ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 10, с. 926-933
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8
О ПРОДОЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ МГД-ВОЗМУЩЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ В МОДЕЛИ КРУСКАЛА-ОБЕРМАНА
© 2010 г. В. В. Арсенин
РНЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия Поступила в редакцию 04.05.2010 г.
Показано, что, в отличие от МГД-модели, в кинетической модели Крускала—Обермана возмущение на границе конвективной устойчивости плазмы конечного давления в ловушках без среднего ттВ не является, вообще говоря, строго желобковым. Прослежено происхождение этого различия. Рассмотрение проделано для осесимметричных конфигураций, образованных полоидальным магнитным полем.
1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа затрагивает довольно общий вопрос о соотношении результатов по МГД-устойчивости, получаемых в МГД-модели и в модели Крускала—Обермана. Конкретно речь идет об осесимметричных конфигурациях полоидаль-ного магнитного поля
Br = -1 Bz = 1 (1)
r dz r dr
Это могут быть ловушки как с замкнутыми силовыми линиями магнитного поля, так и открытые.
Невозмущенное давление плазмы считается изотропным, pL = рц. Именно c изотропным распределением имеет дело МГД-модель. В геометрии с замкнутыми силовыми линиями приближение изотропного давления естественно, а в случае прямой ловушки оно может быть оправдано при большом пробочном отношении или для периодической цепочки.
При pL = р|| = р (у) для случая, когда нет средней магнитной ямы (V U • Vp < 0, где U = U(y) =
= J"B~ldl), достаточное условие конвективной
устойчивости — оно получается из МГД-модели — имеет вид [1, 2]
VU -Vp + ур (VU)2 > 0, (2)
Y = 5/3 — показатель адиабаты; стабилизация возможна благодаря эффекту сжимаемости плазмы. Согласно данной модели, на границе устойчивости (Г = 0), то есть для профиля р(у), которому отвечает знак равенства в (2),
р* = const • U-Y, (3)
возмущение плазмы в конфигурациях (1) имеет вид "желобка": в нормальной к магнитной поверхности у = const компоненте смещения
% v = — sin mS exp(r t) (4)
rB
(r — радиальная координата, & — азимутальный угол) величина X не зависит от продольной координаты, X = const(x)1. Причем такая структура имеет место при любом р = 8np/B2. Условие (2) справедливо при произвольном р, величина U находится по равновесному полю.
Наша цель — выяснить, сохраняется ли желоб-ковый характер возмущения на границе устойчивости в кинетической модели Крускала—Обермана [3, 4] (в ней возмущение функции распределения отыскивается интегрированием по траектории в пренебрежении конечностью ларморовского радиуса), которая адекватна ситуации бесстолкно-вительной плазмы и позволяет получить необходимое и достаточное условие МГД-устойчивости. В разд. 2 сформулированы уравнения, описывающие продольную структуру возмущения в обеих моделях. В разд. 3 строится их решение в первом порядке по малому р. Приведен пример магнитной конфигурации, для которой решение получается аналитически. Выявлено, что в модели Крускала—Обермана возмущение на границе устойчивости плазмы в этой геометрии может отличаться от желобкового. Заключительный раздел содержит краткое обсуждение результата.
1 Величина X пропорциональна (множитель mc/Г) потенци-
алу электрического поля возмущения E = —У^ф.
2. УСЛОВИЯ МГД-УСТОЙЧИВОСТИ 2.1. Модель Крускала—Обермана
Для конфигураций (1) условие устойчивости плазмы изотропного давления состоит в неотрицательности при всех у минимума функционала потенциальной энергии возмущений с m > 1 (см. [2, 5])
^(у) = wн(y) + wк(y), (5)
w
H
r B J
дХ 1 + BJ (— + Y12 + dy
(6)
dy ^dy
+ 2JdPx |дХ + Y} + JdPx 21 dx,
' 1 " 1 dy dy ' л
1/Bm
Wk =
15 np f ^-dk, 4 J т
0
при нормировке
j PX 2dx = 1,
(7)
(8)
р(х) — положительная функция2. Здесь У(у, х) связано с азимутальной компонентой смещения
= — Y cos exp(r?); m
(9)
величина g есть
Xr
g(y, X) = j
(1 -XB(y, x))dlnJB X +
dy
(10)
+1X B (y, x)[d-djx + f + Y
2 V dy dy
'баунс-время"
JBdx
V1 -XB( y, x)'
c(y, X ) = j
JBdX
V1 -X B (y, x)'
(11)
для магнитного поля используется рационализированная шкала В/л/4Л ^ В; поверхности посто-
янства продольной координаты х (выбранной так, что на оси dx = Bdz) ортогональны поверхностям у = const; r(y, х) — расстояние от точки х на силовой линии у = const, & = const до оси; якобиан J равен
J = -^-exp B2
Г dp dy'
j dy' B2
V 0
(12)
(см. [2]), причем
j Jdx = U.
(13)
Простоты ради предполагается, что у ловушки есть плоскость симметрии х = 0, на которой поле как функция продольной координаты имеет единственный минимум В^п(у); рассматриваются симметричные относительно этой плоскости смещения. Для запертых частиц величина х г (X, у) есть координата точки поворота, в которой ХВ(у, хг) = 1. Для пролетных частиц, каковые могут быть в ловушке с замкнутыми силовыми линиями (или в прямой периодической цепочке), хг совпадает с концом
X епЛ всего интервала по х. В случае периодической цепочки естественно подсчитывать w на одну ячейку, при этом для пролетных частиц в качестве хг нужно брать конец хп ячейки. При х = 0 и X = Хепй принимается
дХ дх
дХ дх
= 0,
Х=0
= 0.
(14)
(15)
X Xend
' Азимутальное число т явно входит только в дополнительный положительный член в "гидродинамическом" слагаемом wн, содержащий множитель 1/т2, см. [2]. Этот член исчезает, то есть м наименьшее, при т ^ да. Если м > 0 для азимутальных мод т > 1, то заведомо устойчивы и возмущения с небольшими т (о чем сказано в [2]). Устойчивость при т > 1 обеспечена, если выражение (5) неотрицательно при всех у, с этим условием мы и имеем дело в настоящей работе. Добавим, что, поскольку соблюдение > 0 при всех у гарантирует устойчивость относительно возмущений с любой зависимостью смещения от у, то никаких предположений о поперечной локализации не делается, и полученный результат о нежелобковости справедлив при любой поперечной структуре.
Выполнение (14) гарантировано из-за симметрии. Что касается (15), то это требование удовлетворяется также естественным образом в случаях периодической системы или замкнутых силовых линий, а в общем случае оно ставится из того соображения, чтобы было разрешено желобковое смещение.
Сформулированное условие устойчивости эквивалентно тому, что при любом у отсутствуют отрицательные собственные значения Л у системы уравнений Эйлера [6, 7]
1 дХ
А .
dxl r 2B 2J дх
+ 1 Лр-^J IХ - *Pjy -
dydyy dy
15
Xend
P J [КххХ(y,x') + KxyYiy,x')dX' = 0,
0
0
0
0
2
йрЩХ + вЩ
йу
сутствии собственных значений Л < 0 у системы уравнений Эйлера
-15р | №хХ(у,Х') + куу7(¥,х' =
(17)
= 0
_д.[_1_ дХ] + [лр- йр Щ х _ 5х1г 2в2/ дх) I йуду)
при требованиях (14), (15). Здесь введено обозначение У = У + дХ/ду. Ядра в интегральных членах в (16), (17) суть
гГд 1п Щ
ду
Кх
х( V, X, X') = , X, 1 Ж V, X', 1 )Ой1,
_ йрЩу дЩ дУ йу
йр
X + У IЩйх
(20)
\мх
= 0,
йу
X + ВУ + ур-
д 1п Щ
ду
X+ У I1йх
= 0
(21)
КХУ(у, х, X') = | ¿Ху, х, Т(у, X', ^)ОйХ, (18) при тех же требованиях (14), (15). Из (21) выража-0 ем У через Х:
ух(У , X, X') = | Т(у, X, ^ Ж V, X', ^ )Ой ^,
К
Куу(ч , х, X') = \ Т(у, х, X) Т( V, X', X )ОйХ,
0
У = -1_ ¿рХ + 1р
В2 йу
В
в2 Г в Щ
1 + -
Щх
(22)
Щ х
где
5(у, X, X) = (1 - 2 х В (у, X))д 1п(/(УдХ^)В(У,Х)).
+1X В( V, X)д 1п «V ,х), 2 т Л ду
Т( у, х, х) = 2 х В(у, X),
где к — кривизна силовой линии (еук = к = (ех • У)ех); использовано уравнение равновесия
¿М - Ф = -2_Цр + = -—. (23)
ду В2 йу В2 ду^ 2 ^ гВ
Подстановкой (22) в (20) система (20), (21) сводится к одному уравнению для функции X
ОЫ ' X) = — ,х)В(У ,Х)/(¥,X')В(¥,X') т(х-хв(¥,х) VI-хВ(у,X') '
А0Х + ЦХ + ЛрХ = 0,
д ( 1 дХ^
АХ =
дх^ г 2В2/ дх
X „ = шт
I-
1
1
[В(у, х) В(у, х^ В дальнейшем, чтобы упростить запись, мы там, где упрощение не должно вызвать недоразумения, не будем в интегралах по х, которые берутся в пределах от 0 до х епй, указывать эти пределы.
2.2 МГД-модель
Согласно теореме сравнения [3, 4] кинетическое слагаемое (7) в (5) ограничено снизу:
ДХ = ^щйрХ - 2Кщ гВ йу гВ
ур|2В Шх
1 + ур
\в -2Ых
Щх
На границе устойчивости Л = 0 при
(24)
(25)
(26)
\Щйх
й 1п р йу
УТ
Vк ^ = Пур
д 1п Щ
ду
Х+У IЩйх
Щх
1 + ур
\в-21йх Щйх
(27)
Щх
решением (24) служит Х = сош^х). При этом (19) равенство (27) обеспечивает обращение слагаемого с Ц в (24) в нуль. Принимая во внимание _ < , уравнение равновесия (23), можно переписать
При замене ^к на ^К функционал ^ переходит в соотношение (27) в форме Лпр^у = выражение , фигурирующее в МГД-модели. / г ч-1
Минимизация по Х и У дает достаточное
условие устойчивости, которое заключается в от-
= (ЩйХ) |(дЩ/5у))х, что с учетом (13) совпадает с гранично-устойчивым профилем (3).
0
0
0
3. СТРУКТУРА ВОЗМУЩЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ МАЛЫХ в
3.1. Решение в первом порядке по в
При р ^ 1 задачу (16), (17), (14), (15) можно решать методом последовательных приближений. Из (17) находим
_ 1 dp
Y = -
15
X р\ КЖХ(¥, х 'Ш1 + 0ф2), (28) В а^ 2
где величины В(у, х) и КТХ — вакуумные; координатой х служит скалярный потенциал, Ух = В;
величина I также вакуумная: I = 1 /В . С точно-
2
стью 0(в ) уравнение для X будет (£<» + а1 + Лр )X = 0,
где
(29)
Z(0)X = L0X,
jj1)X = - dp dJ
X - уpJKxxX(¥,xd',
(30)
(31)
x10) = const,
(32)
ему отвечает собственное значение Л(0) = 0. Поправка к собственному значению отыскивается из соотношения первого приближения [8, 9]:
Л = Л(1) = ¡X(0)L(1)X(0)d1 = dp fdJX1(0)2dx + J dy Jdy
+
уp\\KxxX 1(0)(x)X1(0)(x )dx'dx.
(33)
Так как Xf0) = const, то для гранично-устойчивого (Л(1) = 0) профиля давления должно быть
dy Jijf1 +15P^xxdX'dX = 0, (34)
это совпадает — применительно к геометрии (1) — с известным результатом [4, 10].
Нас сейчас интересует поправка к собственной функции Xf0)(32). Она находится из уравнения ^Х™ + Z(1)Xi0) = 0, то есть
1 ЙХ1(1Ч fU)v(0)
д
dXvr дХ
-L{1)XГ
(35)
(1)
где
X1(
F =
= F--l- J FdX,
%end
J(r 2jX(1)X1(0)dx )dx.
(36)
(37)
Условие (15) соблюдается, так как на границе устой-
чивости, согласно (34), интеграл \ Х(1)Х1(0)ах равен
0
нулю. Величина г2(у, х) в (37) удовлетворяет уравнению [11]
r2 + А[ 1 drl | =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.