При небольших скоростях потока жидкости можно полагать, что преобладает процесс послойной эрозии. В литературе [1, 4, 6—12] приведен целый ряд соотношений эмпирического и полуэмпирического характеров для скорости утончения биопленки (в отсутствие источника питания микроорганизмов), большинство из которых можно представить формулой:
а Ь
а ^ 1
(1)
в
1 , 2 а г
/ _
5
'К-
-5~Х/
с граничными условиями
а 5Г
2 = "07 = г =
=
(2)
(3)
Скорость производства активной биомассы в каждой точке биопленки пропорциональна скорости биохимической реакции и равна скорости отмирания микроорганизмов, которая, в отличие от [4, 17], взята, как и в [14-16], пропорциональной квадрату концентрации активной биомассы:
Уд
К+5:Х = Х
(4)
X так же как и 5/, распределена поперек биопленки.
Из уравнений (2) и (4), получим
в
°25/ _ д2У( ^ 42
1 а г2
Ь \К + 5
(5)
где коэффициент эрозии г возрастает при увеличении скорости обтекающего пленку потока.
Смыву биопленки противостоит непрерывное продуцирование биомассы по всей толщине биопленки пропорционально скорости биохимической реакции. Это положение, в развитие [13-17], лежит в основе представленного математического моделирования.
Биотехнологические аппараты, где рабочим органом являются биопленки, весьма распространены и приобретают все большее значение [5]. Для оптимизации функционирования аппаратов и технологий важную роль играет обеспечение стабильности, что связано с изучением характеристик стационарного состояния биопленки и является предметом нижеследующего исследования.
математическая модель биопленки
Баланс между поступлением и потреблением субстрата в биопленке с учетом кинетики Миха-елиса-Мэнтен [4, 18] в стационарном состоянии выражается уравнением
Решение уравнения (5) должно отвечать условиям (3), где толщина биопленки определяется равенством скоростей образования биомассы по всей толщине биопленки и ее уноса. С учетом (4) это приводит к уравнению:
(Уд)2 г(
Ьр Дк + 5
= гЬ/.
(6)
В (6) предполагается, что отмершие микроорганизмы остаются внутри биопленки и не влияют на скорость образования активной биомассы.
Таким образом, решение уравнения (5) для концентрации субстрата с краевыми условиями (3) зависит от толщины биопленки, которую можно определить из интегрального уравнения (6); где подынтегральная функция зависит от решения (5) с условиями (3). Искомыми величинами из уравнений (5) и (6) являются толщина пленки Ь/ и величина потока субстрата в пленку (т.е. эффектив-
05
ная скорость реакции) J = В г —^
а г
. Введение
следующих безразмерных переменных 5 = --,
К
г х уд24 л гЬр „
х = —, о = - ------ и параметров А = —е-, «V =
Ь/ ЬКВ/ (Уд)2 Ь
51
= — приводит систему (5), (6) с граничными усло-К
виями (3) к виду:
5
0-5 = о
0х2 V1+ 5
х = 0, = 0; х =1, 5 = 5Г, ' 0х '
КI
5
5
0х - А = 0.
(7)
(8)
(9)
Из (4) следует, что локальная концентрация активной биомассы зависит от концентрации субстрата в этой же точке. Распределение концентрации субстрата в биопленке происходит согласно уравнению диффузионной кинетики (2), вследствие чего
Интегрируя (7) с учетом краевых условий (8) и уравнения (9), получим:
05
ах
= 5А.
(10)
х = 1
Ь
0
0
С другой стороны, безразмерный градиент концентрации субстрата в биопленку
можно запи-
сать как
где
dS
d x
W =
= V6W,
(11)
x = 1
bDf dSf
z = L f
V KYq2 d z Сравнивая (10) и (11) получим:
W = áT§.
(12)
(13)
SL
1 + S,
, что представляет собой максимально
возможное значение параметра эрозии АИт. При
Á - Á1im -
SL
1 + S,
решения стационарной задачи
5 Уд Ьг
ки о > 2—£ или в размерном виде 2 Df — < < —т—,
ьг Ь
очевидно отражающий малость притока субстрата через границу биопленки относительно скорости ее переработки) решение уравнения (7) с краевыми условиями (8) имеет вид:
W = 21 1 + S, -
1
1 + S,
- 21n (1+ Sl )
(14)
и соответственно из (13) и (14) следует:
5 =
2 (1+ sl -■¡-+!Т-21П (1+ sl ))
(15)
Решение уравнения (7) с условиями (8) можно найти независимо от уравнения (9), а соотношение (13) может служить, либо для определения безразмерной толщины пленки л/б, либо для нахождения зависимости потока концентрации ¥ от А и 5Ь.
В уравнении (9) можно предугадать следующее свойство. Если скорость заполнения биопленки субстратом за счет диффузии много выше скорости переработки субстрата биореакцией, то 5 —- и интеграл в уравнении (9) равен
Формально, это решение существует при всех и А, т.е. в нем не отражено свойство обращения в нуль ¥ и б при некоторой конечной интенсивности эрозии А = АЦт.
Для построения решения при А ~ АЦт линеаризуем, как в [16] в уравнении (7) источник:
< S)
(1 + < S))
S, где < S) = | Sdx.
А
Тогда из (9) следует, что (5) = -— , а урав-
1-já
нение (7) принимает вид:
<12 5 х „ d х
(16)
не существует. Ниже будет показано, что при А —► АИт толщина биопленки и поток субстрата в нее одновременно обращаются в нуль.
приближенные
аналитические решения
Анализ протекания биохимической реакции в биопленке показывает [14-17, 19], что можно выделить два случая: первый - биопленка имеет такую толщину, что реакция фактически происходит в приповерхностном слое (ненасыщенная биопленка) [16], обращенном к жидкости; второй - достаточно тонкая биопленка полностью насыщается субстратом, и реакция идет по всей толщине биопленки (насыщенная биопленка) [16].
Ниже будет показано, что комбинация решений задачи для указанных случаев позволяет полностью охватить исследуемую область в которой необходимо найти функции ¥(5^, А) и 5(5^, А) в широком диапазоне изменения параметров и А.
Для асимптотически большого 5 (фактически, как выяснено в [18], критерий ненасыщенной биоплен-
где 5Х = бТА (1 - ТА).
Решением уравнения (16) с краевыми условиями (8) является функция
S=
S,
сМД)
± (75 x),
(17)
градиент функции в точке х = 1 равен = 1И (70), который приравняем к ^5
5!
x = 1
А, полученным из (11). Вытекающее (1-7А)
из этого равенства уравнение для определения
толщины биопленки
th(75) 1 JA
стим для 5Х < 1, заменив
Д SL ( 1-JA )
th(75) i
75 ■ + 51/3
упро-
и, пе-
о
x = 1
¥
10.0000 1.0000 0.1000 0.0100 0.0010
г&ФЩ 1
а
о 1 2
-3
0.0001 0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000
л
Рис. 1. Зависимость потока субстрата в биопленку от эрозионной константы (в безразмерных переменных): 1 - вычисления по (19), 2 - (14), 3 - численное решение краевой задачи; значения а - 0.1, б - 1, в - 10.
рейдя от 81 к 8, получим в результате следующее соотношение:
3 ST
8 =
1-лД
( St +1 )
A (1-JA)
(18)
Выражение для безразмерного потока субстрата в биопленку будет иметь вид:
¥ =
3 St
1-JA
( St +1 )
(1-JA)
A.
(19)
Sa5 1000.0
100.0
1 2 3
10.0
0.0001 0.0010 0.0100 0.1000
Рис. 2. Зависимость толщины биопленки от эрозионной константы (в безразмерных переменных). 1 - вычисления по (18), 2 - (15), 3 - численное решение краевой задачи; значения а - 0.1, • - 1, в - 10.
Если в (18) или (19) приравнять нулю левую часть, то получится выражение для предельного параметра эрозии:
^2
A lim
(-ST-)2.
11+ SL)
(20)
1.0000 10.0000 л
Если A > Alim, то при заданной концентрации субстрата биопленка не в состоянии продуцировать достаточное количество биомассы для того, чтобы противостоять эрозии, и как следствие этого, биопленка полностью разрушается.
обсуждение результатов
На рис. 1 и 2 приведены расчеты функций ¥(SL, A) и 8(Sl, A) на основе решения краевой задачи вместе с приближениями по формулам (14), (15) и (18), (19). Видно, что приближенные решения в области их применимости хорошо аппроксимируют численные кривые: при этом формулы (14), (15) при A значительно меньших Alim, формулы (18), (19) при A —- Alim.
Оценку для смены решений при некотором переходном значении A - Atr можно сделать, заметив, что область применимости формулы (18) относительно узка. Введя переменную y = 1 - ,
Alim
разложим правые части формул (15) и (18) с точностью до линейного члена по малому y и приравняем их:
2 ((1+ Sl ) - (1+ Sl ) 1 - 2 ln (1+ Sl ))
A 2
lim
3 ST
Alim( 1 - Alim)
У •
Для границы смены применимости решений имеем [аналогично (для формул (14), (19)]:
А*т АНт1 1
(21)
симирована простой функцией А(г = что показано на рис.3.
(5 ь + 2 )
(5 ь + 4 У
А, =
5ь
5
(22)
хорошо аппроксимирует равенство (21), что показано на рис. 3 точками кривой в.
При переходе через границу отсутствует непрерывный переход одного решения в другое: скачок между вычисленными значениями кон-центрационнного потока в биопленку по разные стороны от кривой б (21) достигает 15%. Поскольку переходная область 2 на рис. 3 узкая, то наиболее важной является область 3, для которой скорость переработки субстрата в биопленку выражается (14), записанным в виде:
J =
2 У ^
51
К
51
1+"_1 - 1+"-1 -1п !+"-!
К
51
К
(23)
А 1.0
2((1 + 5 ь) - ( 1 + 5ь)21п( 1 + 5ь)\( 1 - АИ,У 5
где АЦт выражается формулой (20).
При 5ь —► 0 получим после простых преобразований А(г —- ~0.6АЦт, и А(г —- 1 при 5ь —► га. Кривая уравнения (21) может быть хорошо аппрок-
На рис. 3 в плоскости координат параметров 5ь и А показаны теоретическая кривая а (20), отделяющая область невозможности существования стационарной задачи, и сплошная кривая б, соответствующая (21) и разделяющая области смены решений (15) и (18). Сверив (21) с численными расчетами, границы могут быть незначительно уточнены. Простая формула
1.0 10.0 100.0 1000.0
SL
Рис. 3. Область применимости полученных приближенных аналитических решений: а - теоретическая кривая (20), б - соответствует (21), в - кривая (22). 1 - область, в которой не существует решения задачи (7)-(9); 2 - область применимости (18), (19); 3 - область применимости (14), (15).
Толщина пленки обратно пропорциональна коэффициенту эрозии:
ь = дУ
-3/2
гр
■ х
X
2 KD,
1+I1 -
'+Ю -'п (1+ 'Г
(24)
Из рис. 1-3 следует:
в случае субстрата с высокой концентрацией питательных веществ (5ь = 5Х/К >10 ) следует ожидать высокой скорости потребления субстрата и большой толщины биопленки, способной противостоять достаточно сильной эрозии, вплоть до
(Уд)"
ь р
. При минимальном превышении этог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.