РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 57, № 9, с. 1004-1011
^=К 100-ЛЕТИЮ Я.Н. ФЕЛЬДА =
УДК 621.396.67.01
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЙКОНАЛА В АПЕРТУРЕ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
© 2012 г. А. С. Венецкий, В. А. Калошин
Институт радиотехники и электроники им.В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7 E-mail: Avenetsky@yandex.ru Поступила в редакцию 28.02.2012 г.
Приведен вывод формулы, описывающей распределение эйконала в апертуре осесимметричной двухзеркальной системы при произвольном направлении смещения источника из фокуса. При этом второй фокус системы находится на бесконечности. Формула учитывает три члена разложения эйконала по степеням величины смещения источника. Проведен анализ точности полученной формулы путем сравнения результатов расчета эйконала в апертуре двухзеркальной апланатической системы Шварцшильда, полученных с ее использованием, с результатами точного геометрооптиче-ского расчета.
ВВЕДЕНИЕ
Осесимметричные двухзеркальные системы с одним из фокусов, расположенным на бесконечности, нашли широкое применение при построении оптических и радиотелескопов. Для получения изображения в реальном времени в современных телескопах используются матричные приемники [1]. При этом качество изображения определяется в первую очередь аберрациями эйконала при смещении приемного элемента из фокуса системы. Анализ аберраций можно провести, зная распределение эйконала в апертуре главного зеркала при смещении источника из фокуса. Это распределение можно получить прямым геометрооптическим расчетом. Однако даже при небольшом количестве элементов матричного приемника для анализа изображения потребуется достаточно большой объем вычислений. Еще больший объем вычислений необходимо выполнить при решении задач оптимизации.
Для анализа и оптимизации оптических систем широко используется классическая теория аберраций, основанная на разложении изображения по степеням смещения источника и точки наблюдения [2]. Соответствующий двумерный ряд можно эффективно использовать при анализе параксиальных лучей. Однако для широкоугольных систем возникает необходимость учета аберраций высоких порядков, что приводит к сложности соответствующих формул и, как следствие, к необходимости использования численных методов в задачах оптимизации.
В случае небольших смещений источника из фокуса системы для вычисления распределения эйконала в апертуре главного зеркала можно воспользоваться хорошо известной формулой для
двух первых членов разложения эйконала по степеням величины этого смещения [2]. Однако при увеличении величины смещения точность этой формулы резко падает. Кроме того, формула не описывает аберрации в апланатических системах, поскольку член при первой степени величины смещения в таких системах равен нулю.
В работе [3] была получена формула для трех первых членов разложения эйконала в апертуре главного зеркала осесимметричной двухзеркаль-ной телескопической системы с образующими второго порядка по степеням величины поперечного смещения источника из фокуса. В работе [4] был приведен краткий вывод формулы для трех первых членов разложения эйконала в апертуре главного зеркала осесимметричной двухзеркаль-ной телескопической системы с произвольными образующими по степеням величины поперечного смещения источника из фокуса.
В данной работе получена формула, описывающая три члена разложения эйконала в апертуре главного зеркала осесимметричной двухзеркаль-ной телескопической системы с произвольными образующими по степеням величин поперечного и продольного смещения источника из фокуса системы.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим осесимметричную двухзеркаль-ную систему с вынесенным из фокуса источником сферической волны, вид которой в двух плоскостях — плоскости продольного сечения (X2) и ортогональной плоскости (ХУ) показан на рис. 1, 2 для системы 1-го типа (типа Кассегрена) и 2-го типа (типа Грегори).
При расположении источника в фокусе О системы в апертуре главного зеркала формируется синфазный фронт. Предположим, что только один луч, выходящий из источника под углом а попадает в заданную точку А апертуры, т.е. обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между каждой точкой апертуры А и углом а выхода луча из источника О, которое описывается функциями отображения:
R = + = R(a), а = a(R). (1)
Пусть точка О1 с координатами (—SR, 0, —SZ) — положение смещенного источника. Предположим, что при смещении источника в точку О1 взаимнооднозначное соответствие точек апертуры и множества выходящих из О1 лучей сохраняется. При этом всегда существует луч, соединяющий точку О1 и точку А. Оптический путь (эйконал) вдоль этого луча равен сумме длин трех отрезков
Ф(А01) = \ABX\ + ¡BP] + \PlOl\. (2)
Будем искать разложение функции в ряд по степеням 8К и З^-.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЙКОНАЛА ПО СТЕПЕНЯМ ВЕЛИЧИНЫ СМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКА
При проведении дальнейших выкладок рассмотрим для определенности систему 1-го типа. Выберем систему координат XYZ с центром в фокусе О так, чтобы точка А имела координаты (ХА, 0, ZA). Тогда другие точки будут иметь координаты: В(ХВ, 0, ZB), Вх(ХВ + АХ, АУ, ZB + AZ), Р(хр, 0, 1г), Л(хР + Ах, Ау, + Аг), 01(-5х -Зу, О(0, 0, 0). При этом Хв = Ха, Zв = Р(ХВ), гР = ДХр), где Z = Р(Х и г = Дх) — уравнения образующих большого и малого зеркал соответственно, ЗХ = = 5део8ф, Зу=—З^зтф.
Выражение для эйконала (2) представим в виде
+
Ф(А0^ = Vax2 + AY2 + (ZB - ZA + AZ)2 + 4(XB - xP + AX - Ax)2 + (AK - Ay)2 + (ZB - zP + AZ - Az)2 + + V (xP + Ax + 5 X)2 + (Ay + 5Y )2 + (zP +Az + 5 Z )2.
(3)
С точностью до членов 3-го порядка малости по Ах, Ay, AX, АУможно записать
А Z = F'AX + А Y2 + Fb- дх2, B 2XB 2
Az = fP Ax + Ay2 + h- Ax2, 2x p 2
(4)
(5)
1 = t + Fb AX + 2 (1 + Fb') AX2 + i
/■ \ 1 + П
vt XBy
AY2
|BiPi| = d + (Ux + UzfP)Ax - (ux + UzFB)AX +1 x
(Uz - uxfP)2 + UzfP'
Ax2 +1
(
1 + ufi d x p
\
Ay2 +
v
+ 1
2
-(uz - UxFB)2 - UzFB
AX2 +1
f
\
+ 1 d
uxUz(fP + FB) - Uz2 - ulfPFB
1 - „Ü AY1 +
Kd zXb
AxAX -1 Ay AY, d
где здесь и далее ^ = F(Xв), = Р'(Хв), /Р =
=Д(хр), /Р = Д"(хр).
Величины Ах, Ау, АХ, АУ, входящие в (3), являются неизвестными. Заменяя в выражении (3) АДZ и Аг разложениями (4) и (5), разложим выражение для эйконала (3) в ряд по степеням АХ, А У, Ах, Ау, ограничиваясь членами второго порядка малости. Каждое из трех слагаемых в формуле (2) можно представить в виде
P1O1I = VA + QxxAx + QnAy + Qx2Ax2 + QY2Ay2,
где
Qx 1 =■
1
xp + fpfP + S x | -- (xp + fpfp . , 2 P V V P J
sin а
Qx 2 =
+ S z 1 Г
f- + (xp + fpfp )
cos а
2
2p
1 + П + fpfp -~2(xp + fpfp)' p
qy1 - ~ , qy 2 -
1 + fpfp x D
V p
Bi
Рис. 1. Система 1-го типа.
Рис. 2. Система 2-го типа.
A = р2 + 2xP 5 х + 2fP 5 z + 5х + 5у + b2Z, 4А = р + sin aSх - cos aSZ +
+ —(5 X cos2 a + S2 + S Z sin2 a + S X S Z sin 2a), 2P
p = op, d = \вр.
Суммируя полученные для слагаемых эйконала выражения и приводя подобные члены, можно записать
где
Ф(АО) = 4A + d + t + Ф^(Ах, Ay) + + Ф 2(Ax, AX, Ay, AY),
Ф i = (Sx i + Qx i)Ax + qnay + + (Sx2 + Qx2)Ax2 + (Sy2 + Qy 2)Ay2,
Ф 2 = MX iAX + MX2AX2 + MY2A Y2 + + Nx Ax AX + Ny Ay A Y,
(6)
S - i
Ох?—. .
2d
í
SX1 - uX + uZfP,
i + fp + duzfP - (ux + uZfP)2
sy 2 _ Y 2 2d
i + duzf£-
, Mxi = Fb(i - uz) - ux,
MX2 = ¿u - uxFB)2 + ^(1 - u,) + i 2d 2 2t
MY2 = — + (i - uZ) + Y 2 2d 2XB 2t
NX = i
uxuz(fp + FB) - u2 - uxfPFB
, ny = -i,
SX1 + QX i -
cos Ю
p cos(® - a)
(5 X cos a + 5 Z sin a),
2
cos Ю
2cos2(co-a)^ d p
Qy i -5y ,
SX 2 + QX 2 -
i + ^ ) - cos ю cos(® - a) fp,
sy 2 + qy 2 =
i + i
, mx1 = o;
Mx2 = ¿ + ¿ + FB cos2 p, 2d 2t
MY2 = — + - + cos2 в, y 2 2d 2t XB
Nx =-
cos Ю
й ео8(ю - а)
Используя принцип Ферма, неизвестные величины АХ, Д У, Ах, Ау можно найти из системы линейных уравнений, выражающих условие экстремума эйконала на истинной траектории
= 0; = 0; дФ= 0; дФ= о (7)
дАХ ЭАУ дАх дАу Решения этой системы имеют вид
t = \aB , uX = —sin(2P), uZ = —cos(2P) — компоненты единичного вектора u = BP/|Bp.
Для векторов u, p = OP/|Op = (xP/p, fP/p) = = (sina, —cosa), V = (0, —1), векторов нормалей и касательных в точках В и Р nB = (FB, -1), тB =
= (1, Fb), nP = (-^fj', 1), тP = (1, fp) справедливы очевидные соотношения
(u + v, tb) = 0, (u - v, nB) = 0,
(u + p, Tp) = 0, (u - p, nP) = 0,
которые в скалярной форме имеют вид
Ых + (uz - 1)FB = 0,
uxFb - uz - 1 = 0,
uX + sin a + (uZ - cos a)f'P = 0,
(uX - sin a)fp - uZ - cos a = 0.
Используя приведенные соотношения, а также равенства
fp = -tg(ro - a), Fb = -tgP,
можно преобразовать коэффициенты, входящие в Ф1 и Ф2:
Ax = ■
-2Мх 2(SX i + QX i)
4(SX2 + QX2)Мх2 - N2X
Ay = ■
-2My 2Qy i
4(Sy2 + Qy2)My2 - N2
AX = -
Nx
-Ax, A Y = -
Ny
-Ay.
2Мх2 2Мг 2
Подставляя найденные АХ, АУ, Ах, Ау в выражение (6) и ограничиваясь членами второго порядка малости по 8Х и 82, можно получить коэффициент при Ах2:
Ф(Аг2) = — (5х cos a + 5Z sin a)2 -2P
Mx 2(Sx 1 + Qx i)2
(8)
Ч?х2 + бх2)МХ2 - N2
Используя выражения для кривизны кривых в декартовой системе, знаменатель выражения (8) можно привести к виду
4(Sx2 + Qx2)Мх2 - NX
2
cos ю
d cos2^ - a) . 2Kb
1
LP
,_2KP.+if 1+d
cos ю t
\
d 2KP
P
t cos ю
(9)
cos p
1 + d I-d-
4KPK
рлв
cos ю cos p_
где
Kp = fp 3 = fP cos3(w - a),
(Ji+fp2 J
Kb =■
F-= FB cos3 p
— кривизна зеркал в точках Р и В, а ю и Р — углы между падающим и отраженным лучом в этих точках.
p
Q
O
N
Y
B
У
у
У
у
р1 \
\ / ю
/х
/О /
/
ю /
К/
/р -
ю
J = /(X)
X
ZA PQ = ZBPQ + ю = я/ 2 - ц/ 2 + ю,
ZQAP = п - (ZAPQ + ZBQP) = 2ц + у. Из теоремы синусов для треугольников APQ и APQ следует
PQ = AP^nh, Н = IpQ sin^AQP,
sin ZPQA 1 1 sin у
где у = ZQAP.
Из этих соотношений можно найти sin y cos(3/2 ц + y + ю)
A р| =
Учитывая,
iCos(w + у
= PQ-
sin(2(j, + y)cos(^/2 + y + ю) что siny
PQ =
(10)
V 2)
= PQ sin ZPQA =
1 Q |aP
eos ZQPP1
x
И
\4
Рис. 3. Отражение сферического фронта неплоским зеркалом.
Выведем соотношения между кривизной зеркал в точках пересечения с лучом и функцией отображения. Рассмотрим два луча, падающие из то
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.