научная статья по теме О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Физика

Текст научной статьи на тему «О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 1, с. 169-171

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА

УДК 519.6+535.4

О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

© 2015 г. В. Г. Фарафонов*, В. Б. Ильин*, ** ***, Е. Г. Семенова*, В. И. Устимов*

* Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия ** Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия *** Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, 196140 Санкт-Петербург, Россия

E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 04.07.2014 г.

Найдены и обсуждены теоретические ограничения на область применимости метода расширенных граничных условий, являющегося популярным способом решения проблемы рассеяния света различными несферическими частицами и обычно используемого для вычисления T-матриц.

DOI: 10.7868/S0030403415010109

Метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) играет важную роль в приложениях теории рассеяния света малыми частицами, являясь основным методом получения 7-матрицы [1]. Последняя позволяет эффективно определять оптические свойства разнообразных ансамблей частиц и очень широко используется в последние десятилетия (см. обзор [2] и многочисленные ссылки в нем).

Хорошо известно, что численные реализации ЕВСМ не всегда дают решение проблемы рассеяния (см., например, [3]), однако окончательного вывода о причинах этого сделано не было.

Ниже, используя аппарат и результаты, изложенные в недавней монографии [4], мы показываем принципиальную причину ограниченности метода и даем общее условие его применимости.

Для простоты, как и в [4], будем рассматривать скалярную задачу рассеяния. Обобщение результатов на векторный случай является обычной процедурой и не вызывает принципиальных затруднений.

Как и целый ряд других методов, ЕВСМ базируется на аналитическом представлении волновых полей. Если рассматривать трехмерную задачу рассеяния на частице, занимающей область D с достаточно гладкой поверхностью S, то такое представление падающего U^0)(r) и рассеянного U(1)(r) полей имеет вид поверхностных интегральных уравнений [4]

г{ щ , ¡ЩП _ аир Оо ( г,,/

JI д n д n

s ^

= Г-U(0)(r), r e Ds,

I (r), r e R3\Ds,

■do' =

(1)

где полное поле Щ(г) есть сумма аналитических продолжений Щ0)(г) и Щ(1)(г), а О0(г, г') = ехр(—/£|г — — г'|)/(4п|г — г'|) — функция Грина для свободного пространства. В соотношении (1) вспомогательная замкнутая поверхность Е, находящаяся внутри частицы, должна охватывать все особенности аналитических продолжений полей Щ(0)(г) и Щ(1)(г'). Последнее условие обеспечивает правильное использование априорной информации об аналитических свойствах волновых полей.

В главе [4], посвященной методу диаграммных уравнений, приводится интегрооператорное уравнение для диаграммы направленности рассеянного излучения g(0, ф), связанной с полем соотношением

U D ( r' ) = exp(-ikr) g(e,<p) + Ol

( 1 ^

kr

4 kr)

y '

(2)

и осуществляется стандартная алгебраизация задачи, используя сферический базис. В результате получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений, которая может быть записана следующим образом:

b = Gb + G( 0) a,

(3)

где a и Ь — векторы коэффициентов разложения по сферическому базису падающего и рассеянного полей соответственно, а элементы матриц О и О(0) представляют собой интегралы от волновых сферических функций и их производных.

Аналитическое исследование системы (3), проведенное в [4], основано на асимптотических оценках элементов матриц О и О0 при больших значениях индексов по методу перевала. Итогом этого исследования является следующее утверждение: система (3) разрешима методом редук-

170

ФАРАФОНОВ и др.

ции (т.е. усечением до конечномерных систем) при выполнении условия

а, < а2

(4)

где а1 и а2 — расстояния от начала координат до наиболее удаленной особенности аналитического продолжения и(1)(г') и до наименее удаленной особенности аналитического продолжения внутреннего поля Ц/2)(г), находящейся вне рассеива-теля, соответственно. Отметим, что особенности, а значит, и параметры а1 и а2 зависят только от геометрии поверхности рассеивающего тела.

Таким образом, неравенство (4) есть условие применимости метода диаграммных уравнений. Ему удовлетворяют рассеиватели, для которых особенности аналитической деформации границы S во внутреннюю область для получения поверхности интегрирования Е лежат ближе, чем особенности аналитической деформации во внешнюю. Авторы [4] предлагают называть такие тела "слабо невыпуклыми".

Покажем, каким образом результаты, полученные в [4] для метода диаграммных уравнений, могут быть применены для ЕВСМ. В последнем случае при рассмотрении дифракции на компактном теле имеется ненулевое внутреннее поле Ц(2)(г), и для него соответствующее интегральное уравнение получается из представления (1) с учетом иного по сравнению с использованным в [4] краевого условия. Например, для граничных условий

Ц0) + ц(1) _ Ц<2),

д ( Ц 0) + и1}) _

дп д п

(5)

г е 5

соответствующее интегральное уравнение имеет вид (см., например, [1])

(6)

Ц2)(г.Щ^) _ во(г, О и- =

дп д п I

_ Г-Ц0(г), г е Б, 1 Ц1 ( г), г е Я3\Б.

Здесь сначала находят внутреннее поле из первого уравнения, затем из второго уравнения определяют рассеянное поле.

Стандартная алгебраизация задачи с использованием сферического базиса приводит к соотношениям

IА,с _ -а, 1Ь _ А2е,

(7)

где а, Ь, с — векторы коэффициентов разложений падающего, рассеянного и внутреннего полей по волновым сферическим функциям. Из системы (7) нетрудно найти ТТ-матрицу, связывающую коэффициенты разложений рассеянного и падающего

полей

Т _ -А, А )-1.

(8)

Из-за того, что ЕВСМ является не только методом решения проблемы рассеяния света, но и основным способом нахождения Т-матриц, этот метод иногда путают с методом Т-матриц. Под последним, однако, обычно понимают использование Т-матриц при расчете оптических характеристик ансамблей частиц, например, при аналитическом усреднении по их ориентациям и т.п.

Наряду с изложенным, возможен и другой вариант применения ЕВСМ для решения сформулированной задачи, когда интегральное уравнение записывается непосредственно для рассеянного поля [5]

||-е( Ц0) + Ц1)

д во ( г, г') дп.

5 (9)

+ д ( Ц Ц 1})во(г, г')!^ _ (6^, г е Б дп' I 10, г е Я3\Б,

и решается только второе уравнение. В результате алгебраизации задачи получаем

В2а + В,Ь _ 0

и соответственно

Т _ -(В,) В

2

(10)

(11)

Важно, что сравнение системы (10) с системой, полученной для данной задачи с помощью метода диаграммных уравнений, продемонстрировало их полное совпадение (см. подробнее [5]). Отсюда, используя результаты, полученные в [4], непосредственно следует, что система (10) разрешима методом редукции, т.е. второй вариант ЕВСМ применим, при условии (4). Соответственно Т-матрицу, задаваемую соотношением (11), можно получить этим методом также только при выполнении этого условия.

Из сравнения матриц, возникающих в первом и втором вариантах ЕВСМ, видно, что А1 = (В{)' и А2 = (В2У, где индекс I означает операцию транспонирования. Отсюда очевидно следует, что система (7) допускает решение методом редукции также при условии (4). Таким образом, это неравенство является общим условием применимости ЕВСМ и, как следствие, определения Т-матрицы.

Заметим, что в [4] формально делается иной вывод. Причина в том, что метод Т-матриц трактуется авторами [4] как одна из модификаций ме-

5

О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

171

тода нулевого поля, в которой условие нулевого поля рассматривается на некоторой сфере Е, целиком лежащей внутри рассеивателя. Получаемое в этом случае интегральное уравнение совпадает с уравнением метода нулевого поля при нулевом импедансе, и различие методов заключается согласно [4] в том, что в качестве базиса в методе Т-матриц выбираются сферические функции. Благодаря их ортогональности на любой сфере с центром в начале координат удается сравнительно просто алгебраизировать задачу и построить Т-матрицу.

В [4] утверждается, что подобный метод Т-мат-риц математически корректен, если вспомогательная сфера Е содержит внутри себя все особенности рассеянного поля, т.е. при справедливости гипотезы Релея, как она понимается в [4] и некоторых других источниках (истинная гипотеза Релея обсуждается, например, в [6]), а именно когда

а, < тах(р(0, ф)}, (12)

где г = р(0, ф) — уравнение поверхности рассеива-теля. Рассеивающие частицы, для которых выполняется условие (12), названы релеевскими, и утверждается, что результаты численных расчетов показывают, что для релеевских частиц они всегда не вызывают сомнений, в то время как для не-релеевских рассеивателей при достаточно большом количестве слагаемых в разложении полей метод Т-матриц дает неверные результаты.

Следует, однако, отметить, что численные расчеты, которые дают неплохие результаты при небольшом числе учитываемых слагаемых N и сильно ухудшающиеся при N > 40, не доказывают данное утверждение. Скорее наоборот, поскольку на самом деле в последнем случае очень велика погрешность вычислений и, например, расчеты с

учетверенной точностью показывают, что ЕВСМ вполне удовлетворительно работает для сильно вытянутых и сплюснутых сфероидов [7].

В заключение можно резюмировать, что математической аппарат и результаты его применения, изложенные в [4], позволяют утверждать, что условием применимости (математической корректности) популярного метода ЕВСМ в области, где сходятся разложения полей по сферическим функциям (например, в дальней зоне), является неравенство (4).

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках конкурсной части госзадания ГУАП в 2013—14 гг. и грантов РФФИ 13-02-00138 и СПбГУ 6.0.122.2010, 6.38.669.2013.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Farafonov V.G., Il'in V.B. // Light Scattering Reviews / Ed. by Kokhanovak A.A. Berlin: Springer, 2006. P. 125-177.

2. Mishchenko M.I., Zakharova N.T., Khlebtsov N.G., Wriedt Т., Videen G. // J. Quant. Spectrosc. Rad. Transf. 2014. V 146. P. 349-354.

3. Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Ильин В.Б. // Опт. и спектр. 2007. Т. 102. С. 1

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»