МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2015
УДК 531.383
© 2015 г. В. Ф. ЖУРАВЛЁВ
О ПРЕЦЕССИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
КРУГОВОГО КОЛЬЦА ВСЛЕДСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ
Маятник Фуко, обладающий свойством сохранять в инерциальном пространстве плоскость своих колебаний, теряет это свойство, как только траектория перестает быть плоской. Если конец маятника описывает вместо отрезка прямой эллиптическую траекторию, то этот эллипс прецесси-рует в том же направлении, в котором материальная точка описывает сам эллипс. При этом угловая скорость прецессии эллипса пропорциональна его площади и объясняется нелинейностью уравнения колебаний математического маятника [1].
В упругом нерастяжимом кольце, являющемся одним из представителей семейства "обобщенный маятник Фуко" [1], имеет место аналогичное явление: если в неподвижном кольце возбудить стоячую волну, то она будет неподвижной относительно кольца только в случае нулевой квадратуры, если же квадратура не равна нулю, то стоячая волна прецессирует относительно кольца со скоростью, пропорциональной величине квадратуры.
Как и в случае классического маятника, это явление объясняется нелинейностью кольца, как колебательной системы.
В настоящей заметке получена явная формула для вычисления угловой скорости подобной прецессии.
Ключевые слова: обобщенный маятник Фуко, упругое нерастяжимое кольцо, прецессия формы колебаний.
Выведем уравнения колебаний тонкого нерастяжимого кольца без предположения малости амплитуд колебаний, следуя изложению работ [2, 3]. Рассмотрим в плоскости ху кольцо в произвольном деформированном состоянии (фиг. 1).
Будем использовать следующие переменные и обозначения. Независимая переменная 5 определяет положение на кольце рассматриваемой точки и представляет собой длину дуги между некоторой начальной точкой кольца и рассматриваемой точкой. Полярные координаты этой точки, определяющие её положение в плоскости ху и принимаемые за обобщенные лагранжевы координаты, обозначаются через г и 0. Угол Ф — вспомогательный угол, который потребуется в дальнейшем при вычислении потенциальной энергии деформированного состояния кольца.
Уравнения движения удобно составить в форме уравнений Лагранжа, для чего требуется выписать плотность потенциальной энергии, плотность кинетической энергии и уравнение связи. Выведем сначала уравнение связи. Для этого вычислим длину дуги кривой, изображающей среднюю линию кольца между точками 5 и 5 + А 5, где А 5 — малое приращение. Из образованного приращениями Дф, Дг и А 5 треугольника на фиг. 2 находим
Фиг. 1
Фиг. 2
(А^)2 = (А г)2 + (г Ав)2 =
Отсюда уравнение связи получается в виде
(г ')2 + (г 0 ')2 = 1 (1)
Дифференцирование по независимой переменной, определяющей положение точки на кольце, будем обозначать штрихом.
Плотность кинетической энергии кольца имеет вид
Т = (1/2) р 5ГГ2 + г2 02] (2)
Через £ обозначена площадь поперечного сечения кольца. Угол Ф (фиг. 1) определяет положение нормали к осевой линии кольца в рассматриваемой точке. Производная от этого угла вдоль деформированного кольца, обозначаемая через Ф', характеризует кривизну деформированного кольца в этой точке. Напряжения изгиба в кольце воз-
никают при изменении его кривизны, определяемой формулой Ф'- Ф0, где Ф0 обозначает производную от Ф в рассматриваемой точке для недеформированного кольца. Плотность потенциальной энергии поэтому может быть записана в виде
П = (1/2)Е1(Ф' -Ф0)2 (3)
Следовательно, плотность функции Лагранжа выражается как
Х(0,г,г,Ф') = (1/2)5р[(г2 + г202) -Е1 (Ф'-Ф0)2] (4)
Переменная Ф не является обобщенной координатой и должна быть выражена через г и 0. Угол между направлением радиуса-вектора в данной точке кривой и нормалью к кривой в этой точке (на фиг. 1 угол а) определяется как
1 йг
tga =--
гй0
Следовательно,
Ф = 9 - аг^ (-^ (5)
Переписывая связь (1) в форме
/(9',г,г') = [(г')2 + (г9')2 - 1] = 0 (6)
воспользуемся вариационным принципом Гамильтона для составления уравнений движения кольца. Минимизируемый функционал есть действие по Гамильтону:
¡2 ¡2
Н = Ц[Х(9, г, г, Ф')-Щ9', г, г ')]ййя (7)
¡1 ¡1
где X — неопределенный множитель Лагранжа (функция я и t). Вариация функционала имеет вид
'2гдХ5б + дъЪг + дъ5. + дх 5ф'_
.59 дг дг дФ' /оч
(8)
5н = |
¡1
( 59' + д/ 5г + щ 5г •) \д9' дг дг !.
Интегрируя по частям, сводим вариации 89,8г,8Ф ',89', 8г' к вариациям 89,8г, 8Ф:
¡2
бН = _ ...
А I д/\\ А ЯТ '
(- т+й ))+(дх - й дх -
й 59 йЛ 59'И \дг й дг (9)
-ад/ + й (Щ )-й М. §Ф
дг йЛ дг 'П йя 5Ф'
Вариацию 5Ф, которая не является независимой от 50 и 5 г, получаем из соотношения (5):
5Ф = 50--
(г 0 ')2
(г0 ')2 + г
15 &)
Учитывая уравнение связи (1), имеем
§ф = 59- г9'5 г' + г'9'5г + гг'59' (10)
Подставляя это соотношение в (9) и снова интегрируя по частям, для исключения 5г' и 89', находим
SH = ) ) (Г- d дЛ+d (xf )d ^
JJ(L dt 59 ds\ 597ds5Ф'
si ti
+ -
d (rr d dL )lS9 + rdL - d dL
ds\ ds 5Ф7 _
+
dr dt dr dr
8r} dtds
+ d Uf)-d (r 9' d dL)-r ■ 9' d dL ds\ dr'! ds\ ds5Ф7 ds5Ф'J
Отсюда следуют уравнения Лагранжа динамики тонкого нерастяжимого кольца без каких-либо ограничений на величину деформаций:
d dL _ d Uf) + d JL _ d (rr • d IL) = 0
dt 59 ds( 59') ds 5Ф' ds \ ds 5Ф7 (11)
d dL _dL + ^5_ d (f)+ d (• d M.) + r • 9' d dL = 0
dt дг дг дг йЛ дг 7 йЛ ds дФ 7 ds дФ'
Эти уравнения совместно с уравнениями связи (6) позволяют найти г, 9, X как функции t и ^.
Переменные г и 0 будут характеризовать положение в системе ху точки кольца, отстоящей от некоторой помеченной его точки на расстоянии л, измеряемом вдоль изогнутой средней линии, в произвольный момент времени t. Коэффициент X есть значение реакции связи (натяжение в кольце в точке с координатой л в момент времени t). Подставляя в уравнения (11) выражения (4) и (6), получаем
Spй[г29 - Е1(Ф - Ф0)" + Е1[гг'(Ф - Фо)"]' - (Аг29')' = 0
dt (12)
Брг - 5рг92 - Е1[г9'(Ф - Фо)"]' - Е/г'9'(Ф - Ф0)'' + Аг9'2 - (Аг')' = 0
Уравнения (12) представляют собой уравнения колебаний кольца с большими перемещениями, исходная недеформированная форма которого не обязательно имеет форму окружности.
В дальнейшем рассматривается круговое кольцо радиуса Я и для решения нелинейной системы (12) используется метод двух масштабов [4]. Все подробности процедуры решения можно найти в [2]. В частности, в главе 12 (с. 64) волна изгибных колебаний в тонком, нерастяжимом и не вращающемся кольце представлена в форме суммы двух бегущих в противоположных направлениях волн:
= а ео8(2ф + ю0т) + Ь со8(2ф-ю0т) (13)
Здесь ф — угол, определяющий место на кольце, в котором наблюдается его отклонение от окружности, ю0 — частота собственных колебаний неподвижного кольца, соответствующая эллиптической форме:
к(к2 -1) 100 = ЖТ
Безразмерное время т определено так
, Е1 ,
Т =-7 t
JpSR4
где Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения, р — массовая плотность кольца, 5 — его поперечное сечение, а Я — радиус, t — размерное время.
Волна с амплитудой а перемещается по часовой стрелке, волна с амплитудой Ь — против часовой стрелки. Если а = Ь результирующая волна является стоячей. В "электрическом" пространстве (х,у), где значения
х = А 1р=о = (а + Ь)со8«от, у = Аф=п/4 = (Ь -а^т«от (14)
представляют собой напряжения, снимаемые с электродов, находящихся в указанных положениях, выражения (14) являются уравнениями эллипса в параметрической форме, в которых в качестве параметра выступает безразмерное время т. Полуоси этого эллипса таковы:
г = Ь + а и к = Ь - а (15)
В [2] получено уточнение выражения для волны (13), учитывающее нелинейные свойства нерастяжимого кольца:
а = аео8
2 2 Т
2ф + ю0т - (а1а + а2Ь ) —
ао.
+ Ь ео8
2 ф - ю от + (а2 а2 + а3 Ь3) —
ао
Это уточнение потребовало построения трех приближений метода двух масштабов, поскольку, как известно, в нелинейных системах эффект изменения частоты (а именно установление этого эффекта и понадобится) обычно улавливается лишь в третьем приближении.
Скорость прецессии эллипса определяется суммой стоящих перед временем т коэффициентов
12 2 12 2
ЮрГ = ю0--(а1а +а2Ь ) -ю0 + — (а2а + а3Ь ) =
ао ао (16)
= —[(а2 -а1)а2 + (аз - а2)Ь2] ао
Выразим из (15) а и Ь через г и к, и подставим в (16): 1 2
Юрг =-— [(г + к) (аз -аО + 4гк(а2 -а1)] (17)
4а о
Если к = 0, что соответствует стоячей волне и прямолинейным колебаниям в электрической плоскости (квадратура равна нулю), то
12
Юрг =-— (аз -а1)г (18)
4а о
Этот результат уже был получен в [2]. Он означает появление ухода по чисто нелинейным причинам, что сводится к зависимости масштабного коэффициента Брайана не только от амплитуды колебаний г, но и от угловой скорости вращения кольца ю.
Если г + к = 0, что означает случай чисто бегущей волны (в электрической плоскости окружность), то
ЮрГ = — (а1 -а 2)гк (19)
а 0
и этот результат говорит о чисто геометрическом факте влияния квадратуры на дополнительную прецессию стоячих волн в кольце.
Коэффициенты а1, а2, а3 вычислены в [2, 3] в зависимости от параметров кольца, его угловой скорости и номера рассматриваемой формы колебаний.
После вычисления коэффициента (а1 - а 2)/а 0 по формулам, приведенным в [2, 3] для случая неподвижного кольца (ю = 0), в размерных переменных получим
ю„Г = 10.694ц ^к (20)
Я2
где ц есть размерная частота собственных колебаний кольца:
ЮО _Е1_ (21)
2n\pSR
Пример. Пусть частота собственных колебаний кольца равна 500 Гц. Амплитуда колебаний кольца равна r = 0.001 мм. Квадратура равна k = 0.0001 мм. Радиус кольца равен R = 30 мм, подставляя в (21), найдем уход, равный юрг = 0.77 °/час.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Журавлёв В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 27-35.
2. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 125 с.
3. Glynn C.C. On the resonant nonlinear traveling waves in a thin rotating ring // Intern. J. Non-Linear Mech. 1982. V. 17. № 5/6. P. 327-349.
4. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.
Москва Поступила в редакцию
E-mail: zhurav@ipmnet.ru 27.0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.