ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2015
УДК 539.383
© 2015 г. Коваленко Е.В.1, Буяновский И.А.2
О РАСЧЕТЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПАРЫ УПРУГИЙ ЦИЛИНДР-УПРУГИЙ СЛОЙ, АРМИРОВАННЫЙ ТОНКИМ ПОКРЫТИЕМ, ПО КРИТЕРИЮ ИЗНОСА
1 Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва 2Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Рассматривается плоская (случай плоской деформации) износоконтактная задача теории упругости о взаимодействии цилиндра и слоя большой толщины, армированного по границе тонким покрытием. Цилиндр скользит по поверхности покрытия с малой (достаточной для пренебрежения инерционными эффектами в контактирующих телах) скоростью, что приводит к изнашиванию их поверхностей. Задача сведена к решению нелинейного интегрального уравнения относительно неизвестного контактного давления и величины площадки контакта, зависящих от вдавливающей цилиндр силы. В случае мягкого по отношению к цилиндру и слою покрытия и абразивного характера износа, построены явные решения задачи в квадратурах. Обсуждаются варианты малого и большого износа покрытия. Отмечается, что предложенным методом может быть исследована контактная задача о вдавливании гладкого штампа в тонкое вязкоупругое покрытие, лежащее на жестком основании.
Пусть упругая полоса —Н < у < 0, |х| < да с характеристиками — модуль сдвига, V2 — коэффициент Пуассона лежит: либо 1) без трения на жестком основании, либо 2) сцеплена с ним. Предположим, что на верхней грани полосы покоится относительно тонкий упругий (С1, v1) слой (0 < у < h, |х| < да), жестко соединенный с ней (слой будем называть тонким, если безразмерный параметр X = ha-1 1, где 2a — участок за-гружения слоя). Допустим, что в границу у = h, |х| < да такой составной среды вдавливается силой P упругий v0) цилиндр радиуса R и движется вдоль нее в направлении оси Ох с достаточно малой для пренебрежения инерционными эффектами скоростью V. Заметим, что при постановке задачи можно считать полосу подвижной, а цилиндр (штамп) неподвижным (рисунок). При этом происходит износ штампа и покрытия (тонкого слоя). Все рассуждения далее будем вести в системе координат хОу, связанной со штампом, причем при решении задачи будем рассматривать его в сечении как слой большой толщины с защемленной гранью, противоположная граница которого слегка искривлена, т.е. безразмерный параметр г = Ra-1 §> 1.
Допустим, что 9: 92 ^ 1 (9, = 0((1 - , ;} = 1 2) и величина п = o(X), х ^ 0 (случай мягкого покрытия). Тогда, как показано в [1-3], напряженно-деформированное состояние покрытия можно моделировать уравнениями основания Фусса-Винклера [4]
V!(х, Н) = На!(х, Н) + V2(х, 0), 9 =
9 у
2 02 ( 1 - V 1 )
1 - 2 V ,
(1)
3 ПМ и НМ, № 4
65
где V1, V2 — компоненты вектора перемещений вдоль оси Оу; — внешнее нормальное напряжение, приложенное к покрытию.
Описывая упругие свойства второго слоя уравнениями Ламе в декартовой прямоугольной системе координат и используя интегральное преобразование Фурье по х, в согласии с (1), получим выражение для функции вертикальных перемещений точек верхней границы составного основания под штампом [4]
(х, h) = - hp (х) - 1 k( |x| < a, k (t) = =- J K(a) eia 'da, (2)
e v1
-a
где символ ядра K(a) является четной, положительной функцией на вещественной оси и имеет вид
_ ) cosh2a -1 ) 2k2sinh2a - 4a ( о „ ) .о,
K(a)a = ~Ttt-и K(a)a = ---2, (k2 = 3 - 4V2). (3)
sin h2a + 2a 2k2cos h 2 a + 4a2 + 1 + к2
Здесь p(x) = — ^ (x, h) (|x| < a) — контактное давление и учтено, что по толщине покрытия оно не меняется, причем на границе слоев касательные напряжения тху = 0. Если на границе слоев u2 = 0, что обеспечивает контакт слоев по горизонтальному перемещению, то в первой формуле (2) следует положить 92 = 4(1 — v2)G2 Kj1. Используя асимптотические свойства функций (3)
K(a) = A + O(|a|) (a ^ 0), K(a) = |a|-1 [ 1 + O(e~2'a|)] (|a| ^ + <») при A = 1/2 и A = 4(k2 - 1)/(к2 + 1)2
и значение интеграла
+<»
f cosat - e'a da = - in ,
a
a
GO
заключаем, что при ? ^ 0 справедлива оценка к(?) = О(1п|ф. При |?| > е > 0 функция к(?) непрерывна.
Для перемещения v0 (х, к) точек поверхности штампа по оси Оу в приближении теории Герца будем иметь выражение [5]
а
^(х>е) = ПГ0 + "о)е0 = ^, (4)
-а
где d0 = —0,396 при v0 = 0,1; d0 = —0,442 при v0 = 0,2; d0 = —0,527 при v0 = 0,3; d0 = -0,683 при v0 = 0,4.
Таким образом, отправляясь от формул (2), (4), запишем функцию для упругих вертикальных перемещений точек составного основания в форме
е к II
V (х, к) = — р(х) + ¥р, |х| < а, (5)
е
аа
рр = -ет2 /р(^) к(Н) ^ - пе- \р (5)(- 1п^г+^ (6)
-а -а
Далее необходима формулировка математической модели изнашивания. В соответствии с усталостной теорией износа для различных его видов, в частности, упругий контакт, интенсивность изнашивания пропорциональна давлению на поверхности трения [6]
Iо = 1рт, (7)
где 1 < т < 3, для приработанных поверхностей т « 1.
Скорость V0 и интенсивность изнашивания связаны зависимостью V0 = У1„, откуда 'V0 = 1Урт или, в общем случае,
V0 = ¡У'рт, (8)
где I — коэффициент; 5, т — показатели износа.
Условие контакта двухслойного основания и цилиндра вследствие изнашивания последних представим при у = к в форме
V (х, г) + V! (х, г) - v0 (х, г) = -
2-
5( г) - 2^.
, |х| < а(г), 0 < г< Т<», (9)
где 8(0 — функция сближения взаимодействующих тел, 2а(?) — неизвестная область контакта, знаки "е" и "м" означают соответствующие перемещения точек контакта вследствие упругости и износа соприкасающихся тел.
Используя формулы (5)—(8), из соотношения (9) получим интегральное уравнение для определения неизвестного контактного давления р(х, ?)
г г
5, г т,
ер(х, г) -= 8(г) - 2^ - ¡ХУН Jpml(x, х)^х - ¡()У" Jpmо(x, т)Л,
(10)
0
|х| < а (г), 0 < г < Т <да.
0
3* 67
Решение уравнения (9) должно быть подчинено следующим условиям:
а( г) а(г)
р(х, г) = 0 (|х| > а(г)), Р = | р(х, г)йх = 2 |р(х, г)йх. (11)
-а( г) 0
Первое (11) служит для нахождения зоны контакта цилиндра с основанием и, в силу четности функцииp(x, 0 по х, может быть записано при 0 < x < a(T) в виде
р(х, г) = 0 (х > а(г)). (12)
Второе (11) устанавливает связь между прижимающей силой Р и функцией 8(0. В общем виде систему (10)—(12) можно решить, если найти собственные функции оператора Фредгольма (6). Идея такого подхода содержится в работах [7, 8]. Однако, в
силу мягкости покрытия, т.е. 9921 1, 9901 1, интегральными слагаемыми в формулах (5), (6) логично пренебречь. Если же еще предположить, что износ покрытия и штампа носит абразивный характер (т: = m0 = 1), то уравнение (10) можно записать в
виде (/ = ¡У" + ¡1УН)
, г 2
9р(х, г) + I |р(х,т)йт = 8(г) - — (|х| < а(г), 0 < Т<<»). (13)
9 X 2Л
0
Отметим, что в случае постоянной силы Р, прижимающей штамп к основанию, область контакта 2a(t) монотонно возрастает с течением времени, т.е. а (0 > 0. В этом случае, как известно, существует обратная к а = а(0 функция t = г(а), а ее однозначность позволяет использовать величину а(0 в качестве временного параметра [9, 10]. Тогда равенство (13) дает возможность переписать интегральное уравнение (13) в виде следующей системы
9р(х, г) +1|р(х, т)йт = 8(г) -^ (0 <~г(х)< г < Т<»)
0 (14)
Г0, (0 < х < а0),
г (х) = <
[г(х), (а0 < х < а(г)),
где а0 = а(0), а г — время достижения границей области контакта в процессе изнашивания произвольной точки х = а(г), причемр(х, 0 = 0 при t < г.
Введем безразмерные переменные х* = хЕ-1, и = ШБт1, т* = т/9Е-1 и обозначим с(и) = а(0Е-1, п = с(т*), с0 = а0Е-1, е = НЕ-1, р*(х*, с) = р(х, 09-1, 8*(с) = 8(0Е-1, Р* = Р(9Е)-1, Т* = Т19Е1 (далее звездочку опустим). Это позволяет записать систему (14), второе условие (11) и условие (12) в форме (здесь вначале изучается случай малого износа покрытия, т.е. когда величина его соизмерима с упругими деформациями)
Г х2
ер(х, с) + |р(х,п)г'(п)йп = 8(с) - - (0 <х < С0), (15)
С
Ер(х, с) + |р(х, п)г'(п)йп = 8(с)-х (С0 <х<с),
(16)
Р = 2 (х, с)йх,
(17)
р (х, с) = 0 (х > с).
(18)
Из уравнения (16) при помощи соотношения (18) найдем 8(с) = с2/2 , откуда осадка основания под штампом изменяется во времени по закону
8[ с (г)] = 1 [ с (г)]2.
(19)
Продифференцируем теперь обе части уравнений (15) и (16) по с. Имеем
Ер'с(х, с) + р(х, с)г'(с) = 8'(с) (0 < х < с). (20)
Умножая уравнение (20) на йх, интегрируя в пределах от 0 до с, используя усло-
с
вие (17) и вытекающее из него равенство (х, с)йх = 0, запишем Рг'(с) = 2с8'(с).
3 3
Из этого соотношения следует, что z(c) = (2/3Р)(с3 — с0). Отсюда найдем
с = с( г) = с3 + 1,5 Рг.
Причем в согласии с уравнением (15) и выражением (19) получим
с0 = л/2^, 3еР = с0(680 - с2), 80 = 8(0).
(21)
(22)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (20), а затем удовлетворяя этим решением соотношениям (15) и (16), имеем
р[х, с(г)] = ^ехр(-:3р
П 3, 3 Р ) У13, 3Р
1 2 2 + 2(с0- х )
(0 < х < с0)
1 Р
рс ( г)] = -^7-еХР (---то
еА/ 12 V Е 3 Р
2с
2 2 с 3( г- (2 -2с-
п 3, 3 Р ) 3Р
(с0 < х < с).
(23)
(24)
В формулах (23), (24) у(а, в) — неполная гамма-функция.
В случае сильного износа покрытия, т.е. когда его величина соизмерима с толщиной покрытия, вместо (15), (16) запишем [10, 11]
х_
~2
(0 < х < с0),
Ер(х, с) + [ 1 -р(х, с)] |р(х, п)г'(п)йп = 8(с)-
с0
с х 2
Ер(х, с) + [ 1 -р(х, с)] |р(х, п)г'(п)йп = 8(с)- -2- (с0 <х < с).
(25)
с
х
с
0
0
с
х
Дифференцируя уравнения (24), (25) по с и избавляясь в полученном выражении от квадратур, имеем
0,5[2е - (с2 -х2Ж(х, с) + {с + [ 1 -р(х, с)]2г'(с)}p(x, с) = с (0 <х < с). (27)
Заменяя теперь р(х, с) в фигурной скобке его средним значением Р(2с)-1, а также используя условия (16), (17), получим после несложных преобразований уравнение для определения неизвестной области контакта с = с(?) штампа с покрытием (значение с0 дается формулами (21))
3(с4 - с4) - 4[(с - с0) - 2Р][с3 - с0 + 0,5Р(с2 - с0) + 0,5P(с - с0) - 0,375Pг] - P4 = 0.
Наконец, решение линеаризованного обыкновенного дифференциального уравнения (27) в согласии с линеаризованными уравнениями (25) и (26) примет вид
р[х, с(г)] = ехр
с(г)
А(с )
О (х, с)
с( г)
I с
ехр
- О (У ) -О (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.