АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 1, с. 32-39
УДК 521.14
О РАЗЛОЖЕНИИ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ В СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЕ ПЛАНЕТЫ
© 2013 г. М. А. Вашковьяк1, С. Н. Вашковьяк2, Н. В. Емельянов2, 3
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия 2МГУим. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия 3Парижская обсерватория, Институт небесной механики и вычисления эфемерид, Франция
Поступила в редакцию 26.01.2012 г.
Предложено специальное представление вековой части возмущающей функции взаимного притяжения спутников. В отличие от известных, оно имеет единую аналитическую форму для любого соотношения между большими полуосями орбит возмущаемого и возмущающего спутников. Полученное выражение представляет собой частичную сумму степенного ряда по малым эксцентриситетам и плането-экваториальным наклонениям спутниковых орбит. Эта сумма содержит слагаемые до четвертой степени включительно относительно указанных малых параметров. Проведено сопоставление предложенного и одного из известных разложений вековой части возмущающей функции.
DOI: 10.7868/S0320930X1301009X
ВВЕДЕНИЕ
Разработка аналитических теорий движения планет и спутников была и остается актуальной задачей небесной механики. Возможность получения приближенного аналитического решения уравнений движения системы небесных тел обусловлена наличием ряда малых параметров в конфигурациях орбит. В задаче о движении больших планет и в задачах о движении главных спутников Юпитера, Сатурна и Урана основой является модель возмущенных кеплеровских движений нескольких малых тел вокруг главного притягивающего центра по орбитам с малыми эксцентриситетами и малыми взаимными наклонами. Основная проблема состоит в учете взаимного притяжения малых тел, поскольку для главных спутников возмущения от нецентральности гравитационного поля планеты и возмущения, обусловленные притяжением Солнца, оказываются на несколько порядков меньшими. Наибольший интерес представляют вековые возмущения элементов орбит. Теория вековых возмущений описывает эволюцию орбит на больших интервалах времени и служит нулевым приближением при построении более точных теорий движения планет и спутников. Вековые возмущения получаются в первую очередь из вековой части разложения возмущающей функции, не зависящей от средних долгот тел. Аналитический метод исследования вековых возмущений предполагает отсутствие соизмеримостей низших порядков средних движений спутников. Классики небесной меха-
ники Лагранж и Лаплас построили теорию возмущений, обусловленных вековой частью возмущающей функции, в которой не используется факт малости масс тел по сравнению с массой центрального притягивающего центра. Платой за такое обобщение оказалась необходимость разложения возмущающей функции по степеням малых эксцентриситетов и малых взаимных наклонов орбит и отбрасывания членов четвертой и более высоких степеней. Для полученных таким образом уравнений движения больших планет Лагранж и Лаплас нашли точное решение. В этом решении эксцентриситеты и наклоны орбит остаются малыми на бесконечном интервале времени.
Долгое время теория вековых возмущений Лагранжа—Лапласа не находила других применений. Однако в 1987 г. была построена новая аналитическая теория движения главных спутников Урана, в которой вековые возмущения учитывались строго в рамках теории Лагранжа—Лапласа (Laskar, Jacobson, 1987). Созданная модель движения спутников Урана почти 20 лет оставалась для них самой точной и соответствовала точности имеющихся наблюдений. В 2008 г. методом численного интегрирования уравнений движения была создана более точная модель движения главных спутников Урана (Lainey, 2008). Однако это уже другая тема.
Что касается аналитической теории движения главных спутников этой планеты, то прогресс в точности получения вековых возмущений упирается в необходимость учета в разложении вековой
части возмущающей функции членов четвертой степени относительно малых эксцентриситетов и взаимных наклонов орбит. Такие члены получены для задачи взаимных возмущений системы малых тел (планет или спутников) и опубликованы в статье (Ellis, Murray, 2000). Результаты воспроизведены также в монографии "Динамика Солнечной системы" (Мюррей, Дермотт, 2009).
Заметим, что в рассматриваемой задаче наклоны орбит обычно отсчитываются от некоторой плоскости, относительно которой эти наклоны малы. В качестве такой плоскости в разных случаях берется либо плоскость Лапласа, перпендикулярная вектору момента количества движения системы, либо плоскость экватора планеты, вблизи которой расположены плоскости орбит спутников.
Особенность работы Ellis и Murray (2000) состоит в том, что полученные громоздкие формулы представлены в двух различающихся вариантах: для случая, когда возмущающее тело является внешним по отношению к возмущающему, и для случая внутреннего возмущающего тела.
В данной работе решена задача вывода формул, представляющих разложение вековой части возмущающей функции с точностью до четвертых степеней эксцентриситетов и наклонов орбит независимо от того, каким является возмущающее тело по отношению к возмущаемому, внешним или внутренним. Заметим, что слагаемые, содержащие четвертые степени эксцентриситетов и наклонов только возмущающего тела, даже не понадобились, поскольку после подстановки возмущающей функции в уравнения движения эти слагаемые пропадают при ее дифференцировании. Это обстоятельство дополнительно сокращает объем формул.
Так же, как и в классической теории Лагран-жа—Лапласа, мы используем элементы Лагранжа. Разложение вековой части возмущающей функции ведется по степеням этих элементов. Заметим, что учет членов четвертой степени относительно элементов орбиты возмущаемого тела, в отличие от теории Лагранжа—Лапласа, приводит к необходимости решать нелинейные дифференциальные уравнения.
Первым этапом намеченной разработки явилось получение аналитического выражения силовой функции материальных гауссовых колец, моделирующих почти компланарную систему слабоэллиптических спутниковых орбит (Вашковьяк М.А., Вашковьяк С.Н., 2012). Или (другими словами) — получение возмущающей функции, осредненной по движению всех возмущающих тел. На втором этапе, описанном в данной статье, выполнено завершающее осреднение возмущающей функции взаимного притяжения по движению возмущаемого спутника.
Рассмотрим систему, состоящую из произвольного числа спутников J с массами m. (j = 1, 2, 3, ..., J), обращающихся вокруг центральной планеты массы m0 > m. вблизи ее экваториальной плоскости по почти круговым орбитам. Их невозмущенные большие полуоси обозначим через aj. Введем прямоугольную планетоцентрическую систему координат Oxyz, в которой плоскость xOy совпадает с экваториальной плоскостью планеты, причем ось Ox пусть направлена в ее точку весеннего равноденствия, ось Oy — направлена в сторону ее орбитального движения, а ось Oz — дополняет систему координат до правой. Мы будем использовать предположения, естественные для системы главных спутников Урана: эксцентриситеты спутниковых орбит е. < 1, синусы их экваториальных наклонений s. = sin Ij < 1, средние движения спутников ñj = f (m0 + 3/2, гдеf — гравитационная постоянная, несоизмеримы.
В системе J спутников выделим спутник с номером i, возмущаемый притяжением J — 1 возмущающих тел. Тогда возмущающая функция для i-го спутника определяется формулой
R = Е % R = fm
i=i
(j *¡)
í \
_L - h
Д-- r3
V^'J rj У
(1)
где г,-, гу- — планетоцентрические радиус-векторы 1-го и у-го спутников соответственно, Г/ = |гу|,
А/ = |г - г;|.
Вековая часть возмущающей функции Я — это результат ее независимого двукратного осреднения по схеме Гаусса
2п J 2п
щ = 2- |У(Ы)ШЬ г,(М) = 2- X т №, (2)
2П 2П , Г,- Г /I
0 М 0 1 д
(/ *1)
где М, Му — средние аномалии возмущаемого и возмущающего спутников соответственно.
В качестве основных элементов орбит будем использовать элементы Лагранжа:
hj = ejCosKj, kj = eysinTCj, uj = SjcosQj, vj = SjsinQ,
(3)
где п/ = О/ + ю/, 0.у—долгота восходящего узла, юу- — аргумент перицентра орбитыу-го спутника.
В уже упомянутой статье (Вашковьяк М.А., Вашковьяк С.Н., 2012) получено выражение
функции V в полиномиальном виде относительно этих элементов
V = £ м у £ y h V 'k V2 uV3 v v
™ v=0
2n
R(i'j) = ^ 22n B a2n Pi W(i''
ЛУ!У2У3У4 nnUj 4n+l W Vf
CT,7
j,n)
V1V2V3V4'
n=0
где Bn =
(4n)!
26n (n !)2 (2n)!'
(4)
Вп =(1 -1 + 7ТЗ IВв-1, « > 0, Во = 1, ^ п 16п )
V = У1 + V 2 + Vз + V,,, р2 = X2 + у2,
/ 2 , 2 2 2,2 у.
= Vа] + ^ , ^ = Р< + ^ , ИУ = /^У,
а wVУ2v3v4 зависят от и, а, и координат х(> г,-.
Мы с сожалением вынуждены отметить, что несколько формул, приведенных в этой работе, содержат ошибки в слагаемых третьей степени относительно эксцентриситета орбиты возмущающего тела. Они допущены по вине первого автора указанной статьи. Мы с извинениями приводим правильные формулы и соответствующие ссылки в конце данной работы (см. Приложение).
ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ С ТОЧНОСТЬЮ ДО ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ ОТНОСИТЕЛЬНО (е., а) И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ ОТНОСИТЕЛЬНО (е,, а, е, а) ВКЛЮЧИТЕЛЬНО
Выполнение стандартных, но достаточно громоздких преобразований, необходимых для получения аналитического выражения функции Щ, требует нахождения определенных интегралов вида
Ф
(i,y,n)
V1V2V3V4
i 2 , 2\2n (a( + ay I
2п
2n
Pi
2ка{
2n
(a2 + 0)
2\2n+12W V1V2V3V4*
(i,j,n)
dM, (5)
с помощью которых и определяется искомое выражение
j 3
w = £ И у £
у=1
v=0
¿_J^ViV2V3V^ nblj
n=0
h V 'k V 2 u V3 v V \
(j *i)
Подынтегральная функция в формуле (5) содержит координаты 1-го спутника, вычисляемые по формулам невозмущенного кеплеровского движения. В формуле (6) верхний предел суммирования по V определяется третьей степенью разложения по элементам И, к, и, V, поскольку слагаемые
с V = 4 в принятом приближении не содержат элементов орбиты возмущаемого спутника И,, к,, и,, V, и при вычислении производных по этим элементам (входящим в уравнения Лагранжа) дадут нуль. По этой же причине в форм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.