ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2013
НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 539.374
© 2013 г. Петушков В.А.
О ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЯХ В ПОВРЕЖДАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕДАХ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ
Представлена обобщенная модель нелинейного взаимосвязанного деформирования и разрушения повреждаемых поликристаллических сред при высокоскоростных ударных воздействиях. Учитываются геометрическая нелинейность, обусловленная конечными деформациями и нелинейное, зависящее от скорости деформирования, поведение материалов с анизотропным упрочнением и эффектом Баушингера. Выполнено обоснование предлагаемой модели и изучены нелинейные волновые процессы в оболочке сложной формы при ударном столкновении с препятствием.
Деформирование и разрушение поликристаллических сред (конструкций) под нагрузкой взаимосвязаны и протекают одновременно на различных уровнях структуры материала с сильно различающимися временными и пространственными масштабами [1]. Переход в предельные состояния и потеря несущей способности сопровождается при этом нелинейным деформированием и деградацией свойств материалов, большими деформациями, связанными с потерей устойчивости самих конструкций и процессов их деформирования, образованием и распространением трещин. Особенно это характерно для тонкостенных конструкций — оболочек, где одновременно имеют место физическая и геометрическая нелинейности.
Первые признаки разрушения с размерами, наблюдаемыми оптической микроскопией, проявляются уже на мезо уровне в виде микроповреждений типа скопления дислокаций и образования микротрещин и пор на границе и внутри зерен (поликристаллов) рис. 1, а. При квазистатических и особенно ударных воздействиях происходит разупрочнение материала вследствие повышения температуры, роста и накопления микроповреждений и, как следует из экспериментальных наблюдений, среда разрушается в узкой зоне или зонах локализации полей вязкопластического деформирования и повреждений [2]. Образуются так называемые полосы сдвига вследствие потери устойчивости процесса деформирования, его бифуркации, рис. 1, б. При этом ширина и направление зон локализации или полос сдвига в конструкции зависят от параметров материала, геометрии, граничных условий, распределения нагрузки и скорости нагружения.
Поликристаллическая среда в представительном элементарном объеме теряет статистическую однородность, возникает сильный эффект масштаба, когда все макроскопические характеристики материала и искомые полевые функции оказываются
Рис. 1
чувствительными к распределению, размерам и ориентации микро- , мезо- и макро-структурных дефектов [3]. Из-за взаимодействия характеристик различных масштабных уровней поведение нелинейно деформируемой среды с позиций классической механики становится нелокальным. В этом случае обычные теории пластичности не применимы, поскольку не включают в себя параметры структуры. Более того, из-за возможных режимов локальной потери устойчивости течения деформируемой среды сама постановка соответствующих начальных краевых задач оказывается не корректной [4]. Ситуация упрощается в случае использования теорий течения вязкопластиче-ских сред. Входящие в них параметры вязкости среды неявно учитывают структуру материала и могут служить регуляризующим параметром решения некорректной задачи [5, 6]. При этом удается описать основные особенности изучаемых процессов.
Принимая за основу такой подход, в настоящей статье представлена обобщенная модель высокоскоростного вязкопластического деформирования и разрушения повреждаемых сред. Она является развитием известного микроструктурного подхода Афанасьева — Бессилинга к описанию квазистатических процессов малоциклового деформирования и включает в себя учет конечных деформаций, вязкости и сжимаемости деформируемой среды с повреждениями, эффекта Баушингера и гистерезисных потерь при высокоскоростных ударных воздействиях. В описание модели включены так же процессы зарождения и роста микроповреждений, а в качестве регулятора корректности рассматриваемых в связи с этим краевых задач используется вязкость среды. Основное внимание уделено кинетике повреждаемости, образованию и локализации зон неустойчивого деформирования с повреждениями при ударных воздействиях. Выполнено численное моделирование известных физических экспериментов по высокоскоростному деформированию образцов и конструкций. Изучены предельные состояния, возникающие в пространственной оболочке — гибе трубопровода АЭС при высокоскоростном соударении с преградой.
Зарождение и рост микроповреждений. Микроповреждения в рассматриваемой среде без относительно их формы, размеров и ориентаций будем полагать однородно и изотропно с макроскопической статистической точки зрения распределенными по ее объему. В качестве меры повреждаемости примем по аналогии с [7] относительный объем микроповреждений ^ = vd/v, где V — элементарный объем материала, vd — часть его заполненная микроповреждениями. При этом учитываются как исходные (технологические) микродефекты в среде, так и возникающие в процессе ее деформирования. Такой подход к гомогенизации (осреднению) структуры в рамках представительного объема V, несмотря на большое упрощение, достаточно хорошо учитывает во времени деградацию свойств и конечную стадию разрушения среды [8].
Уровни накапливаемых во времени повреждений определяются скоростью повреждаемости |, которая складывается из скоростей зарождения микроповреждений и их развития. Для поликристаллических металлов, вязких по своей природе или из-за существенного повышения температуры в процессе распространения ударных волн, образование микродефектов совпадает главным образом с образованием микро не-сплошностей (микропор). Полагая, что зарождение микропор носит случайный ха-
рактер, накопленные за время А' повреждения в сжимаемой деформируемой среде можно определить [8]
г + А г) = 8 к^я] Аг + г) ехр (ЗА г(Р - Р8) /4 X),
У|р > рп = У0ехр ((Р - Рп )/Р1), У|Р < Рп = О
(1)
Рис. 2
где Р — давление в среде; Рп, — пороговые давления зарождения и роста микропор, соответственно; Яп — параметр распределения размеров вновь образованных микропор; X —
вязкость материала; Рь N — параметры деформируемой среды; N — скоростная функция числа зарождающихся микропор. Начальный уровень поврежденности большинства конструкционных металлов обычно не превышает 3—4%.
Поведение деформируемых сред в этом случае зависит от характерного масштаба длины структуры I, как это условно показано на рис. 2. Например, взаимодействие дислокаций, наблюдаемое на мезо уровне с характерным размером 0,1—10 мкм, сильно влияет на поведение среды на макро уровне с характерным размером, превышающим 100 мкм или другой пример — известный эффект Холла—Петча, когда с уменьшением размера зерна повышаются твердость и напряжения течения поликристаллической среды [1].
Для вязкопластического деформирования структура среды и ее характерный размер I
уже неявно учитываются через ее вязкость X, причем I = XС%р . Здесь С = (ц/р)1/2 — скорость распространения упругих волн в среде; ц, р — модуль сдвига и плотность среды соответственно; т^ — время релаксации механических возмущений, непосредственно связанное с вязкостью среды. Параметр X зависит от микроскопических свойств поликристаллической среды [5]. Величина I для многих металлов находится в пределах 0,25—6 цм.
Постановка задачи. Математическая модель среды. Пусть нелинейно деформируемая поликристаллическая среда (конструкция, элемент конструкции) объема V занимает в начальный момент времени 'г область О с Я3, ограниченную поверхностью Соответствующую этому времени исходную конфигурацию области обозначим к0(О) и отнесем к декартовой системе координат X'.
С каждой точкой деформируемой среды свяжем конвективную криволинейную систему координат пк таким образом, что X' = Х'(пк), и введем риманову метрику а^(пк, ') = ар, где а1 — векторы, касательные к координатной кривой пк. В отношении индексов и операций над ними будем использовать соглашения, общепринятые в тензорном исчислении.
Движение (деформирование) среды относительно к0(О) в любой произвольный момент времени ' > 'г определяется следующим С1 погружением:
х = ф(Х', г), X е к°(О), к° : Я, гс Б, = ( ^ т),
где X = Х'(пк, ') — пространственные координаты рассматриваемой точки в деформированной среде.
5ф,
Следовательно, для любой актуальной конфигурации к', t > tr, а{ = а (пк, ') = а ¡а, и меру деформации — градиент ¥ можно представить в виде
дц1
■XX г),
2 ПМ и НМ, № 6
33
F = ^ (X, t) = a ¡a, FT = a a ¡ Ф F
er ' ' ¡ ' 1
Тензор объективных конечных деформаций Грина и их скоростей определим как '= (- ау)а'а
Еу = (2)
1 и U¡
где D — тензор скорости растяжения с компонентами D j = - (L¡j + Lj¡); L¡j = —^
1 (£„ + £„); Ьи = =
= I\kFkj — градиент скорости деформаций, ц = Х1 (Хк, ?). Аналогично для пространственной системы координат имеем е, = . Поле деформаций среды задается
вектором смещений и' = и'(Хк, ?), и' = X — X следовательно, тензор конечных деформаций (2) можно записать в виде
2Еу = (у^+уи+УиУи),
у и = - Гр и Гр = 1/2 Л ^ + ^ _ (3)
Уи дХ Гуи, Гу 1/2а {¡х' + ох! дху •
Локальные напряжения, возникающие при деформировании среды, определяются вторым симметричным тензором Пиола—Кирхгоффа
Ту = ж- ЪкРл = Fklтk^F71, (4)
где якобиан / = ёе^/); а у — истинные напряжения Коши; ти = /а и — тензор напряжений Кирхгофа.
Материальные производные по времени от истинных напряжений не являются объективными или инвариантными относительно смещения среды как жесткого целого, поэтому под скоростями напряжений обычно понимается скорость Яумана— Нолла [9]
Т]к = Tjk-TjrWrk-TkrWrj,
где TJk — полная производная напряжений (4) по времени, Wj = - (L¡j — L¡) — компо-
1 2
ненты тензора вихря скорости.
Уравнения, описывающие вязкопластическое деформирование среды, являются следствиями законов сохранения массы, количества движения и баланса энтропии и могут быть представлены в виде
р(х, t)J = p0(X), (5) (TklFi,)k + Pob = Po¿j, (6)
Pocé = кTjkÉjk + Poh — qUi, (7) PoTi + (g) -Pog ^ 0, (8)
где é — температу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.