ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, № 7, с. 1280-1294
УДК 519.634
О ПРИМЕНЕНИИ КОМПАКТНЫХ И МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ, ВОЗБУЖДАЕМЫХ ВОЛНАМИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СВЕРХЗВУКОВЫХ СТРУЯХ1)
© 2009 г. А. Д. Савельев, А. И. Толстых, Д. А. Широбоков
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: tol@ccas.ru Поступила в редакцию 22.01.2009 г.
Представлены результаты численного моделирования акустических полей, возбуждаемых волнами неустойчивости в сверхзвуковых струях. Приведена мультиоператорная схема седьмого порядка, использовавшаяся при решении уравнений Эйлера, линеаризованных относительно среднего поля течения в осесимметричной турбулентной струе. Расчет среднего поля был осуществлен с применением компактных аппроксимаций пятого порядка конвективных членов для условий, близких к экспериментальным. Было выявлено хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных. Библ. 13. Фиг. 11. Табл. 1.
Ключевые слова: компактные и мультиоператорные схемы, численное моделирование акустических полей, волны неустойчивости сверхзвуковых струй.
1. ВВЕДЕНИЕ
Одним из направлений исследований источников шума, возбуждаемого струями, истекающими из сопел реактивных двигателей является анализ так называемых волн неустойчивости. Это понятие введено в [1] для случая сверхзвуковых струй. Излучение звука в процессе развития неустойчивости, согласно [1], происходит следующим образом.
В начальном участке струи сдвиговые слои на ее границе характеризуются большими поперечными градиентами скорости, являющейся причиной неустойчивости и, соответственно, роста амплитуд гармоник. Это приводит к тому, что, например, монохроматическая волна от какого-то внешнего источника на срезе сопла увеличивает свою амплитуду в процессе распространения вдоль оси. Однако внизу по течению толщина сдвиговых слоев увеличивается, что вследствие уменьшения поперечных градиентов приводит к стабилизации и последующему затуханию волны. Возрастающая, а затем убывающая амплитуда приводит к широкополосному спектру волновых чисел. В коротковолновом диапазоне этого спектра возможны гармоники с сверхзвуковой фазовой скоростью относительно окружающей среды, они-то и являются источником звука.
В [1] была предложена следующая процедура анализа этого явления. Картина стационарного среднего поля считается известной. Уравнения Эйлера, записанные в цилиндрической системе, линеаризуются на этом поле. Решение полученной линейной системы строится методом сращиваемых асимптотических разложений, где малым параметром считается параметр, характеризующий медленное расширение струи. Для проверки теории в [1] использовались эксперименты из [2], в которых помимо параметров поля течения сверхзвуковой осесимметричной струи измерялись и акустические характеристики. Аппроксимация экспериментальных данных послужила в [1] входными данными при численной реализации аналитических решений. Оказалось, что построенная теория хорошо согласуется с экспериментом.
Аналогичный подход использовался в [3], где теория из [1] получила дальнейшее развитие, а полученные экспериментальные данные выявили хорошее согласие теории и эксперимента.
Положительные результаты, полученные при оценке волн неустойчивости как источника звука в сверхзвуковых струях, делают естественными попытки решения трехмерных нестацио-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 08-01-00354, 06-08-01628) и проекта Программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3.
нарных уравнений Эйлера, линеаризованных относительно среднего поля струи. Это открывает возможность исследования акустических полей, генерируемых струями, истекающими из сопел различной формы.
Основные трудности численного моделирования акустических полей связаны с наличием фазовых и амплитудных ошибок (главным образом, в коротковолновом диапазоне гармоник, разрешаемых реальными схемами), характерных для большинства традиционных методов. В процессе численного интегрирования нестационарных уравнений эти ошибки могут накапливаться и заметно искажать решения.
Общепринята необходимость использования схем высокого порядка точности. Это обеспечивает малость ошибок в "длинноволновом" приближении, когда безразмерное волновое число кк (к — шаг сетки) стремится к нулю. Однако высокий порядок схемы еще не гарантирует их малости в "коротковолновой" части спектра, когда кк > я/2 (заметим, что длина волны в случае кк = я/2 равна 4к).
В [4] была предложена идея оптимизации схем для задачи аэроакустики. Она состояла в том, что, частично жертвуя высоким порядком в случае многоточечного шаблона при аппроксимации производных, можно попытаться путем выбора возникающих свободных параметров расширить диапазон волновых чисел, для которого фазовые ошибки малы, например в среднеквадратичной норме. В случае диссипативных схем такой же подход можно использовать для минимизации амплитудных ошибок (или обеих ошибок одновременно).
Данная работа имеет две составляющие. Первая из них состоит в описании одного из вариантов мультиоператорных схем, принципы построения которых изложены в [5], [6], а некоторые результаты их применения представлены в [7], [8]. Этот вариант использовался в данной работе для численного решения линеаризованных уравнений Эйлера. Имея седьмой порядок по пространственным переменным, эта схема характеризуется весьма широкими диапазонами волновых чисел с малыми фазовыми и амплитудными ошибками. Она основана на линейной комбинации операторов противопотоковых компактных аппроксимаций, отличных от тех, которые исследовались ранее в [5], [6]. Применение этих операторов для дискретизации с произвольно высоким порядком конвективных членов описано в [9].
Вторая составляющая отражает результаты численного моделирования акустических полей, возбуждаемых волнами неустойчивости в сверхзвуковых струях. Предварительно были произведены расчеты среднего турбулентного течения в осесимметричной струе для условий, близких к экспериментальным. Полученные поля газодинамических параметров использовались в линеаризованных уравнениях Эйлера. При решении последних применялась мультиоператорная схема.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЕЕ РЕШЕНИЯ
1. Рассматриваемая постановка задачи соответствует стратегии исследования акустических полей в случае сверхзвуковых струй, предложенной в [1]. Она состоит в использовании уравнений Эйлера, линеаризованных около известного среднего поля течения, при наличии акустических возмущений на входной границе. При численной реализации такой стратегии возникают две задачи. В качестве первого этапа требуется произвести расчет стационарного среднего течения в струе, описываемого уравнениями Навье—Стокса с моделью турбулентности. Полученное численное решение используется как базовое при линеаризации уравнений Эйлера. Если обозначить индексом ноль параметры среднего течения, то полученная система в пространственном случае и предполагаемого нестационарного возбуждения относительно возмущений плотности р, компонент скорости и, V, w и внутренней энергии е имеет вид
с№ + ОТ + дв + дН = 0
д ? дх ду 31
(1)
где
W =
р
"о Р + Ро"
V) Р + РоV
^0 р + ро^
( ео + и2 )р + Р о( е + и)
Г =
"о Р + Р о"
2
ио р + 2 ро"о и + Р1 ио ^оР + Ро V и + Ро "о ^оР + Ро ^о и + Ро UоW Е2( "ор + Ро") + Ро "Е
G =
vo Р + Pov
Uo VoP + Po VoU + Po UoV Vo2 P + 2po VoV + Pi
VoWo P + Po Wov + PovoW E2( vo P + Po v) + PovoEi
H =
Wo P + PoW
Uo WoP + P o WoU + Po Uo w
vo Wo P + PoWov + Po voW 2
Wo P + 2 PoWoW + Pi
E2( Wo P + PoW ) + Po Wo El
222
здесь U2 = (Uo + vo + Wo )/2, U1 = u0u + v0v + w0w, E1 = ye + U1, E2 = ye0 + U2, P1 = (y — 1)(e0P + P0e).
Эта система описывает возмущения газодинамических параметров в трехмерном случае, позволяя рассматривать струи, истекающие из сопел различной формы выходного сечения. В данном случае среднее поле было осесимметричным и соответствовало условиям эксперимента в [2], однако компьютерный код не учитывал эту симметрию.
В дальнейшем предполагается, что ось х совпадает с осью струи, а все размеры отнесены к ра-
П 2
диусу r начального сечения струи. В области начального сечения струи х = 0, r = Vy + z < 2 полагалось, что v = w = 0, задавалось возмущение давления p = (у — 1)(eP0 + Pe0) и использовалось условие адиабатичности. Еще одним условием служил снос возмущения инварианта Римана из внутренних узлов области на граничные узлы для одномерного течения вдоль оси х. На выходной границе расчетной области х = L в сверхзвуковой ее части осуществлялся снос всех искомых функций. В дозвуковой части этой границы использовалось условие для возмущений инвариантов Римана (возмущение для "входящего" инварианта полагалось равным нулю), а также условие сохранения энтропии. Кроме того, осуществлялся снос на границу возмущений v и w. Аналогичный тип условий использовался на боковых границах.
Для предотвращения влияния отраженных возмущений на акустические поля вблизи выходной и боковых границ в правую часть уравнений (1) добавлялся член вида —p W, р = const < 0. Это приводило к уменьшению амплитуды возмущений, которые достигали границы.
Подробная постановка задачи о среднем сверхзвуковом турбулентном течении в струе представлена в [10]. Там рассматривалось истечение осесимметричной струи из сопла при заданном распределении параметров потока в некотором сечении внутри сопла. В настоящей статье входные данные задачи подбирались таким образом, чтобы получить параметры течения, близкие к экспериментально полученным полям в [2]. В качестве исходных уравнений использовались осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье—Стокса и модифицированная двухпараметриче-ская модель турбулентности q — v (см. [11]).
При решении первой задачи применялась противопотоковая разностная схема с компактными аппроксимациями пятого порядка. Она подробно описана в [12].
2. Остановимся на мультиоператорной схеме седьмого порядка по пространственным переменным, основанной на варианте противопотоковых компактных аппроксимаций, отличном от использовавшихся ранее в [5]—[8]. В данной раб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.