научная статья по теме О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 3, 2015

УДК 531.36

© 2015 г. A. П. Иванов О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

Обсуждаются свойства положений равновесия механических систем с кулоновым трением. Проводится сравнительный анализ различных определений понятия равновесия. Показано, что принципы виртуальных перемещений и наименьшего принуждения могут быть обобщены на задачи статики с трением. Рассмотрены определения устойчивости по Ляпунову и Хиллу; второй подход имеет в данных задачах определенные преимущества. Для иллюстрации полученных результатов и выводов рассмотрен ряд механических примеров.

1. Введение. Понятие равновесия в общем означает отсутствие движения. Многочисленные примеры доставляют окружающие нас предметы, большинство из которых покоится. В знаменитой работе Архимеда "О равновесии плоских фигур" были заложены основы статики. Современная статика базируется на принципе виртуальных перемещений, сформулированном для частных случаев Галилеем (1655) и в общем случае И. Бернулли (1717). Этот принцип дает необходимые и достаточные условия равновесия механической системы с идеальными связями. Следовательно, для таких систем всегда можно сказать однозначно, покоятся ли они или начинают движение.

Первый значительный шаг на пути распространения общих принципов теоретической механики на системы с трением был сделан Джеллеттом [1], продемонстрировавшим, в частности, парадоксальность статики при наличии сухого трения. Он привел ряд примеров, когда равновесие возможно наряду с началом скольжения. В связи с этим были введены два понятия: обязательное и возможное равновесие. Для каждого из них Джеллетт сформулировал принцип виртуальных перемещений. Следует отметить, что он считал невозможными парадоксы в системах с трением скольжения. Это мнение было опровергнуто Пэнлеве [2]. В отличие от книги Джеллетта, результаты Пэнлеве вызвали широкий резонанс в научном сообществе, и теперь любой пример несуществования или неединственности решения в системе с трением обычно называют "парадоксом Пэнлеве".

Позднее Беген показал [3], что неединственность не устраняется и при учете упругости контактирующих тел. Более сложный пример неединственности равновесного решения был представлен Лотстедом [4]: для жесткого стержня, соприкасающегося с опорой, могут одновременно существовать три решения: покой, скольжение и отрыв от опоры! Было показано [5, 6], что для достаточно малых значений коэффициентов трения парадоксы невозможны. Более строгие необходимые и достаточные условия регулярности были получены автором [7].

Другой источник неоднозначности в системах с трением — избыточные связи, приводящие к статической неопределимости. Соответствующие вопросы обсуждены в статьях разных авторов [8—12].

С практической точки зрения, наиболее важное свойство положения равновесия — это его устойчивость. Взяв начало со знаменитого принципа Торричелли (1644) и теоремы Лагранжа (1788), теория устойчивости затем получила выдающееся развитие. Благодаря огромному числу работ, включая труд Ляпунова (1892) и KAM-теорию, ста-

ло возможным проведение более-менее полного анализа устойчивости в гладких динамических системах. В то же время устойчивость при наличии сухого трения куло-новского типа пока остается нерешенной проблемой для исследователей.

В данной статье рассматриваются два подхода к определению устойчивости в системах твердых тел с сухим трением. Наряду с классическим определением Ляпунова практический интерес представляет понятие устойчивости по Хиллу, основанное на энергетических соображениях.

2. Различные определения равновесия. Обычное определение из учебника таково: система частиц находится в статическом равновесии, если каждая из них покоится, причем сумма сил, приложенных к каждой частице, равна нулю. В терминах кинематики это равносильно требованию равенства нулю всех скоростей на произвольном интервале времени. Как отметил Лагранж в своей знаменитой "Аналитической механике", основная трудность при отыскании положений равновесия состоит в определении виртуальных перемещений (или виртуальных скоростей) в соответствии с характером данной системы. Для преодоления этой трудности Лагранж ограничился случаем систем с идеальными геометрическими связями. Он вывел формулу, известную сейчас как принцип Даламбера—Лагранжа и имеющую вид

X (Б - ща,) = 0 (2.1)

I

где Б} — сумма активных сил приложенных к ;-й частице, ш1 и а, — масса и ускорение ;-й частицы, 8г, — ее виртуальное перемещение, согласующееся с (идеальными) связями. В применении к статическому равновесию эта формула упрощается:

X Б/бг, = 0 (2.2)

I

Соотношение (2.2) называется принципом виртуальных перемещений. Весьма важно, что он дает необходимое и достаточное условия равновесия при наличии идеальных связей и достаточной гладкости системы. Это можно обосновать при помощи теоремы Коши, записывая систему (2.1) в форме уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. Таким образом, в данном случае понятие равновесия определено корректно. Заметим, что силы Б, в формуле (2.1) предполагаются известными функциями от

г,, и, = г, и t. В выражении (2.2) они вычисляются в положении равновесия г,0, и,0 = 0.

Допустим теперь, что в системе имеется трение, т.е. некоторые наложенные на нее связи неидеальны. Тогда справедливость формул (2.1) и (2.2) зависит от характера трения. Если сила трения не зависит от нормальной реакции (как в случаях вязкого и гидродинамического трения), ее можно просто включить в состав заданных сил Б . При этом и соотношение (2.2) не изменится. Ситуация радикально меняется при наличии кулонова трения, характеризующегося зависимостью от нормальной реакции:

|Т,| < при и = 0; Т, = -ц, при и * 0 (2.3)

К классическим формулам (2.3) следует добавить следующее соотношение, описывающее начало скольжения:

№ .

Т, =-ц, -ЧМ,| при и = 0, * 0

(2.4)

O

Фиг. 1

В системах с трением Кулона принципы (2.1) и (2.2) уже не действуют. Более того, в некоторых случаях нарушается фундаментальный принцип детерминизма Ньютона-Лапласа.

Пример 1 [1]. Рассмотрим частицу M, связанную жестким невесомым стержнем с неподвижной точкой O и покоящуюся на вертикальной шероховатой плоскости (фиг. 1). Пусть C — проекция точки O на плоскость, и частица может двигаться по окружности с центром в этой точке. Тогда, помимо трения, имеются три силы, действующие на частицу: вес P, направленный вертикально, нормальная реакция плоскости N и реакция стержня R, направленная вдоль OM. Обозначим Р = ZMOC, 0 = ZMCY и разложим перечисленные силы на проекцию на плоскость и нормальную составляющую. Нетрудно видеть, что первая из этих компонент выражается формулой

Q2 = P2 + R2 sin2 р-2PR sin р cos 0 (2.5)

и при равновесии должна уравновешиваться силой трения, откуда |Q| < p.N. Требование уравновешенности нормальных составляющих приводит к равенству

N = R cos Р (2.6) Следовательно, равновесие возможно, если для некоторого значения R

P2 + R2 sin2 р- 2PR sin р cos 0 < ц2R2 cos2 р Данное неравенство имеет решение, только когда выполнено условие

sin 0<ц ctgp (2.7)

Исследуем теперь возможность начала скольжения частицы с нулевой начальной скоростью и некоторым ускорением. В этом случае сила трения имеет вполне определенное направление — вдоль касательной к окружности в точке M. Баланс сил в проекции на направление CM выражается равенством

P cos 0 = R sin р (2.8)

которое следует добавить к формуле (2.6). При скольжении имеем

цN < P sin 0 (2.9)

\ 0

11

. г

F

Фиг. 2

Подставляя выражения (2.6) и (2.8) в неравенство (2.9), получим условие начала скольжения в виде

цctgp < tg0 (2.10)

Поскольку sin 0 < tg9, оба неравенства (2.7) и (2.10) выполняются для некоторых значений ^. В этом случае невозможно сказать с определенностью, будет ли частица покоиться или начнет движение. В этом суть парадокса Джеллетта.

Определение 1 [1]. Обязательное равновесие — такое положение, что помещенная в него с нулевыми скоростями система останется в этом положении неограниченно долго. Возможное равновесие — такое положение, что в него можно поместить систему с нулевыми скоростями так, что она останется в нем неограниченно долго, а также так, что она начнет движение.

Таким образом, всякое статическое равновесие будет либо возможным, либо обязательным. В примере 1 условие обязательного равновесия выражается неравенством, противоположным (2.10), тогда как условия возможного равновесия включают неравенства (2.7) и (2.10).

Пример 2 [4, 13]. Рассмотрим жесткий стержень, соприкасающийся с опорой. Внешние силы имеют равнодействующую F, приложенную в точке контакта C (фиг. 2). Очевидно, что для статического равновесия необходимо выполнение неравенств

\F%\<v\Fn\, Fn < 0 (2.11)

где FT и Fn — касательная и нормальная составляющие силы F. Простые рассуждения убеждают в возможности отрыва стержня от опоры при выполнении определенных условий. Действительно, приложенная сила в отсутствие опоры приводит к движению центра масс стержня, а также его вращению. Ускорение w точки C будет суммой двух векторов:

w = - F +-(F, u)u, к = 1—

m m р2

где m — масса, I — полудлина, р — радиус инерции стержня, u = (cos 9, sin 9) — единичный вектор, ортогональный стержню. Отрыв возможен, если

mwn = Fn +к (F, u) Un > 0

N1 N2 N3 F

д д д

Фиг. 3

что равносильно неравенству

А > 1 + к cos2 9 (2.12)

|Fn| к sin 9 cos 9

Следовательно, при выполнении обоих условий (2.11) и (2.12) положение равновесия будет лишь возможным, но не обязательным. Более того, при этом имеется и третья возможность — начало скольжения [4]. Обязательное равновесие соответствует неравенству, противоположному (2.12). Отметим, что неопределенность возникает при условии

ц> 1 + к cos2 9 (2.13)

к sin 9 cos 9

Минимальное значение правой части этого неравенства равно 2к-1Vl + к. К примеру, для однородного стержня к = 3, и критическое значение равно 4/3.

Замечание. В рассмотренных примерах система была статически определимой, тем не менее неоднозначность решений возникает вследствие асимметрии распределения масс. В свою очередь, в статически неопределимых системах та

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком