ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 2, с. 3-12
УДК 550.831+838
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЗИКИ
© 2013 г. И. Э. Степанова
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 02.07.2012 г.
В статье рассматривается методика решения обратных задач геофизики по нахождению формы ано-малиеобразующих тел с помощью исследования бездисперсионной цепочки иерархий Тоды. Поиск неизвестных геометрических параметров сводится к решению системы дифференциальных уравнений, являющейся аналогом динамических систем.
Б01: 10.7868/80002333713020099
ВВЕДЕНИЕ
Решению обратных нелинейных задач геофизики посвящено большое число работ как отче-ственных, так и зарубежных авторов. Применялись самые разнообразные методы, среди которых нельзя не отметить методы, разработанные В.Н. Страховым [Страхов, Бродский, 1983; 1984], В.И. Старостенко [Старостенко, 1978; Старо-стенко и др., 1975], А.В. Цирульским и его школой [Цирульский и др., 1980; 1981], Д.Зидаровым [Зидаров, 1968; 1984], Е.П. Булахом [Булах, 1999] и многими другими исследователями.
Связь между теорией фильтрации и потенциальными полями особо подчеркивалась в работах А. Забродина и соавторов ^аЬгоёт,1999; Ше§-тап, Zabrodin, 2000].
Ранее [Степанова, 2011; 2012], отмечалось, что бездисперсионные цепочки Тоды возникают при решении самых разнообразных задач математической физики. Известно, что область на плоскости с достаточно гладкой границей полностью определяется своими гармоническими моментами. Обратные задачи теории потенциала имеют много общего с теорией фильтрации жидкостей. Например, граница водяной капли (невязкой жидкости) меняется в слое масла (вязкость которого предполагается отличной от нуля) по закону, известному как закон Дарси в теории фильтрации:
V = X gradp.
Здесь подр понимается внешнее давление. X — коэффициент. Внешнее давление является гармонической функцией всюду вне области, за исключением конечного набора точек, в которых производится "накачка". На границе капли давление полагается равным нулю, как и внутри водяной
капли, в предположении, что вязкость воды равна нулю. Если справедлив закон Дарси, то сохраняются все внешние моменты плоской области, кроме нулевого, представляющего собой площадь данной области.
Если заданы внешние моменты некоторой области на плоскости, то сама область определяется по ним однозначно. Мы ищем конформное отображение внешности некоторой канонической области, например, единичного круга на внешность искомой области.
Внешнее давление при этом считается известным, т.е. источники накачки заданы. Искомое конформное отображение определяется по известным моментам области с помощью построения бездисперсионной цепочки Тоды. В роли внешнего давления может выступать и другая гармоническая функция, а также предел непрерывных функций, как это наблюдается в случае восстановления топографии земной поверхности. Таким образом, известные моменты области играют роль независимых переменных, а неизвестные (определяемые внутри искомого источника) — функций, относительно которых и выписывается цепочка уравнений. Подобные задачи на плоскости носят название "Laplacean growth", что можно трактовать как разрастание водяной капли под действием сил давления, удовлетворяющих уравнению Лапласа.
Для областей на плоскости, представляющих собой эллипсы и фигуры, близкие к ним, построение цепочки Тоды осуществляется сравнительно просто, как показано в упомянутых выше работах А. Забродина.
В трехмерном случае закон Дарси также выполняется, т.е. сохраняются все моменты области
в R3, кроме нулевого, представляющего собой объем ограниченной области. Но связь между внешними моментами и некоторым гладким отображением внешности искомой области на внешность единичного шара (по аналогии с единичным кругом на плоскости) становится не такой явной. Мы получаем некоторую последовательность трехмерных областей, зависящую от параметра (или параметров), которая аппроксимирует искомую область. Ранее [Степанова, 2012] предлагалось приближать неизвестный трехмерный источник гравитирующих масс совокупностью базовых цилиндров (прямых и наклонных).
Базовый цилиндр — это произведение области на плоскости на отрезок по оси г [Степанова, 1997;1998]:
Б = ^2 X [¿1, ¿2]; А е С; гь ¿2 е R.
Для каждого из цилиндров строится своя цепочка Тоды, а затем осуществляется усреднение по всем полученным решениям этих цепочек — т.е. мы находим такую цепочку Тоды, которая наилучшим образом аппроксимировала бы весь источник (как правило, применяется некоторая модификация метода наименьших квадратов).
Мы усовершенствовали методику, предложенную ранее [Степанова, 2011].
Решение цепочки уравнений мы искали в виде конечных сумм симметрических многочленов. Такое представление позволяет учесть симметрию заданного внешнего поля. В то же время, если рассматривать более широкий класс функций, то мы придем к представлению искомых решений в виде функций, являющихся пределом описанных выше рядов по симметрическим многочленам [Макдональд, 1985]. Необходимо отметить, что в трехмерном случае мы имеем дело не обязательно с гармоническими функциями, поскольку внешнее поле — функция, гармоническая в трехмерном, а не в двумерном пространстве. Поэтому трехмерные нелинейные обратные задачи требуют разработки более сложных и устойчивых приближенных методов решения, нежели их аналоги в двумерном варианте. И мы можем, по аналогии с двумерным случаем, рассматривать разрастание капли невязкой жидкости под действием сил давления, удовлетворяющих уравнению Пуассона в каждом плоском сечении.
Предложенная методика решения обратных трехмерных задач гравимагниторазведки была протестирована на нескольких модельных примерах.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Пусть выполняется закон Дарси (в теории фильтрации жидкостей принимается такое предположение):
V = -XЕгаф(х, у, г) = Г-Х & -X% -Ь. (1)
V дх ду дТ
Мы обозначили через V скорость изменения границы трехмерной области Б3. р(х, у, и) — давление как функция пространственных координат. Через X обозначен числовой множитель, зависящий от условий задачи. Обычно таким образом описывается распределение давлений в двух средах, граничащих друг с другом. Например, можно рассмотреть процесс растекания капли воды (невязкой жидкости) в слое масла (вязкой жидкости). Важно отметить, что давление внутри капли воды считается равным нулю, равно как и на границе.
В работах Забродина и соавторов рассматривалась плоская задача и неизвестная область, занятая водой, характеризовалась внутренними и внешними моментами. При этом считалось, что внешние моменты области заданы, а внутренние подлежат определению.
В трехмерном случае нам нужно выбрать такие характеристики искомой области, чтобы обратная задача решалась наиболее простым образом и мы могли применить результаты, полученные для плоского случая.
Как перейти от двумерных объектов к трехмерным? В двумерном случае все соотношения между неизвестными функциями, определяющими границу искомой области, достаточно просты (см. работы Забродина ^аЬгоёт, 1999; ^1е§тап, Zabrodin, 2000]). Если мы имеем дело с трехмерными телами, создающими поля в окружающем пространстве, то можно попытаться аппроксимировать искомый объект совокупностью более "простых", например, базовых цилиндров. Для каждого базового цилиндра мы можем построить отображение его сечения на каноническую область в С, а затем решить задачу оптимизации выбора такой конфигурации базовых цилиндров, чтобы она порождала наиболее близкое к заданному внешнее потенциальное поле. Кроме того, мы должны учесть имеющуюся априорную информацию об источниках: наличие симметрий, глубину залегания (хотя бы диапазон глубин), уровень помех во входных данных. Подобная априорная информация позволяет регуляризо-вать обратную задачу, которая является некорректной. Конструкция базовых цилиндров может эффективно применяться для осесимметричных полей, при наличии слоистых сред, когда толщина слоя мала по сравнению с горизонтальным
простиранием. Внешние моменты области считаются известными, а внутренние рассматриваются как функции внешних и времени. Как связаны внешние моменты с полем, которое и является основным источником данных? Конечно, при решении обратных задач нужно учитывать всю имеющуюся априорную информацию. Но в основном исследовать приходится заданное поле (элемент потенциала). Степень симметрии поля нужно уметь оценивать количественно. В этом случае уменьшается неопределенность выбора аномалиеобразующего тела, т.е. мы сокращаем класс возможных решений (или квазирешений) обратной нелинейной задачи. Рассмотрим поэтапно шаги, которые нужно выполнить, чтобы решить обратную нелинейную задачу определения формы аномалиеобразующего тела (или группы тел).
Аппроксимационная конструкция для поля
На первом этапе предлагается построить аппроксимацию исходного поля с помощью симметрических функций (в частности, полиномов). Аппроксимация строится с помощью одного из методов, описанных в предыдущих работах автора [Степанова, 2011; 2012]: мы получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов разложения по симметрическим полиномам, которая обязательно регуляризируется.
Фильтрация исходных данных об элементе поля
Элементы поля не бывают свободны от погрешностей, поэтому целесообразно осуществить предварительную фильтрацию данных. Это можно осуществить с помощью метода интегральных представлений [Страхов, 1999], который позволяет осуществлять фильтрацию входных данных от помех, выделять особенности элементов потенциала, разделять поля и т.д.
Выбор аппроксимационной конструкции для описания неизвестного тела
Если аномалиеобразующее тело разбито на базовые цилиндры (для простоты будем считать, что оси этих цилиндров параллельны оси г), то мы можем определить моменты каждого из этих цилиндров следующим образом:
^ = |zds, к = 1, 2, ...;
Оху
гк = - | , к = 1,2, 3,....
Нулевой момент обозначим через ?0:
(2)
= | йхйу.
Оху — это внешность области Бху, а сама эта область представляет собой сечен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.