ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. И. И. Блехман, Н.П. Ярошевич
О РАСШИРЕНИИ ОБЛАСТИ ПРИМЕНИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНОГО КРИТЕРИЯ (ЭКСТРЕМАЛЬНОГО СВОЙСТВА) УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ О СИНХРОНИЗАЦИИ
Путем использования метода прямого разделения движений обосновывается расширенная формулировка интегрального критерия устойчивости, позволяющая рассматривать как "простые", так и "непростые" случаи задач о синхронизации объектов с почти равномерными вращениями. На примерах показано, что результаты, найденные ранее методами малого параметра Пуанкаре и прямого разделения движений в процессе достаточно громоздких вычислений, можно значительно проще получить при использовании расширенной формулировки интегрального критерия устойчивости.
Исследование синхронизации существенно упрощается, а результатам удается придать более удобную форму, если справедлив так называемый интегральный критерий устойчивости синхронных движений [1-3]. Однако в задачах о кратной синхронизации и в ряде задач о простой синхронизации идентичных дебалансных вибровозбудителей в достаточно широком классе важных для приложений случаев (названных "непростыми") в том виде, как он был получен методом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова, интегральный критерий не позволяет найти значения фаз вращения роторов вибровозбудителей в устойчивых синхронных движениях [2-6].
На основе использования методов Пуанкаре и Ляпунова было установлено следующее замечательное свойство синхронных движений объектов с почти равномерными вращениями и ряда других динамических объектов [1-3]: устойчивые синхронные движения соответствуют точкам строгого грубого минимума некоторой функции й ("потенциальной функции"), так называемых порождающих параметров - начальных фаз вращений а1, ..., ак (в задаче о самосинхронизации - разностей фаз а5 - ак, где к - число вращений; см. ниже). В важных для приложений случаях потенциальных функция й представляет собой среднее за период вращений функции Лагранжа системы, взятое с противоположным знаком, а в других, несколько более частных случаях - функции Лагранжа колебательной части системы, т.е. системы с "остановленными" вращениями.
Путем использования интегрального критерия было доказано при достаточно общих предположениях наличие тенденции к синхронизации широкого класса объектов и решен ряд важных прикладных задач [2]. Экстремальное свойство синхронных ("резонансных") движений было установлено также для движений небесных тел (см., например [2, 7-9]).
Между тем существуют случаи, когда интегральный критерий в указанной форме не позволяет найти значения фаз в устойчивых синхронных движениях. Это относится, в частности, к задачам о кратной синхронизации вибровозбудителей в квазилинейных системах и ряду задач о синхронизации нескольких (более трех) идентичных вибровозбудителей [2, 4-6]. В этих случаях, названных "непростыми", функция й оказывается не зависящей от некоторых фаз, и поэтому ее минимум не является строгим.
Ниже показано, что интегральный критерий остается справедливым, если функция й вычисляется не на основе порождающего решения, а более точно - настолько, насколько это необходимо для установления ее строгого минимума.
1. Задача о синхронизации объектов с почти равномерными вращениями. Эта задача может быть сформулирована следующим образом [2, 3]. Рассматривается сис-
тема с обобщенными координатами ф5 (я = 1, ..., к) ("вращательные координаты") и иг (г = 1, ..., V) ("колебательные координаты"). Здесь предположим, что функция Ла-гранжа системы может быть представлена в форме
1 k 2
L = 2 X I*Ф2 + (ф' ф' и, и, юt) (1-1)
s = 1
а неконсервативные обобщенные силы, соответствующие вращательным координатам, в виде
Q% = - ks(Ф* - °s"s®) + 0*k*(ю* - «sffl) (1-2)
Здесь I*, k* и ю - положительные постоянные; о* = ±1, n* - целые положительные числа; ю* - так называемые парциальные угловые скорости вращения - угловые скорости вращений в случае, когда колебательные движения отсутствуют (ur = const).
В случае задачи о синхронизации роторов в форме (1.2) может быть представлена разность между моментом L*( ф*), вращающим *-й ротор, и моментом сил сопротивления R*( ф*). Предполагается, что уравнения движения системы могут быть записаны в виде
Ш + k*((*-о*п*ю) = цФ * =1'^'k (1.3)
Eur (L~) = Qur, r =1'...'V (1.4)
где Eq = dtdq - dq - эйлеров оператор, а Qq - неконсервативная обобщенная сила, соответствующая координате q,
цФ* = o*k*(a* - п*ю) - Еф*(L~) (1.5)
ц > 0 - малый параметр. Функции L~ и Qu могут зависеть как от обобщенных координат и скоростей, так и от времени т = юt, являясь 2п-периодическими по ф* и т; функции L~ и Qu могут зависеть от ц. Относительно гладкости функций делаются
предположения, обеспечивающие существование всех рассматриваемых ниже решений и разложений.
Соответствующие уравнениям (1.3), (1.4) порождающие уравнения (ц = 0) допускают семейство решений
ф0 = о* (п* ю t + а*) (1.6)
I •01
отвечающее равномерным вращениям с частотами | ср* | = п*ю и некоторыми произвольными фазами а*.
Задача о синхронизации состоит в нахождении условий существования и устойчивости решений уравнений (1.3), (1.4) вида
ф* = о*[п*юt + а* + ц^S^)(юt' ц)], ur = игр\юt, ц) (1.7)
где у*р) и иГр) - 2п-периодические функции т = ю^ Решение этой задачи методами малого параметра Пуанкаре - Ляпунова приведено, в частности, в книге [2].
2. Решение задачи методом прямого разделения движений. При решении задачи методом прямого разделения движений [3] решение уравнений разыскивается в форме
ф5 = as[nsюt + as(t) + ys(t, юt, ц)], ur = ur(t, at, ц)
(2.1)
где а/^) - "медленные", а у и иг - "быстрые" 2п-периодические составляющие (? - "медленное", а т = Ю - "быстрое" время, ю - "большой" параметр), причем
(ys(t, юt, ц)} = 0, <ur(t, at, ц)} = 0
(2.2)
а угловые скобки означают осреднение по т за период 2п. Предполагается также, что
as ^ nsю
(2.3)
Система (1.3), (1.4) сводится к следующей системе интегродифференциальных уравнений для переменных а5, у и иг:
Ьа s = - к А s + <ф5) (2.4)
s = - ks¥s + ца5(ф - <ф5})
Eu. (L) = Q-
(2.5)
(2.6)
Согласно методу прямого разделения движений для получения уравнений медленных движений в первом приближении, справедливых, по крайней мере, в окрестности стационарных режимов as = const, достаточно найти приближенное асимптотически устойчивое периодическое решение уравнений быстрых движений (2.5), (2.6) при постоянных ("замороженных") as, as и t и воспользоваться им при вычислении среднего
в правых частях уравнений (2.4); обозначим такое решение через у* , u* и соответственно через ф* . Тогда придем к следующим уравнениям медленных движений:
IsCLs + ksas = Ц^<[Ф]*}, s = 1,..., к
(2.7)
Квадратные скобки со звездочкой указывают, что заключенная в них функция вычислена для решения у* , и* . Введем функцию
Л~* = UL~U
(2.8)
и вычислим производную этой функции по а^. В результате несложных преобразований, включающих интегрирование по частям при учете равенств (1.4) и (2.1), находим
ЭЛ~* d<[L! }
da,.
da,.
s = 1
rdL i
1_Эф sJ
Эф *da/
rdL i
L^sJ
дф* * d a
I
r = 1
rdL и du* rdLi
_dur_ -d a , *. ur
* daV
=- K[ ^( 1[ Eur( )^da)=
s = 1
r = 1
(2.9)
- a<[Еф((L.)l } - £ [Q
- = 1
du* ] —-
* d a
s = 1
- I as [ Еф( L~)]
d-ч
* d a
V
+
к
V
Полученное соотношение может быть значительно упрощено. Прежде всего заметим, что в его правой части множитель при о5 под знаком последней суммы при использовании равенств (1.5) и (2.2) может быть представлен в форме
)]*1а) = -»,а» - цф^Щ) = -^ф^) (2.Ю)
Поскольку, согласно соотношениям (2.5) и (2.2), у* = у0 + цу*1*1 + • • •, где у0 = 0, то
этот множитель имеет порядок ц2 и, как правило, последняя сумма в равенстве (2.9) может быть отброшена. Исключение составляют особые случаи, когда в остальных слагаемых соотношения (2.9) существенны члены того же порядка; предполагаем, что такие ситуации не имеют места. В частности, это справедливо при решении рассматриваемых ниже задач о двукратной синхронизации, когда функцию достаточно вычислять с точностью до членов порядка не выше ц. Далее заметим, что согласно соотношениям (2.1) и (2.3)
<Т*> = 2ь<ф52) = 1 ь<[п*а + а*(г) + у*]2>» 2^<[п*а + У*]2> = 1<У2> + С (2.11)
где С - не зависящая от а* величина. Поэтому также с точностью до членов порядка ц2 дЛ_* ДЛ,
= с-л* (2.12)
да ] да ^
Наконец, поскольку согласно представлениям (2.1) функции а* входят во все соотношения только в комбинации п*а + а *, то вследствие соотношения (2.3) можно опустить звездочку в равенствах (2.9), (2.10) и (2.12). В результате уравнения медленных движений (2.4) могут быть представлены в форме
/5а* + к*а, = -дО-, * = 1.....к (2.13)
das
где
v I д '
D = -(Л+B)' da = -+ Х([Q-r]дт) (2-14)
причем D - потенциальная функция, а B - так называемый потенциал осредненных неконсервативных обобщенных сил, соответствующих колебательным координатам (предполагается, что такой потенциал существует).
3. Расширенная формулировка интегрального критерия. Из уравнения (2.13) непосредственно следует (см., например [10]) справедливость, при сделанных выше предположениях, расширенной формулировки интегрального критерия (экстремального свойства) синхронных движений объектов с почти равномерными вращениями (речь идет об асимптотической устойчивости в малом в задаче о внешней синхронизации и об асимптотической орбитальной устойчивости в задачах о самосинхронизации [1-3]): устойчивые синхронные движения объектов соответствуют значениям фаз as = const, которым отвечают строгие грубые минимумы потенциальной функции D = D(a1, ..., ak) (в задаче о самосинхронизации D = D(a1 - ak, ..., ak _ 1 - ak), и речь идет о минимумах по разностям фаз as - ak); при этом в отличие от прежней формулировки функция D может вычисляться не обязательно в порождающем приближении (ц = 0), а с любой точностью по ц с двумя оговорками:
1) дополнительно предполагается медленность изменения а5 по сравнению с и малость а5 по сравнению с я5ю, т.е. а5 < и а5 < п5ю;
2) выражения (2.10) и (2.11) должны быть малыми более высокого порядка, чем слагаемые,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.