ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. В. С. Сергеев
О ПРЕДЕЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ В НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Проводится исследование систем с последействием, состояние которых задается нелинейными интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерры с малыми возмущениями. В предположении, что линеаризованная невозмущенная система асимптотически устойчива и что возмущения, а также нелинейные члены содержат функции времени, экспоненциально стремящиеся к периодическим функциям, рассматривается вопрос о существовании в таких системах предельно периодических движений. В качестве примера рассмотрены предельно периодические движения твердой пластины (модели крыла) при нестационарном обтекании воздушным потоком.
1. Предельно периодические движения. Рассмотрим систему с последействием, описываемую интегродифференциальным уравнением типа Вольтерры
dx ... +
t
= Ax + JK(t - s)x(s)ds + F(x, у, z, t) + ц(Ф(t) + D1 (t)x + D2(t)у + D3(t)z) (1.1)
dt
0
x, y, z 6 Rn, x = col(x1, ..., xn)
в котором A - постоянная (n x п)-матрица, Ф(0 = Фр(0 + Фе(0 - непрерывная при t 6 R+ вектор-функция, причем Фp(t) - ее периодическая часть: Фр^ + T) = Фp(t) и Фe(t) ^ 0 экспоненциально при t ^ ц > 0 - малый параметр, Di (t) = Dip(t) + Die(t) (i = 1, 2, 3) -матрицы с элементами, аналогичными Ф©, F(x, у, z, t) - непрерывная по t 6 R+ функция, принадлежащая классу С1 по x, у, z из некоторой окрестности
B(x, у, z) = {x, у, z 6 Rn:||4lyll, llzll < §1}
Непрерывная (n x п)-матрица K(t) задана при t > 0 и удовлетворяет оценке
||K(t)||< , С'.рp' = const, С' > 0, P' > 0, 0 <p' < 1 (1.2)
В уравнении (1.1)
t
у = Jk(t - s)ф(x(s), s)ds (1.3)
0
и z - аналитический функционал в форме абсолютно сходящегося ряда Фреше
^ n t t
z (t) = X X J.JK'(k)(t - si--t - sk)x;-i(si)... xjk(sk)dsi.dsk (14)
k = 1 j (k) = 10 0 (1)
j(k) = j1,jk
где к(г - 5) - непрерывная (п х я)-матрица-функция, заданная на множестве
] 1 = {(г, 5)е Я2: 0 < 5 < г < + <~} а непрерывные вектор-функции К®(г - 51; ..., г - 5к) заданы на множестве
J'k = {(t, s»..., sk )е Rk + 1: 0 < Sj < t < + -, j = 1, ..., k}
Вектор-функция ф(х, t) (ф(0, t) = 0) класса С1 no x в некоторой окрестности B'(x) = = {x е Rn: ||x|| < 51j и непрерывна, ограничена по t при t е R+.
Будем считать, что интегральные ядра k(t - s), Kj(k)(t - s1, ..., t - sk) удовлетворяют следующим неравенствам:
||k(t - s)||< Сexp ( -e( t - s) } (1.5)
op0
'exp(- piti- ... - pktk)
(t - s )P0
\\kj(*)(ti,..., tk )||< с
(tl... tk )P
tj = t - Sj (1.6)
в которых C > 0, в > 0, в] > 0 (j = 1, ..., k), 0 < р0 < 1, 0 < р < 1 - постоянные, и существует число во такое, что 0 < во < в] Для всех допустимых j и к.
Относительно нелинейных вектор-функций ф(х, t) = со1(ф1, ..., фп), F(x, y, z, t) = = co1(F1, ..., Fn) в уравнении (1.1) и представлении (1.3) будем предполагать, что для них построены мажоранты Ляпунова [1]
ф*(и) = col(ф*, ..., ф*), F*(и, и, w) = со1(F*, ..., F*) удовлетворяющие для произвольного е такого, что 0 < е < 1, следующим неравенствам:
ф*(еи)<еф*(и), и е B'(и), i = 1, ..., n
i + 8 (1.7)
F* (еи, еи, ew )<е Fi( и, и, w), 5> 0, (и, и, w )е B (и, и, w)
Члены уравнения (1.1), содержащие параметр ц, будем рассматривать как возмущение; при этом, если в возмущении присутствуют нелинейные члены, будем считать их отнесенными к функции Д(х, у, г, г).
Отметим, что функционалы вида (1.4) Вольтерра [2] предложил использовать в механике деформируемых тел для описания реологических свойств материалов, выражая таким способом зависимость между напряжением и деформацией. Особенности типа (1.2), (1.5), (1.6) встречаются, в частности, в интегральных ядрах, характеризующих свойства таких материалов, как, например, полимеры [3, 4].
Определения. Будем говорить, что непрерывная функция х(г), определенная для г е Я+, является экспоненциально предельно периодической, если она представима в виде
х (г) = хр( г) + хе( г) (1.8)
где хр(г) - периодическая функция с периодом Т > 0, и функция хе(г) такова, что хе(г) ^ 0 при г ^ +«>, причем
||хе(г)||< С"ехр(-а'г), С" > 0, а' > 0 (1.9)
Класс таких функций обозначим через 1ре(Т, - а').
Будем также называть движение, описываемое функцией х(г), предельно периодическим, если х(г) е 1ре(Т, -а').
Класс функций xe(t), удовлетворяющих неравенству (1.9), будем обозначать через ex(-a').
Аналогичным образом, если непрерывная функция K(t1, ..., tk) (tj = t - Sj), заданная на множестве J'k, удовлетворяет неравенству (1.6) при 0 < в0 < Pj (j = 1, ..., k), будем относить ее к классу ek(-P0).
Таким образом, функции Ф©, D(t) в уравнении (1.1), входящие в постоянно действующее возмущение, являются функциями экспоненциально предельно периодическими и Ф©, D(t) е 1ре(Г, -Р'') ( i = 1, 2, 3) для некоторого Р'' > 0. При этом периодические части Фр^), Dip(t) функций Ф^), Di (t) - ограниченные функции для t е R+, так что
||Фр(t)|,||Dip(t)||< Cx, Cj = const > 0 (1.10)
Уточним теперь свойства векторов ф(х, t), F(x, y, z, t) как функций переменной t. Будем считать, что при всех фиксированных х е B'(x) либо (х, y, z) е B(x, y, z) справедливо включение ф(t) е 1ре(Г, -Р°) либо F(x, y, z, t) е 1ре(Г, -р0) (Р0 > 0) соответственно, т.е., согласно равенству (1.8), имеют место представления
ф(x, t) = фр(x, t) + фе(x, t), F(x, y, z, t) = Fp(x, y, z, t) + Fe(x, y, z, t) (1.11)
Исследуем структуру общего решения уравнения (1.1), (1.3), (1.4) в окрестности точки x = 0 в предположении, что отвечающее (1.1) невозмущенное линейное однородное уравнение с нижним пределом интегрирования s обладает фундаментальной матрицей X(t - s) (X(0) = En), подчиненной неравенству
||X(t - s)|| < Cexp(-a(t - s)), C, a = const > 0 (1.12)
т.е. нулевое решение линеаризованного однородного уравнения для уравнения (1.1) асимптотически устойчиво. Поставим вопрос о существовании предельно периодических решений уравнения (1.1), (1.3), (1.4) с начальным условием x0 = x(0) е B"(x0) е B'(x0). Отметим что при указанных выше предположениях (1.5)-(1.7), (1.12), уравнение (1.1)—(1.4) таково, что для него точка x = 0 устойчива при постоянно действующих возмущениях [5].
Теорема. Пусть для уравнения (1.1), (1.3), (1.4) выполнены оговоренные выше условия непрерывности или гладкости функций k(t), K(t), Kj(k)(t1, ..., tk), Ф©, Di (t) (i = 1, 2, 3), ф(г, t), F(x, y, z, t), причем входящие в малое возмущение функции удовлетворяют включению Ф^), Di(t) е 1ре(Г, -Р'') (Р" > 0), а также при каждых фиксированных (x, y, z) е B(x, y, z) справедливо свойство ф(г, t), F(x, y, z, t) е 1ре(Г, -p0) (p0 > 0). Пусть выполнены неравенства (1.2), (1.5), (1.6), (1.12). Пусть существуют мажоранты Ляпунова ф*(г), F*(x, y, z), удовлетворяющие соотношениям (1.7).
Тогда найдется 5 > 0 такое, что общее решение уравнения (1.1), (1.3), (1.4) x(t, x0, ц) е е 1ре(Г, -у) для некоторого у > 0 при ||x01| < 5, ц < 5, т.е. это решение представляется в виде
x(t, x0, ц) = xp(t, ц) + xe(t, x0, ц) (1.13)
где xp(t, ц) - периодическое решение уравнения dx „.. +
dt = Ax + JK(s)x(t - s)ds + Fp(x, y, z, t) + ц(Фp(t) + Dxp(t)x + D2p(t)y + D3p(t)z)
0
y (t) = Jk(s(x(t - s), t - s)ds (1.14)
z(t) = X X J...J^(s^ ..., sk)xji(t - )... (t - sk)dsx ... dSk k =1 j (k) = 10 0
и Fp(x, y, z, t), 9p(x(t), t) - периодические no t части функций F(x, y, z, t), 9(x(t), t) в их представлениях (1.11).
Доказательство. Будем строить общее решение уравнения (1.1), (1.3), (1.4) в окрестности нуля методом последовательных приближений, используя для этого интегральное уравнение t
x(t) = X(t)x0 + JX(t - s)(F(x(s), y(s), z(s), s) +
0
+ |(Ф( s) + D1( s) x (s) + D2( s) y (s) + D3( s) z (s)) ds (1.15)
которое эквивалентно уравнению (1.1) вместе с начальным условием x(0) = x0, и интегральные представления (1.3), (1.4).
Пусть x(k)(t), y®(t), z®(t) (k = 1, 2, ...) - последовательные приближения, получаемые на основании формул (1.15), (1.3), (1.4) подстановкой в правую часть соотношения (1.15) найденных на предыдущем шаге вычислений величин x(k - ^(t), y(k - ^(t), z(k - ^(t) и в правые части соотношений (1.3), (1.4) величины x®(t), при этом полагаем, что t
x(1)(t) = X(t)x0 + |JX(t - s)Ф(s)ds (1.16)
0
Обозначим интегральный член в равенстве (1.16) через X(1)(t) и преобразуем его, учитывая структуру Ф©, к виду
t
X(1)( t) = |J X (s )(Ф/1 - s) + Фе (t - s)) ds = ¥(1)( t) + x(1)( t)
0
где
(1.17)
¥(1)(г) = х(^)фр(г - ^)ds
0
~ г
х(1)( г) = - х (5 )ф р (г - 5) ds + х (5 )Фе (г - 5) ds
г0
Проанализируем свойства функций (1.17). Имеем
¥(1)(г + т) = х(5)Фр(г + т- 5)ds = х(5)Фр(г - 5)ds = V 1)(г) (1.18)
00 т.е. У(1)(г) - периодическая функция. Для вектор-функции Х(1)(г), учитывая, что Ф(г) б е 1ре(Т, -в'') и, следовательно, выполнены неравенства типа (1.9), (1.10), а также (1.12), получаем оценку
llx(1)( t )||<|C
C1Jexp(-as)ds + C"Jexp(-as)exp(-P''(t - s))ds
| C
C C''
a-exp(-at) + jej^-ja(exp(-at) - exp(-P"t))
(1.19)
n
При получении неравенства (1.19) ради единообразия оценивания полагалось a Ф в'', что всегда может быть достигнуто изменением одной из постоянных, например a, с сохранением неравенства вида (1.12). Положим 0 < у < min(a, в, в0, Р°, в''), тогда, согласно неравенству (1.19), %(1)(t) б ej(-y), и, поскольку X(t) б ^i(-a), получаем из соотношений (1.16), (1.18), (1.19)
x(1)(t)е lpe(T, -у) (1.20)
Следовательно, если x(1)(t) = col(x(11) (t), ..., x^*1 (t)), то можно считать, что |x-J)(t)| < uiJ)(x0, |) = const, i = 1,..., n
Рассмотрим вектор-функцию y(1)(t), которую, согласно соотношениям (1.3), (1.11), (1.20), запишем таким образом:
y( 1)(t) = Jk(t - sЖx(p\s) + x^s), s)ds = Y(p)(t) + Yei}(t)
где
Y^(t) = Jk(s)фр(x?\t - s), t - s)ds
0
Y !1)( t) = - J k (s )фр( x^( t - s), t - s) ds + (1.21)
t
t
Jk(s)[ф(xt - s) + At - s), t - s) - фр(x^(t - s), t - s)]ds
t
+
0
Функция Ур1*1 (г), заданная сходящимся интегралом для г е Я+, аналогична функции у(1)(г) (1.17) и является периодической с периодом Т. Покажем, что У^11 (г) е е1(- у') для некоторого У > 0. Действительно, непрерывная ограниченная при г ^ функция
[к(5)фр(х(1 \г - 5), г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.