МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.38
© 2008 г. Н.И. АМЕЛЬКИН
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСИЛОВОЙ СИСТЕМЫ С ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИЕЙ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
Исследованы предельные движения свободного твердого тела, несущего n двухстепенных силовых гироскопов с диссипацией в осях рамок. Показано, что при отсутствии динамической симметрии предельными движениями системы являются только стационарные вращения с постоянной угловой скоростью. В случае динамической симметрии возможны такие схемы установки гироскопов, при которых помимо стационарных вращений система имеет предельные движения, представляющие собой регулярные прецессии.
Рассматривается система, состоящая из несущего твердого тела и n двухстепенных силовых гироскопов. Предполагается, что роторы гироскопов вращаются с постоянной угловой скоростью относительно рамок, углы поворота рамок не ограничены, а система является гиростатом, т.е. ее тензор инерции не меняется при поворотах рамок. Предполагается также, что внешнее воздействие на систему либо отсутствует, либо представляет собой однородное силовое поле, а в осях рамок действуют только диссипатив-ные силы.
Обозначим через A, B, C главные центральные моменты инерции системы, sk - единичные векторы, задающие направления осей подвеса рамок в базисе главных центральных осей e1, e2, e3; Hk - кинетические моменты собственного вращения роторов; H - суммарный кинетический момент роторов. Кинетические моменты роторов по величине постоянны, а их текущее направление определяется углами поворота рамок xk. Предполагается, что оси роторов ортогональны осям рамок, так что для любого значе-
T
ния угла поворота рамки xk будет выполняться равенство sk Hk = 0.
Предельными движениями рассматриваемой системы являются равновесные движения, для которых рамки гироскопов неподвижны относительно несущего тела [1]. Частным случаем равновесных движений являются стационарные вращения системы с постоянной угловой скоростью w. Методы нахождения стационарных движений и исследования их устойчивости изложены в [1-2]. Нестационарные равновесные движения (движения с изменяющимся вектором w) исследовались в [2] для систем с одним и двумя гироскопами в предположении, что оси рамок гироскопов параллельны одной из главных осей инерции. В данной работе исследуются нестационарные равновесные движения систем, имеющих произвольное число гироскопов при произвольном расположении осей их рамок.
В [1-2] показано, что равновесные движения должны удовлетворять переопределенной системе дифференциальных уравнений, для совместности которой помимо двух общих интегралов движения:
T 2 2
w Jw = 2 V = const, (Jw + H) = K = const (1)
уравнения должны иметь еще n частных интегралов следующего вида:
T -1 T
Iksk J (w x(Jw + H)) = sk (w x Hk), k =1,..., n (2)
где J - тензор инерции системы, Ik - момент инерции k-го гироскопа относительно оси рамки sk. Частные интегралы (2) описывают условия равновесия гироскопов относительно несущего тела. Введем обозначения
skj = sk ■ ej > Hkj = Hk ■ e j> Hj = H • ej > j = 1 2 3 (3)
a = A (A - C), b = B (B - C), G1 = 2AHX, G2 = 2BH2, G3 = 2CH3 (4)
Обозначив через p, q, r проекции угловой скорости несущего тела на главные оси, получим для интегралов (1) и (2) следующие выражения:
Ap2 + Bq + Cr2 = 2 V (5)
A2p2 + G1 p + B2q2 + G2q + C2r2 + G3r = K - H (6)
- sk 1 bqr + sk2apr + sk3AB(B - A)pq/C + dk 1p + dk2q + dk3r = o (7)
где коэффициенты определяются формулами
dk 1 = AB((sk2Hkз - sk3Hk2)/Ik - sk2H3/B + sk3H2/C) (8)
dk2 = AB((sk3Hk 1- sk1 Hk3)IIk - sk3H1/C + sk 1H3/A) (9)
dk3 = AB((sk1 Hk2 - sk2Hk 1)IIk - sk1
H2IA + sk2 H1IB ) (10)
Для существования нестационарных равновесных движений поверхности, описываемые уравнениями (5)-(7), должны иметь общую кривую (не отдельные точки, а континуум) при некоторых значениях углов xk, которым соответствуют некоторые значения компонент Hk1, Hk2, Hk3 векторов Hk.
Покажем, что если система не обладает динамической симметрией, т.е. A Ф B Ф C, то она не имеет нестационарных предельных движений.
Рассмотрим сначала всевозможные конфигурации системы {x1, ..., xn}, для которых суммарный кинетический момент роторов отличен от нуля. Тогда без ограничения общности можно положить H3 Ф 0, а из уравнений (5) и (6) выразить переменную r через переменные p и q с помощью формулы
G3r = -(ap2 + bq2 + G1 p + G2q + D), D = 2VC + H2 - K2 (11)
После подстановки (11) в (5) и (7) получим следующие уравнения:
f = (ap2 + bq2 + G1 p + G2q + D) + g\(Ap2 + Bq2-2V)IC = 0 (12)
gk = (bsk1q - ask 2 p - dk3)(ap2 + bq2 + G1 p + g2 q + D) + (13)
+ G3(sk3AB(B - A)pqIC + dk 1 p + dk2q) = 0
Левые части уравнений (12) и (13) представляют собой многочлены от двух переменных p и q. При этом (12) является многочленом четвертой степени, а (13) - многочленами третьей степени. Поскольку в силу (11) переменная r однозначно определяется
через p и q, то для существования общей линии пересечения поверхностей (5)-(7) должна существовать кривая в переменных p и q, удовлетворяющая одновременно уравнениям (12) и (13).
Лемма. Пусть даны два уравнения f(p, q) = 0 и g(p, q) = 0, где функции f(p, q) и g(p, q) являются вещественными многочленами двух переменных p и q. Для существования общей кривой, удовлетворяющей одновременно обоим уравнениям, необходимо, чтобы существовал вещественный многочлен M(p, q), являющийся общим делителем многочленов f(p, q) и g(p, q), т.е. должны выполняться соотношения
f = f(p, q)M(p, q), g = g(p, q)M(p, q) (14)
где f (p, q) и g(p, q) - вещественные многочлены переменных p и q.
Доказательство леммы дано ниже. Отметим, что речь идет о необходимых условиях, поскольку общий делитель может не иметь вещественных корней.
Используя лемму, выясним сначала, могут ли многочлены (12) и (13) иметь общий делитель первой или третьей степени. В каждом из этих случаев многочлен (12) должен иметь делитель первой степени вида
f 1(p, q) = klp + k2q + k0
(15)
где хотя бы один из коэффициентов kx или k2 отличен от нуля.
Поскольку уравнение (12) получено из уравнений (5) и (6), то оно описывает проекцию линии пересечения эллипсоидов (5) и (6) на плоскость (p, q). Поэтому наличие линейного делителя у многочлена (12) означает, что существует линия пересечения этих эллипсоидов, принадлежащая плоскости kxp + k2q + k0 = 0. Полагая k Ф 0, можно записать уравнение плоскости в виде p = Pq + у Подстановки этого выражения в (5) и (6) дает два уравнения:
А (в q + у)2 + Bq2 + Cr2 = 2 V
(А(в q + у) + H1 )2 + (Bq + H2 )2 + (Cr + H3 )2 = K2
Полученные уравнения определяют два эллипса, которые в силу условия H3 Ф 0 ни при каких значениях в, у, H1, H2 не совпадают. Следовательно, многочлен (12) не имеет делителей первой степени, а поэтому многочлены (12) и (13) не могут иметь общих делителей первой и третьей степени.
Осталось выяснить, могут ли многочлены (12) и (13) иметь общий делитель второй степени. В этом случае многочлен (12) должен представляться в виде произведения f = M2(p, qf(p, q), где 22
M2(p, q) = k1 p + k2q + k3pq + k4p + k5q + k6
f2(p, q) = kip2 + ~k2q + k3pq + k4p + k5q + k6
Поскольку делители многочленов определяются с точностью до множителя, не зависящего от переменных p, q, то можно положить kx = a. Вычисляя произведение записанных многочленов и приравнивая члены четвертого порядка соответствующим членам в выражении (12), получим
k 1 = ki = a, k2 = k2 = b, k3 = k3 = 0 Эти соотношения позволяют записать многочлены M2 и f2 в виде
M2 = F + Y, f 2 = F + Z; F = ap2 + bq2 + G1 p + G2q + D (16)
где Y = y1p + y2q + y3 и Z = z1p + z2q + z3 - линейные многочлены.
Приравнивая произведение (Р + У)(Р +7) выражению (12), получим
(ар2 + Ьд2 + О1 р + О2д + Б)(У + 7) + У7 = о2(Ар2 + Бд2 - 2 У)/С (17)
Отсюда следует, что сумма У + 7 должна быть многочленом нулевой степени, т.е. должны выполняться равенства
¿1 = -У1> ¿2 = -?2 (18)
С учетом (18) уравнение (17) приобретает вид
(ар2 + Ьд + в1 р + в2 д + Б)(уз + ) -(р + у2 д)2 + (19)
2 2 2
+ (У1 р + У2д)(¿з- Уз) - вз(Ар + Бд -2У)/С + ^323 = 0
Уравнение (19), рассматриваемое как тождественное равенство, позволяет определить коэффициенты многочленов У и 7. Приравнивая в (19) к нулю коэффициенты при всех степенях переменных р, д, получим систему
у 1 у2 = 0, Б (уз + ¿з) + уз ¿з + о1,2У/С = 0
в1(уз + ¿з) + у1 (¿з-уз) = 0, а (уз + ¿з) - у2 = О^ А / С (20)
&2(уз + ¿з) + у2(¿з- уЗ) = 0, Ь(уз + ¿з) - у2 = О2Б/С
Так как О3 Ф 0, то система (20) может иметь вещественные решения только при О1 = 0, либо при О2 = 0. Для каждого из этих случаев коэффициенты многочлена У определяются из системы (20) формулами
^ п п 2 Б (Б - А)_2 (1 + О2/у2 ^2
01=0, у1=0, у2 = бЬт-с)О2, уз= 2С (А - ^ О2 (21)
^ п п 2 А (А - Б )_2 (1 + О1/у1 К2
О2 = 0, у2 = 0, у1 = щЫО2, уз= 2С ( Б - С) °з (22)
Нетрудно видеть, что вещественн^1м может быть только одно из решений (21) или (22). При этом вещественное решение существует только в том случае, когда вектор Н параллелен главной плоскости, образованной осями наибольшего и наименьшего моментов инерции.
Поскольку решение (21) можно привести к виду (22) соответствующей заменой обозначений главных осей и главных моментов инерции системы, то в дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда вещественные коэффициенты определяются решением (22). В этом случае из (20) получим
¿з = (1- О1/у1 )О2з/1С(Б - С) (23)
Из (16), (18), (22) и (23) следует, что если многочлен (12) имеет делитель второй степени, то этот делитель имеет вид
22
М2 = ар + Ьд + (О1 + у1) р + Б + уз (24)
где коэффициенты и у3 определяются формулами (22). Выясним, может ли этот многочлен являться делителем многочленов (13). Записывая (13) в виде произведения
8к = ( ик 1 р + ик 2д + икз ) М2 (25)
и приравнивая члены третьей и второй степени, получим уравнения
uk 1 = -ask 2' uk2 = bsk 1 (26)
uk3 = - dk3' uk3— sk2yi = -dk3' bskiyi = G3sk3AB(B - А)/С (27)
Поскольку в силу (22) y1 ф 0, то из первых двух уравнений (27) следует sk2 = 0. В результате для коэффициентов, входящих в (25), будем иметь
uk 1 = 0' uk 2 = bsk 1' uk 3 = -dk 3 (28)
Кроме того, выражая из третьег
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.