КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2009, том 47, № 2, с. 176-192
УДК 629.78;514.8
О ПРИМЕНЕНИИ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА В КОНТУРЕ УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩАЮЩИМСЯ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ СО ШТЫРЕВОЙ АНТЕННОЙ
© 2009 г. Р. Р. Назиров1, Б. И. Рабинович1, А. И. Мытарев2
1Институт космических исследований РАН, г. Москва 2Централъный научно-исследовательский институт машиностроения, г. Королев
Поступила в редакцию 12.12.2007 г.
Рассматривается проблема стабилизации вращающегося космического аппарата с упругой штыревой антенной, расположенной вдоль оси его вращения, при использовании магнитогидродинамиче-ского элемента в качестве исполнительного элемента в контуре управления пространственным положением КА и датчика направления на Солнце в качестве измерителя. На первом этапе исследования рассматривается задача устойчивости стационарного и нестационарного режимов вращения КА с упругой антенной при наличии полости, частично заполненной маловязкой жидкостью.
РАС8: 45.20.dc
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Проблема динамики вращающихся космических аппаратов с деформируемыми элементами имеет давнюю историю (см., например, работы [1-3]). Последнее десятилетие ознаменовалось повышенным вниманием к этой проблеме в связи с зафиксированными случаями потери устойчивости некоторых реальных объектов, оснащенных солнечными батареями и штыревыми антеннами с весьма низкими частотами собственных упругих колебаний. Это относится, в частности, к ИСЗ Авроралъный зонд проекта ИНТЕРБОЛ, устойчивости которого посвящены работы [4, 5].
Ряд исследований посвящен также другому аспекту проблемы, а именно, - динамике вращающихся объектов с полостями, частично заполненными жидкостью. Соответствующие работы, которые можно считать классическими, появились еще в пятидесятые годы (см. [6, 7]). К тому же периоду относятся и некоторые экспериментальные работы, например, [8]. Последующие годы отмечены рядом публикаций на эту тему (см., например, [9-11]). Появление нового поколения вращающихся КА, снабженных разгонными блоками с маршевыми ЖРД и ЖРД для коррекции орбиты и управления ориентацией, выдвинуло на повестку дня ряд новых задач динамики вращающихся КА, имеющих баки, частично заполненные компонентами жидкого топлива, Это стимулировало появление исследований прикладного характера, как теоретических, так и экспериментальных (см. [12-15]).
Идея использования магнитогидродинамиче-ского (МГД) элемента в контуре управления пространственным положением вращающегося КА,
опубликованная впервые в книге [16], позволила вернуться на новом уровне к задаче стабилизации гироскопически неустойчивых объектов с упругими элементами конструкции. Некоторые результаты, полученные в этом направлении, были опубликованы в [17, 18]. В дальнейшем одним из авторов была предложена новая версия МГД-эле-мента, существенно расширяющая возможности последнего, позволяющая говорить о создании в перспективе альтернативных систем одноосной стабилизации и ориентации вращающихся КА, не требующих затраты рабочего тела [19], причем, в отличие от маховичных систем и гиродинов - бесшарнирных (см. [20, 21]). В [21] были рассмотрены некоторые из этих возможностей применительно к вращающемуся КА с полостью, частично заполненной жидкостью. Полученные результаты применяются ниже для решения задачи устойчивости вращающегося КА с упругой штыревой антенной, расположенной вдоль его оси вращения. В этом смысле можно рассматривать настоящую работу как продолжение [4, 5] и [14, 15] и [21].
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КА СО ШТЫРЕВОЙ АНТЕННОЙ, СНАБЖЕННОГО МГД-ЭЛЕМЕНТОМ
КА со штыревой антенной и КА с полостью, частично заполненной жидкостью. Рассмотрим сначала математическую модель вращающегося КА с штыревой антенной, расположенной вдоль оси вращения КА, следуя работе [4]. Чтобы унифицировать эту модель с математической моделью вращающегося КА с полостью, частично заполненной жидкостью, подвергнем первую из них
некоторым преобразованиям. Дополним эту модель уравнениями возмущенного движения центра масс и введем следующие новые обозначения:
т* = т ^о = *; = т * й^;
мещения свободной поверхности жидкости; С* - момент инерции затвердевшей жидкости относи-
тельно
D2 = Zo =
+
ъ -
d
sign z*
Ъ0 = Jr dz; Ъ1 = Jrzdz; Ъ2 = Jr2dz; (!)
ъ
ъ = —; Z = q*- ip* = is*; Ъ2
5* = -(p* + iq*). Здесь m* < m - масса антенны; m - суммарная
масса KA вместе с антенной; z* - расстояние от центра масс системы до точки крепления антенны; d - длина антенны; n = r(z) - первая форма собственных поперечных колебаний антенны как упругого стержня, консольно закрепленного в точке с координатой z*, нормированная так, что П = 1 на конце антенны; p*, q* - перемещения этого конца в плоскостях стабилизации в направлении соответствующих координатных осей. Используя дополнительно обозначения из (18) и (19) [21], можно придать уравнениям, аналогичным (17) из [4], следующую форму:
m(v + iffl0v) + m*(s* + 2iю0s* - ю25*) = P; A ю-i (C - A )ю0 ю + + iz0m* (s* + 2 i ю0 si*- ю0 s *) = M; (2)
5* + (P + 2 i )ю0 si* + (юЕ - ю0) s* -- гг0Ъ(ю + г'ю0ю) + Ъ(\" + i ю0 v) = 0,
где v = v2 + iv3 и ю = ю2 + iffl3 - комплексные скорость и угловая скорости в возмущенном движении; A, C - главные, центральные моменты инерции KA с абсолютно жесткой антенной и затвердевшей жидкостью; юЕ (Elasticity) - круговая частота первого тона собственных упругих колебаний антенны.
Выпишем теперь, используя математическую модель (18), (19) из [21], уравнения, описывающие возмущенное движение KA с одной полостью, частично заполненной жидкостью:
m(v + iffl0v) + m**(s + 2¿ю0s - ю2s) = P;
Aю - i[(C - A)ю0 + C*0]ю + + iz0m**(s + 2m0s - ю^) = M; (3)
s + (P - iк)ю0S + kK(Q + ю0)2 s -
- гг0(ю + i ю0 ю) + v + ¿ю0х = 0.
Здесь Q - относительная угловая скорость жидкости; s = p + iq - комплексная координата пере-
продольной оси полости; т* присоединенная масса жидкости, равная половине ее физической массы.
Сравнение этих двух математических моделей является весьма поучительным. Мы видим здесь различие выражений для присоединенных масс, но оно не носит принципиального характера и объясняется тем, что мы имеем дело с деформируемыми системами различной пространственной конфигурации. Различными являются, конечно, также коэффициенты демпфирования р. Однако имеются и принципиальные отличия, имеющие более глубокие корни. Прежде всего это относится к обобщенным координатам, характеризующим перемещение в поперечном направлении конца антенны и цилиндрической свободной поверхности жидкости. Действительно, хотя комплексные координаты я* и я и их производные по времени имеют в уравнениях (2) и (3) одинаковые знаки, за этим скрываются противоположные знаки реальных перемещений р и р*, q и #*: я* = -р* - щ* и я = р + iq. Далее, знаки мнимых частей коэффициентов при и 8 и знаки внутри круглых скобок в коэффициентов при я* и я в третьем из уравнений моделей (2) и (3) также противоположны.
Чтобы внести ясность в эту парадоксальную с первого взгляда ситуацию рассмотрим две механические модели, в которых пространство, свободное от жидкости, занято твердыми цилиндрами, выполненными в первой из моделей из материала с плотностью, намного большей плотности жидкости, а во второй - из материала с плотностью, намного меньшей плотности жидкости. В первом случае перемещения в поперечном направлении цилиндра и центра масс системы цилиндр - жидкость будут направлены в одну и ту же сторону, а во втором - в противоположные стороны. Но последнее уравнение модели (3) описывает по существу, движение системы "легкий цилиндр" - жидкость, а не системы, эквивалентной системе "тяжелый цилиндр" - жидкость, как модель (3). Этим и объясняются противоположные по сравнению с (2) знаки соответствующих членов.
КА со штыревой антенной при наличии полости, частично заполненной жидкостью. Теперь мы можем, объединив обе модели предыдущего раздела, сконструировать математическую модель КА, имеющего как штыревую антенну, так и полость, частично заполненную жидкостью. Припишем обобщенной координате, соответствующей антенне, нижний индекс "1", опустив верхний индекс *, а обобщенной координате, соответствующей жидкости, индекс "2". Дополнив модели (2) и (3) уравнением, связывающим ком-
0
0
0
плексную угловую скорость ю с комплексным углом б = б2 + 'б3, получим искомую математическую модель:
2
т(V + 'ю0V) + ^ т*(+ 2г'ю0- ю0$)) = Р; ) = 1
Аю - г[(С - А)ю0 + С*0]ю +
2
+ г ^ mfzj (+ 2г' ю0 ^ - ю0 ) = М;
) = 1
$1 + (р1 + 2 г' )Ю0^1 + (юЕ - ю2) -
а =
7210
I =
^Лп
(4)
2
прРг( Ь + I* )2 (Ь + 1 * У
г = (Я0 + Г0)/2; Л = #0- Г>; I* = (|I; £* = Ь/Ь0 < 1,
п = о;
-111 $(ю + г'ю0 ю) + + 'ю^) = 0;
Ьг + (р2 - г'к)ю0Ь2 + кк(0 + ю0 )2Ь2 -- ¿г2 (ю + ' ю0ю) + V + ' ю0 V = 0;
ю = б + 'ю0ю; ю + 'ю0ю = б + 2'ю0б - ю0б; А ю -' (С - А )ю0 ю = Аб -' (С-2А )ю0 б + + (С - А )ю0б.
КА со штыревой антенной и МГД-элементом.
Перейдем теперь к случаю КА со штыревой антенной и МГД-элементом. Дополним с этой целью модель (4) соответствующими членами, используя модель (16) из [21]. В результате получим математическую модель КА со штыревой антенной и МГД-элементом:
т(V + 'ю0V) + ^ т*($ ) + 2'ю0- ю0ь)) = Р; ) = 1
Аю -1[(С - А)ю0 + С*0]ю +
2
+ ' ^ т*1) (+ 2' ю0 - ю0 ) = М;
) = 1
$1 + (рх + 2' )ю0^1 + (юЕ - ю0) -
- iz1 $(ю + 'ю0 ю) + + 'ю^) = 0;
$2 + (Р2- 'К)ю0Ь2+ (5)
2* + [кк(0 + ю0) + е*т2 а0К/Ь]
- izо (ю + 'ю0 ю) + V + 'ю0 V = К (1- е*) I;
ю = б + ' ю0б; ю + ' ю0ю = б + 2' ю0б - ю0 б;
К = 2а; Аю -'(С - А)ю0ю =
= А б -'(С-2А )ю0 б + (С - А )ю2б.
Здесь I - управляющий ток, а коэффициенты определяются формулами [21]:
где I0 - ток подмагничивания; I - длина магнито-провода; 11 - средняя ширина магнитопровода (средняя его толщина 12 ~ Л); г0 и Я0 - внутренний и внешний радиусы слоя жидкости; Ь - его толщина; Л - глубина ; N - число витков обмотки катушки ЭМ; |0 - магнитная постоянная вакуума;
- коэффициенты относительной магнитной проницаемости материала магнитопровода и жидкости в полости МГД-элемента, р^ - ее плотность; Ь0 - коэффициент самоиндукции поля вихревых токов; Ь - коэффициент самоиндукции внешнего поля, бл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.