропными и не представляют особою интереса, поскольку, как правило, являются устойчивыми [11,22].
крементами нарастания, они показали, что неустойчивыми являются радиально анизотропные системы, сколь угодно близкие к изотропным.
Однако из-за некорректности, допущенной при выводе упрощенного интегродифференциалыгого уравнения, эти авторы получили рост инкремента неустойчивости по мере приближения модели к изотропному пределу. На примере двух численно рассчитанных ими моделей, а именно, q = 1, s = 2/3 (модель В) и q = 1, s = 1/3 (модель С) они, в частности, продемонстрировали наличие неустойчивости и убывание инкрементов для квадрупольной моды / = 2 с уменьшением параметра s для
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.