научная статья по теме О ПРОНИКАНИИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ В ТВЕРДУЮ ДЕФОРМИРУЕМУЮ СРЕДУ И ОПТИМИЗАЦИИ ИХ ФОРМЫ Механика

Текст научной статьи на тему «О ПРОНИКАНИИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ В ТВЕРДУЮ ДЕФОРМИРУЕМУЮ СРЕДУ И ОПТИМИЗАЦИИ ИХ ФОРМЫ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008

УДК 539.3:534.1

© 2008 г. Н.В. БАНИЧУК, С.Ю. ИВАНОВА, Е.В. МАКЕЕВ

О ПРОНИКАНИИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ В ТВЕРДУЮ ДЕФОРМИРУЕМУЮ СРЕДУ И ОПТИМИЗАЦИИ ИХ ФОРМЫ

Рассматриваются задачи о внедрении жестких пирамидальных тел (ударников) в деформируемую среду при больших скоростях проникания. Оценивается глубина внедрения ударника. При этом используется двухстадийная модель внедрения, предложенная Форрестолом. Формулируется задача оптимизации формы внедряющегося тела, основанная на рассмотрении множества тел, имеющих пирамидальную внешнюю форму и заданную фиксированную массу. При этом исследуются как сплошные, так и полые (оболочен-ные) тела. В качестве оптимизируемого функционала принимается глубина проникания внедряющегося тела, а в качестве переменной проектирования рассматривается число граней пирамидального тела. Приводятся результаты расчетов глубины внедрения для различных форм ударника. Показано, что как для оболочек, так и для сплошных ударников оптимальными являются тела, имеющие форму кругового конуса. Рассматриваемые задачи высокоскоростного внедрения жестких тел в деформируемую среду относятся к актуальной проблематике [1]. Этим вопросам посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов [2-8].

1. Основные соотношения и выражение для силы сопротивления. Рассматривается внедрение жесткого ударника в твердую деформируемую среду, заполняющую полупространство. Внедрение жесткого тела осуществляется в направлении, ортогональном поверхности деформируемой среды с начальной скоростью uimp. Предполагается, что внедряемое тело имеет гомотетичную форму, описываемую уравнением

г = Ф( x/l) R(9)

0 < x < l, 0 < 9 < 2 n .

в цилиндрической системе координат (фиг. 1). Функция R = R(9) описывает форму донного сечения внедряющегося тела (x = l). Безразмерная функция ф(х/1) = ф(0 (коэффициент подобия) удовлетворяет следующим условиям:

ф( 0) = 0, ф( 1) = 1 (1.2)

На первой стадии нормального проникания в соответствии с используемой двухстадий-ной моделью [4, 5] сила сопротивления D является линейной функцией текущей глубины внедрения h. Имеем

D = yh, 0 < h < H0 (1.3)

где Y > 0 - неотрицательная константа модели, а глубина внедрения на первой стадии принимается равной

H0 = 4 R0, R0 = R (0) (1.4)

x = l

er

R(9)

9

Ro

Фиг. 1

Используя трехчленное выражение для возникающих при внедрении напряжений

о(и) = о*[а0 + ахки + а2(ки) ], к = определим силу сопротивления следующим выражением

D = J(ñ)a(v„)dr

vn = (é x, ñ )u

(1.5)

(1.6) (1.7)

где рт - плотность среды, заполняющей полупространство, о* - одноосная прочность на сжатие, а0, а1, а2 - заданные положительные константы деформируемой среды [6-8], ех - единичный вектор цилиндрической системы координат, направленный вдоль оси х

(фиг. 1), п - единичный вектор внутренней нормали к поверхности ударника, и и ип -соответственно, величина скорости ударника и компонента скорости, нормальная к поверхности, (ех, п) - скалярное произведение векторов, Г - боковая поверхность внедряющегося тела.

Для рассматриваемой формы ударника единичный вектор внутренней нормали может быть представлен в виде

grad(г - Ф(t)R(9))

R- R9- -Фt 1 ex + Ф—е9 - е,

lgrad(Г - Ф(t)R(9)^ J1 + ф2(R1)2 + ф2(R9/г)2

и следовательно

_ . R (ñ> е x) = ¡X Фt

(1.8)

(1.9)

y

0

х = 71 + фЯТ+(Я0Я~2

(1.10)

Используя соотношения (1.5)—(1.10), получим следующие выражения для силы сопротивления

Б = 2N0* | + а1 киЯ;ф» + ^^(Я^')

п/N1

(1.11)

= * | |^ао + ^кь^ф, + а2кV( |;ф,)

оо

фф,Я

I

'х'0

Здесь и в дальнейшем рассматриваются пирамидальные типы ударников, имеющих в основании регулярную полигональную форму с N равными сторонами (Ге1 - поверхность треугольного элемента боковой поверхности ударника, т.е. поверхность одной грани):

ф(,) = ,, Я

Я

ео8 0

, Яо = Я(0)

Полагая ф = , и выполняя интегрирование в (1.11), будем иметь

п/N

1 ['

а1 ки (ки\2Л

Б = N0* | | а0 + ----— + а2^-

2 2 2 1/2 ^ = [ 1 + (1/Я)2 + (1Я0/Я ) ]

2

Я а0

(1.12)

(1.13)

(1.14)

2. Оптимальные формы при внедрении в упругопластическую среду. В случае внедрения тела в упругопластическую среду (а1 = 0) будем иметь следующее выражение для силы сопротивления

2 2 2 Б = о *Я0 N tg (п/N)[а0 + ск и ]

с = а 2 [ 1 + (1/Я0 )2 ] 1

(2.1) (2.2)

е1

Глубина Н внедрения ударника заданной массы М0 складывается из глубины Н0 на первой стадии внедрения и глубины к на второй стадии проникания, которая находится с использованием закона Ньютона

М0ьс1у/'к = - Б и0 = и( Н0)

Н0 < к < Н

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Выполняя интегрирование и принимая во внимание начальное условие, получим

Н = Н(

ЛЯ

1 М_0 Г и-'и

+ Н01 Б(и;

(2.6)

В безразмерных переменных (H0 = 4R0):

U = hu, H

H

H o,

D

D

о*п Я0

будем иметь следующее соотношение (тильда в дальнейшем опускается):

(2.7)

H = 1 + -

ю

;J

o 2 du

1 ю .Л С 2 = 1 + -ln 1 + —u0

N.. V ao 0

iV

(2.8)

ю = M o/ (4 n Ro pm)

(2.9)

Начальная скорость на второй стадии внедрения связана с начальной скоростью проникания ударника цтр соотношением

u

2 Y 1/2

UmP- M ,H

(2.10)

o

где Н0 = 4^0. Данное соотношение получено посредством интегрирования уравнения Ньютона на первой стадии проникания с учетом начального условия

u( h = 0) = u

1Шр

(2.11)

Предположим, что внедряющееся тело имеет форму пирамидальной тонкостенной оболочки постоянной толщины 50 и заданной массы М0. При этом предполагается, что площадь поверхности (изопериметрическое условие) дается выражением ф;тр - плотность материала ударника):

S = RoJRq + l2 N tg (п / N) = So

M

§0pimp

ю

S0 pimp§0

4 nPmRo3

(2.12) (2.13)

С использованием изопериметрического условия (2.12) исключим переменную I из (2.8) и получим

p = N tg (п/N)

% = R-, 1+%2 =

2

So

vRo2 p)

(2.14)

(2.15)

H = 1 + -

§1

^S,

n^S0

2a2 r4 P3

2

ln

2 a2 Ro

4, §2

2 4 Л a2u0 R0 2 1 +-T" P

ao So J

24 a 2 U0 R 0 ""2 ao So

1 + §lln ( 1 + §2 p> )

p

(2.16)

(2.17)

S

o

Зависимостьр = р(Ы), как это следует из (2.14) и выражения для производной

dp dN

cos (n/2)

2 п

-(n -sin n) < 0, n _ N

(2.18)

является монотонно убывающей функцией параметра N при 3 < N < а величина р изменяется в следующих пределах:

р( з) = зТз > p > p («о

(2.19)

Для исследования зависимости глубины проникания Н от числа граней определим величину производной

dH _ dHdP

dN _ dpdN

4 T (s) dP P

dN

T(s) _ ln(1 + s) -2- 5

§2 P

31 +

Покажем, что функция Т(5) является положительной, т.е.

Т(5) > 0, 0 < 5 С этой целью оценим производную йТ/й5. Имеем йТ 5 + 1/3

ds

(1 + s)2

> 0, s > 0

(2.20) (2.21)

(2.22)

(2.23)

Учитывая (2.23) и то, что Т(0) = 0, приходим к неравенству (2.22). Таким образом, на основании формулы (2.20) и неравенств (2.18), (2.22) будем иметь

dH/dN > 0, 3 < N <<~

(2.24)

Следовательно, глубина проникания ударника является монотонно возрастающей функцией числа граней, а максимум глубины проникания реализуется для конического ударника N = При этом безразмерная длина £ оптимального ударника достигает максимального значения

S-0

VR0V

1

P2 (N)

-1

1/2

2

S0

LVn R0V

-1

1/2

M„

Лп§0 Pimp R0J

-1

1/2

(2.25)

на множестве допустимых форм. Зависимость глубины проникания ударника от числа его граней показана на фиг. 2. Расчеты проводились для значений параметров a0 = 4.05,

a2 = 3.51, S0 = 0.5 м2, R0 = 0.2 м, §0 = 0.03 м, и0 = 100, ю = 0.15.

Предположим теперь, что ударник имеет форму сплошного пирамидального тела и обладает заданной массой M0. Это означает, что объем ударника Vудовлетворяет следующему изопериметрическому условию

V _ 3 iRNtg N _ V0, V0 _ p^- (2.26)

N imp

Используя соотношения (2.26) и (2.8), будем иметь p _ N tg (п/N)

(2.27)

5

N

Фиг. 2

Фиг. 3

ТТ 1 ПЮ .

H = 1 + т—-ln

2 pC

2

uo 1 + -3 C

ao

(2.28)

C = a-

1+

' 3 У 0^

pRo

(2.29)

Ю = У0 Pimp/(4ПR0 Pm)

(2.30)

На фиг. 3 показана зависимость глубины внедрения сплошного ударника Н от числа граней N для случая, когда а0 = 4.05, а2 = 3.51, = 0.5 м, и0 = 100, У0 = 0.33 м3, ю = 0.32. Из рисунка видно, что оптимальной формой для сплошного проникающего тела, как и в

Фиг. 4

Фиг. 5

случае оболочки, является круговой конус. Безразмерная длина внедряющегося тела находится с использованием выражения

£ = = ^ (2.31)

На фиг. 4 показана зависимость безразмерной длины ударника £ от числа граней N для тех же значений параметров задачи: а0 = 4.05, а2 = 3.51, Я0 = 0.5 м, и0 = 100,

У0 = 0.33 м3, ю = 0.32. В случае конического сечения длина проникающего тела имеет максимальное значение. Зависимость глубины внедрения Н от длины ударника £ представлена на фиг. 5.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-08-00025а), Программы ОЭММПУ № 14 "Накопление поврежденности, разрушение, изнашивание и структурные изменения материалов при интенсивных механических, температурных и радиационных воздействиях" и Ведущей научной школы НШ - 169.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Климов Д.М. Механика - фундаментальная основа инженерного дела и рационального природопользования // Вестник Российской академии наук. 2007. Т. 77 (5). С. 452-459.

2. Bunimovich A.I. On the shape of minimum-resistance solids of revolution moving in plastically compressible and elastic-plastic media // J. Appl. Math. Mech. 1987. V. 51. P. 386-392.

3. Yakunina G.E. On the optimal shapes of bodies moving in dense media // Doklady Physics. 2005. V. 50 (12). P. 650-654.

4. Forrestal M.J, Tzou D.Y. A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets // International Journal of Solids and Structures. 1997. V. 34 (31-32). P. 4127-4146.

5. Forrestal M.J., Altman B.S., Cargile J.D., Hanchak S.J. An empirical equation for penetration depth of ogive-nose projectiles into concrete targets // Intern. J. Impact Eng. 1994. V.15. < 4. P. 395-405.

6. Ben-Dor G, Dubinsky A., Elperin T. Numerical solution for shape optimization of impactor penetrating into a semi-infinite target // Computers and Structures. 2003. V. 81. < 1. P. 9-14.

7. Ben-Dor G, Dubinsky A., Elperin T. Shape optimization of an impactor penetrating into a concrete or a limestone target // Intern. J. Solids and Structures.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком