научная статья по теме О ПРИМЕНИМОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ СЛОИСТЫХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ Физика

Текст научной статьи на тему «О ПРИМЕНИМОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ СЛОИСТЫХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2013, том 115, № 5, с. 836-843

ФИЗИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^^^^^^^ ОПТИКА

УДК 535.36

О ПРИМЕНИМОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ

СЛОИСТЫХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ © 2013 г. В. Г. Фарафонов*, В. Б. Ильин*, ** ***

*Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия **Санкт-Петербургский государственный университет, 198504 Санкт-Петербург, Россия ***Главная астрономическая обсерватория РАН, 196140Санкт-Петербург, Россия

E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 22.04.2013 г.

Исследована применимость аналога популярного в теории светорассеяния метода расширенных граничных условий со стандартным сферическим базисом при решении электростатической задачи, возникающей для сфероидальных слоистых рассеивателей, размер которых мал по сравнению с длиной волны падающего излучения. Найдено, что в случае двух и более слоев невозможно определить поляризуемость и другие оптические характеристики частиц в дальней зоне, если нарушается условие, при котором возникающие системы линейных уравнений относительно коэффициентов разложения неизвестных полей являются фредгольмовыми и разрешимыми методом редукции. Для двухслойных сфероидов с софокусными границами слоев данное условие трансформируется в простое ограничение для отношения полуосей частицы a/b < Jl + 1. В случае однородных частиц условие разрешимости состоит в том, что радиус сходимости разложения внутреннего поля должен быть больше радиуса сходимости разложения аналога рассеянного поля. Показано, что поскольку однородные сфероиды (эллипсоиды) являются уникальными частицами, внутри которых электростатическое поле однородно, то решение в этом случае можно найти всегда. Полученные результаты дают возможность в принципе согласовать результаты теоретического и численного определений области применимости метода расширенных граничных условий со сферическим базисом для сфероидальных рассеивателей.

DOI: 10.7868/S0030403413110056

1. ВВЕДЕНИЕ

При решении задач рассеяния света несферическими частицами простой формы и структуры часто и эффективно применяется метод расширенных граничных условий (extended boundary condition method, EBCM). Метод включает разложение полей обычно по сферическим волновым функциям и нахождение коэффициентов разложения из решения бесконечных систем линейных уравнений, возникающих после подстановки разложений в поверхностные интегральные уравнения, называемые расширенными граничными условиями (см. подробнее [1—3]).

До сих пор не существует единой точки зрения на область применимости этого метода (см., например, [4—7]). В последней работе условие применимости EBCM для расчета полей в дальней зоне было связано с условием, что возникающие системы линейных уравнений являются фредгольмовыми и разрешимыми методом редукции. Это имеет место, когда все особые точки аналитического продолжения рассеянного поля располагаются ближе к центру выбранной сферической системы координат, чем любая особая точка аналитического продолжения внутреннего поля.

Иными словами, если существует сферическая оболочка, в которой одновременно сходятся разложения внутреннего и рассеянного полей.

Данное условие применимости метода ЕВСМ подтверждается данными численных расчетов для однородных чебышевских частиц при использовании стандартных сферических волновых функций [3]. Однако вычисления для однородных сфероидов не показывают ограничения области применимости, ожидаемого согласно условию разрешимости систем, что порождает сомнения в верности выводов работы [7].

Для многослойных частиц условие применимости было сформулировано в работе [8], однако результаты этого исследования не представляются достаточно подтвержденными данными численных расчетов [9].

В настоящей работе мы исследуем применимость метода ЕВСМ со сферическим базисом в случае малых осесимметричных слоистых сфероидальных частиц, для которых проблема рассеяния света может быть сведена к электростатической задаче. Это позволяет значительно упростить анализ и проверять его выводы не только сравнением с результатами численных расчетов,

но и с точным решением, полученным для сфероидов с софокусными границами слоев при использовании соответствующего сфероидального базиса. Основное внимание уделено рассмотрению применимости метода в дальней зоне, где все оптические свойства частицы могут быть описаны, используя значение ее поляризуемости.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим электростатическую задачу для слоистой частицы, имеющей осевую симметрию. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось г совпала с осью симметрии. Введем сферическую систему координат (г, 0, ф) таким образом, что г = гео80. Тогда внешняя поверхность у-го слоя Бу будет задаваться уравнением

г = г,(0).

(1)

= j ¿(Ф j +4 + ФГ ») / дпр

(4)

где д / дпу — производная вдоль внешней нормали к поверхности Бу, 1 = еу + 1/е/- — относительная диэлектрическая проницаемость (у + 1)-й среды.

Решениями скалярного уравнения Лапласа (3) являются функции

( г) = r1 ут;(0,ф),

-(1 +1) (5)

^ ( г) = Г— У„1(0,Ф),

где угловые функции могут быть равны

2 - 5° -т

Vml(0, Ф) = -—m P)( cos 0) cos m ф. (6)

2 п

Здесь

pm (cos0) =

/( 2 - + 1 ) ( 1 - m ) ! Pm( cos 0) , 4 2 (1 + m)! 1 V 7

При у = 1 уравнение (1) описывает поверхность частицы, при у = J — поверхность ядра /-слойной частицы. Область, ограниченную поверхностью Бу, обозначим как Бу.

При решении электростатической задачи можно ввести скалярный потенциал Ф, связанный с напряженностью электрического поля Е соотношением

Е = УФ (2)

и удовлетворяющий уравнению Лапласа

АФ = 0. (3)

Потенциал поля в среде с индексом у (у = 1,

2, ..., / + 1) представим в виде суммы + , где первое слагаемое регулярно (конечно) в начале координат, а второе — иррегулярно и убывает до нуля на бесконечности [10]. Отметим, что внешнее поле может быть описано потенциалом „лп

Ф1 , а поле, возникающее из-за присутствия частицы (аналог поля рассеянного излучения), —

„Л 1)

потенциалом Ф2 .

Граничные условия на поверхности Бу, где у = 1, 2, ..., /, заключаются в непрерывности тангенциальных составляющих Е и нормальных составляющих вектора электрической индукции Б = еЕ. Для потенциалов имеем соответственно

ф] + Ф2а) = ф] +1) + Ф2а+1) ,

д(Ф] + ф2-))/дП] =

где Pf (cos 0) — присоединенные функции Ле-

жандра, 51 = 1 при l = п и 5;" = 0 при l Ф п. Отметим, что угловые сферические функции yml(0, ф) образуют полную ортонормированную систему. Учитывая физический смысл потенциалов

Ф^, Ф2а) , раскладываем их по функциям ¥ml следующим образом:

да да

Ф?)(г) = £ £ af)^(г),

m = ° 1 = m

да да

(7)

ф2/)(г) = £ £ ь1 (г).

m1 m1

m = ° 1 = m

Электростатическая задача в нашем случае может быть сведена к двум подзадачам: когда напряженность внешнего поля Е0 параллельна и перпендикулярна оси симметрии частицы, направленной вдоль орта Если Е0 || 1г, то, очевидно, что

Ф11) (г) = zE° = r cos 0 E°,

т.е. в разложении (7) для этого потенциала аОУ = = л/2/3Е0 и для всех остальных значений т, Iиме-

ем аЦ = 0. Если E0 ± iz, то, например, имеем

ф}1)( г) = xE° = rsin 0 cos фЕ°, т.е. а11) = T4/3E° и для всех остальных m, l имеем

аЦ = 0.

Поскольку в электростатической задаче для осесимметричных частиц имеет место разделение относительно азимутального угла ф [11], то в случае параллельной ориентации внешнего поля будем рассматривать только члены разложений потенциалов (7) с индексом m = 0, а при перпендикулярной — только с m = 1.

Будем определять коэффициенты разложения где введены векторы a(/) = {а^ }Г= т , Ь7 =

~ (j) . о

потенциалов неизвестных полей aml для j = 2, =

3, ..., J + 1 и Ьт для] = 1, 2, ..., J(в ядре частицы,

^(■Т + 1) мч

очевидно, потенциал Ф2 = 0), используя аналог метода расширенных граничных условий, широко применяемого в теории рассеяния света для частиц простой формы и структуры (см. подробнее [3]). Известно, что решения скалярного уравнения Лапласа удовлетворяют поверхностным интегральным уравнениям, подставив в которые граничные условия (4), можно получить следующие соотношения [11, 12]:

={ьт>да=

и матрицы, содержащие следующие

элементы:

(12)

{А31 } п1 = 81 + (Sj + 1 - 1)Ьп1т , {А33 } п1 = + 1 - 1 )Ьп1, т , {АП }п1 = — (б/ + 1 - 1 )Ьп1,т, {А( 3 } п1 = 81 - (бу + 1 - 1 )Ьп1, т ,

где7 = 1, 2, ..., Jи т = 0 или 1.

Для интегралов использовано обозначение

( .)fJд( Фj+1 } ( r') + Ф2а+1 } (I- ))G( , (ej + 1 - 1) J - dn, 2-— G(r, rHdS =

'ф' (r) - Ф? +1) (r), r e Dj,

(8)

I -Ф2^(г) + ф£ + -(г), г 6 Я"Щ.

Функция Грина для всех сред равна в электростатическом случае

+1)

G(r, r') = 1 /4п|r - rl,

(9)

где г, г' — радиусы-векторы точек наблюдения и интегрирования. Разложение функции Грина по сферическим функциям известно, и с учетом определений (5), (6) его можно представить следующим образом [13]:

G ( r, r') =

да да

££ ^(r'(r) при г > г',

(13)

т = 01 = т

да да

(10)

££ ^m?(rт(r') при

(3)/

г< г.

= 0l=

Подставим в интегральные уравнения (8) разложения потенциалов (7) и функции Грина (10). Поменяв местами операции интегрирования и суммирования, с учетом ортонормированности угловых функций получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений, которая в матричном виде имеет вид (] = 1, 2, ..., J)

L

j, ki

nl, т

= j^mn (r)

i k) (r)

д n

ds.

(13)

В сферической системе координат имеем

L

j, 31 nl, т

2 n

п

+1 £ рт (cos б).

(14)

+ ^ sin 0 Pm' ( cos 0) г

г -nPm(cos0)sin0d0,

jj,33 =

nl, m

1

( 2 n + 1)( 21 + 1)

п

£_( l + 1) Pm( cos 0)

+

(15)

+ sin 0Pm' ( cos 0)

г-(l+n +1) pm ( cos 0) sin 0 d 0,

п

LJn1m = J^iPm ( cos 0) + г-0 sin 0 pm'( cos 0)

X г(l +n +1)Pm(cos0) sin0d0,

п

L£ = 27+1 £-( l + 1) Pm ( cos 0).

(16)

0

+ ^ sin 0 Pm' ( cos 0) r

(17)

r -lPm(cos0)sin0d0,

где r = rj(0), г'в = 5г,(0)/50 и Pm (cos0) — производная нормированной функции Лежандра.

Поскольку b(/ +1) = 0, систему (11) легко преобразовать в следующую:

.01

,01 „и +1)

a = A31 a + A33 b

oiha +1)

33

A(j)n(j + 1K ,0\0 + 1) b = A 11 a + A 13 b ,

(11)

a(1) = A1 a(/ +1), b11) = A 2 a17 +1),

(18)

S

0

0

0

где матрицы А1 и А2 удовлетворяют соотношению

V

V ^2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»