ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2010
УДК 534.1
© 2010 г. Крупенин В.Л.
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВИБРОУДАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ "ИМПУЛЬС-ФАЗА"1
Дан обзор результатов исследования периодических виброударных систем различной природы и структуры посредством методов частотно-временного анализа. Показано, что определяющими факторами, описывающими виброударные процессы, оказываются параметры, так или иначе связанные с импульсами ударов и их моментами, отсчитываемыми от некоторого начала измерения времени (фазы удара). Указанные параметры могут иметь достаточно сложный вид, определяемый физическими и геометрическими параметрами, а также внутренним строением систем.
1. Представления виброударных процессов через параметры "импульс—фаза" и их расширения диктуются физикой виброударных систем: параметры эти весьма естественны для колебательных процессов, сопровождаемых ударами. Эти параметры оказываются столь же естественны при проведении расчетов виброударных систем методами частотно-временного анализа [1—5], базирующегося на переходе к интегральным уравнениям периодических колебаний и записи искомых режимов через периодические функции Грина (ПФГ) соответствующих линейных ("безударных") задач. Эти методы были предложены в работе [6].
2. Рассмотрим систему, состоящую из двух стационарных склерономных линейных упруговязких систем с полной диссипацией, обозначаемых далее А и Ад (рис. 1), где системы выделены овалом и вначале предполагается, что другие подсистемы, показанные на рис. 1, "заморожены". Каждой из систем отвечает поле перемещений иг(хг, ?) е Я3, причем векторы хг е Хг с Я3 — суть векторные координаты точек систем Аг, ? е Я, г = 0 или N (сейчас, в "замороженном" виде, индекс г может пробегать только два значения).
Динамика всех членов составной (размороженной) системы А = {А0, А:, Ад} определяется системами матричных операторов динамической податливости [1, 4] Ь(г)(уг, хг; р), где р — оператор дифференцирования. Операторы имеют размерность [3 х 3] и ставятся в соответствие силовым, вообще говоря, нелинейным и нестационарным полям Гг(хг, ^ р; иг) [хг е Хг] поля перемещений [1, 2, 4]
и.(Хг, 0 = Ь (у„ Хг; р)Цу„ Г; р; иг). (1)
Пусть при хг = хг0 в каждой из систем Аг сосредоточено по одному включению, содержащему точечные тела с массами тг0.
Вернемся к "замороженному" случаю и введем относительную координату
и.(0 = ио(х0г, 0 - и^(х№, I). (2)
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Проекты 09-08-00941-а и 10-08-00500).
Обозначим Ф[иг(0, йr (t)] силу удара, полагая, что удары происходят вдоль какой-либо оси. Удары предполагаются прямыми и центральными, отвечающими гипотезе Ньютона. Кроме того, сейчас не предполагается изменение индекса r. Таким образом, если удар происходит при t = ta, то в соответствии с [1, 2] можно записать
Ф[иг(t), иг(01\t = ,в = JarS(t- tar), иг(tar) = Д„ Jar = (1 + Rr)mrür(tar - 0) > 0,
где Ar > 0 — величины установочных зазоров или (при Ar < 0) натягов; Jar — ударный импульс во время а-го удара, произошедшего в момент времени tar; Rr и mr = m0rmNr х х (m0r + mNr) — коэффициент восстановления и приведенная масса; 8(t) — 8-функция Дирака.
Пусть в формуле (1) fr(yr, t; p; ur) = Ur0(t) + Фг[иг(0, йг (t)], где Ur0(t) — T-периодиче-ская внешняя сила.
Формализм методов частотно-временного анализа [1, 2, 4] для T-периодических виброударных процессов с одним ударом за период движения приводит к так называемому двухпараметрическому представлению для искомой относительной координаты
йг(t) = йг0(t) - JrXr(t - Фг), (3)
где ur0(t) — решение задачи в пренебрежении ударами (решение линейной задачи); Jr и фг — искомые параметры — импульс и фаза удара. ПФГ %r(t) — реакция линейной системы на силовое воздействие, описываемое T-периодической последовательностью 8-функций Дирака 8T(t) [1, 2].
Существуют два популярных равносильных представления обобщенной периодической функции 8T(t). Первое отвечает бесконечному повторению "одиночных" 8-функций, второе — обобщенному ряду Фурье
да да
5Г(t) = ^ 5(t- nT) = T- ^ exp(iqwt).
n = -да q = -да
Причем равенства понимаются в обобщенном смысле [1, 2]. В то же время ПФГ, отвечающие оператору динамической податливости L(r)(yr, Xr, p), определяются так [1, 2]
да
Xr(t) = T-1 ^ L(r)[y„ xr; (iqwt)1 exp(iqwt). (4)
q = -да
2* 35
В случае матричного оператора динамической податливости определение (4) вводится покомпонентно [1, 2].
Отметим, что в теории виброударных систем весьма распространены системы с поочередными соударениями о каждый из двух симметрично установленных ограничителей. В этом случае анализ часто осуществляется с помощью симметричных ПФГ
да
X*(О = Т- £ ь(г){у„ х,; [I(2д + 1 )ю1]} ехр(¡да1).
q = -да
Далее эти задачи специально рассматриваться почти не будут, так как весь формализм методов частотно-временного анализа сохраняется [1, 2, 4]. Точно так же методы частотно-временного анализа успешно применяются и при анализе комбинационных режимов периода Т = птг1Т.
Возвращаясь к двухпараметрическому представлению (3), заметим, что для искомой относительной координаты и параметров движения должны действовать условия
ЫГ(?)<К, 1 е [0, Т], J = 2шг( 1 + К)\иг(фг - 0)1 > 0, иг(ф) = А,. (5)
Третье и четвертое соотношения в (5) дают два уравнения для определения импульса и фазы удара. Изложенное и представляет собой реализацию методов частотно-временного анализа для систем с одной ударной парой. Подчеркнем, что приведенные соотношения нетривиальны, так как нетривиальной может оказаться структура взаимодействующих систем. В ряде случаев проведение расчетов другими методами проблематично.
Первое условие (5), вообще говоря, проверяется только численно. Однако для случаев нелинейного резонанса они, как правило, выполняются [1, 2]. Решения (3), (5) необходимо анализировать на устойчивость. При выполнении инженерных расчетов удобно пользоваться так называемым энергетическим условием неустойчивости, позволяющим выделить заведомо неустойчивые режимы [1—5].
3. В приложениях наибольший интерес представляют режимы с одним ударом за период движения. Однако в некоторых случаях за время периода движения происходит несколько соударений. Явление, заключающееся в появлении повторных (обычно затухающих соударений), называется дребезгом [1, 2]. В этом случае вместо определяющего представления (3) имеет место 2v-параметрическое представление режима с дребезгом
V
й(0 = йг0(0 - £1 - Ф^ , (6)
где вид условии удара не изменяется, а увеличивается лишь число соотношении типа (5).
4. "Разморозим" систему, приведенную на рис. 1, т.е. рассмотрим полную систему, содержащую 2n ударных пар, образованных семеИством A = (Aq, A1, ..., An). Таким образом, в определяющих соотношениях предыдущих пунктов индекс r = 1, 2, ..., n. УсловиИ удара (5), выписываемых для относительных координат ur(t), становится 2n — 2. Подлежат индексации параметры системы mr, Rr, Дг.
Учитывая сказанное и переходя в (4) к скалярным величинам, внося (5) в (4) следующее представление для семеИства ГГ-периодических виброударных процессов при r = 1, ..., N, получаем
ur(t) = fro (t) - JrXor(t - tr)- £ Jkx(xon xo; t- tk), (7)
где суммирование проводится при к Ф г. ПФГ %0г определяется локальными операторами динамической податливости, приведенными к точкам ударного взаимодействия; %(х0г, х0; ?) определяются проходными операторами взаимодействующих систем, приведенных к точкам взаимодействия [1, 2, 4].
Представление (7) описывает важнейший в приложениях случай одного удара, приходящегося на один период внешнего воздействия [1, 2]. Сохраняя единообразное наименование с другими аналогичными представлениями, полученными методами частотно-временного анализа, будем называть его 2п-параметрическим [3, 4, 9]. Искомые п относительных перемещений и() (г = 1, ..., п) определяются при посредстве 2п параметров движения, т.е. п импульсов 1Г и п фазами ударов в каждой из п ударных пар.
Воспользуемся вторым и третьим условием удара (5). Серия "третьих" условий (5) даст п линейных алгебраических уравнений, связывающих неизвестные величины ]г и
д =
иго(О - /ДоДО) - X/кХ(х0„ Х0; К - У , Г =1, ..., л. (8)
Серия "вторых" условий (5) даст п нелинейных алгебраических уравнений, связывающих те же величины
/[(1 + Яг)тг]_1 = и(о - /ДоЛ:(- (г - 0) - X/кХ(хоп Хо; (- Хк - 0). (9)
В формулах (8) и (9) суммирование при к Ф г не ведется. Решения системы (7), (8) —
пары (/°, ) числом кратным п, могут определить п представлений (6), определяющих изменение каждой из п относительных координат и() при условии, что за один период возбуждающего воздействия в каждой из ударных пар происходит ровно одно соударение. Пользуясь общими схемами методов частотно-временного анализа [1, 2], аналогичные соотношения можно получить в случае симметричных ударных пар или более сложных комбинированных случаев присутствия в системе ударных пар обеих типов. Аналогичные соотношения можно получить и для случаев, когда в системе — дребезг (см. п. 3).
5. Теория виброударных систем [1—3], изучающая динамические эффекты, как правило, в качестве базовых механических моделей рассматривает несимметричные системы с одним ограничителем либо с двусторонними симметричными ограничителями. Однако в точности симметричных систем не существует, так как гарантировано выставить, например ударник на одинаковые расстояния между двумя ограничителями хода, практически невозможно.
Рассмотрим линейную склерономную стационарную механическую систему с произвольным числом степеней свободы (рис. 2). Ограничимся несущественным предположением, что каждая точка рассматриваемой системы совершает одномерные движения вдоль некоторой оси. Будем предполагать, что данная система оснащена конечным числом (п) двусторонних несимметричных ударных пар, каждая из которых реализует прямой центральный удар точечного ударника с двумя ограничителями хода. Предполагая удар мгновенным, прямым и центральным, моделируемым при помощи гипотезы Ньютона, можем записать очевидные геометрические ограничения
А (2) ^ ^ А (1) . л (2,1)
вида Дк < ик < Дк и при выход
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.