МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2011
УДК 532.5+533.519.63
© 2011 г. В. В. ОСТАПЕНКО, А. А. ЧЕРЕВКО, А. П. ЧУПАХИН
О РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПРИТЯГИВАЮЩЕЙ СФЕРЕ
Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере являются гиперболической системой на компактном многообразии. Эти уравнения выведены в сферической системе координат из интегральных законов сохранения массы и полного импульса с учетом влияния силы Кориолиса и центробежной силы. При помощи замыкающего закона сохранения полной энергии, представляющего собой выпуклое расширение базисной системы законов сохранения, проведен анализ устойчивости разрывных решений с прерывными волнами и контактными разрывами. Построены классы стационарных одномерных (зависящих только от широты) точных решений с контактными разрывами и прерывными волнами. В рамках одномерных уравнений проведено численное моделирование тестовой задачи о волновых течениях, возникающих в результате одновременного разрушения двух плотин, ограничивающих неподвижную жидкость в окрестностях полюсов.
Ключевые слова: уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере, интегральные законы сохранения, условия Гюгонио, разрывные течения с контактными разрывами и прерывными волнами.
Гидродинамика атмосферы вследствие наличия двух дополнительных факторов — вращения и притяжения — обнаруживает большую сложность и богатство эффектов по сравнению с классической. Взаимодействие этих двух сил удерживает сплошную среду на поверхности планеты в состоянии равновесия в целом. Вместе с тем на фоне этого равновесия происходят движения различных масштабов.
Будем в дальнейшем говорить о гидродинамике атмосферы, имея в виду описание движения жидкости или газа на поверхности сферы, вращающейся с постоянной угловой скоростью в поле силы тяжести с постоянным ускорением, направленным к центру сферы. Рассматривается модель мелкой воды, описывающая крупномасштабные движения как в атмосфере планет, так и в мировом океане. В последнее время успехи астрономии привели к значительному расширению списка планет с жидкой или газообразной атмосферой. Замечательными примерами являются спутники Сатурна Энцелад и Юпитера Европа, имеющие жидкую оболочку, покрытую ледяной крышкой. Открыты экзопланеты, находящиеся за пределами Солнечной системы, обладающие газовой или жидкой оболочкой.
Различным аспектам гидродинамики атмосферы посвящена обширная литература, не претендуя на полный обзор упомянем [1—10]. Вместе с тем на сегодня глубина аналитических исследований математических моделей атмосферы представляется недостаточной. Исследования структуры решений, наличия особенностей типа фронтов в атмосферных движениях [1] не получили в дальнейшем должного развития.
Модели мелкой воды, широко применяемые в физике атмосферы, представляют собой гиперболические системы дифференциальных уравнений, заданные на компактном многообразии [11] — поверхности вращающейся притягивающей сферы (на важность изучения решений гиперболических уравнений на таких многообразиях обращал внимание Л.В. Овсянников в [12]). Одна из наиболее распространенных таких
2 Механика жидкости и газа, № 2
моделей [4, 8] получена путем интегрирования уравнений Эйлера по глубине. В этой модели вращение планеты учитывается путем введения в уравнения движения горизонтальной, т.е. касательной к поверхности сферы, компоненты силы Кориолиса (влияние центробежной силы не учитывается). В [13] уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере выведены в рамках длинноволнового приближения из задачи со свободной границей для уравнений Эйлера подобно "плоской" модели мелкой воды [14, 15]. При этом было показано, что в безразмерных переменных горизонтальные составляющие силы Кориолиса и центробежной силы имеют одинаковый порядок малости относительно параметра длинноволнового приближения. Поэтому в [16] построение непрерывных стационарных решений проводилось с учетом обеих этих сил, что, в частности, позволило получить несферические формы положения равновесия жидкости.
Поскольку полученная в [13] система уравнений мелкой воды записана в недивергентной форме, то на ее основе можно строить только непрерывные решения, описывающие достаточно гладкие течения мелкой воды [16]. В то же время данная система (подобно классической системе уравнений мелкой воды на плоскости [14, 17]) является гиперболической и поэтому допускает разрывные решения, для корректного описания которых в соответствии с общей теорией гиперболических систем [18] ее необходимо сформулировать как полную систему законов сохранения с выпуклым расширением [19].
В настоящей работе уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере по аналогии с [20, 21] выводятся из интегральных законов сохранения массы и полного импульса. При этом учитываются горизонтальные составляющие силы Кориоли-са и центробежной силы. Получаемая таким образом базисная система дифференциальных законов сохранения, для которой закон сохранения полной энергии является выпуклым расширением, используется для построения стационарных одномерных (зависящих только от широты) обобщенных решений с контактными разрывами и гидравлическими прыжками и для численного моделирования нестационарных течений с прерывными волнами.
1. Интегральные законы сохранения массы, полного импульса и полной энергии. Рассмотрим течение на поверхности сферы радиуса r идеальной несжимаемой жидкости плотности р = const и глубины h(t, s) ^ r, где t — время, s — некоторая точка на сфере. На жидкость действует сила тяжести, создающая ускорение g, направленное к центру сферы. Сфера вращается с постоянной скоростью w. В рамках длинноволнового приближения [13] ускорение g = const, давление в жидкости на глубине Ç определяется по гидростатическому закону
Р = РЙ (1.1)
и осредненная по глубине h(t, s) скорость жидкости v(t, s) направлена по касательной к сфере в точке s.
Зададим на поверхности сферы односвязную область S с кусочно-гладкой границей dS, относительно которой запишем интегральные законы сохранения массы, полных импульса и энергии
t2 / N
Jhds+ j £ qndl
dt = 0 (1.2)
y
t, dS
t2 ( 2 \ Jqds|t2 + j £((vn)q + ^n)dl + JhFds
SU dS S
dt = 0 (1.3)
S
у
+ j £Evndl + J,
Fds
ti dS
dt = 0
(1.4)
где д = Ну — полный импульс, п — касательный к сфере единичный вектор внешней нормали к границе дS, dl — дифференциал длины дуги dS. В уравнении (1.3) F = + Fc, где Г^ = 2w х у — сила Кориолиса, Гс = w х ^ х х) — центробежная сила, в которой x — вектор, соединяющий некоторую точку х0 на оси вращения w с текущей точкой 5 на сфере. В уравнении (1.4)
e = h(|v|2 + gh)/2 = (qv + gh2)/2
(1.5)
— полная удельная энергия цилиндрического столба жидкости высоты к и единичной площади поперечного сечения,
F = Fq = Fcq, E = e + gh2/2 = qv/2 + gh2
(1.6)
Предполагая, что ось вращения w проходит через центр сферы, введем декартову систему координат Oxyz, начало которой O лежит в центре сферы и ось z которой совпадает с осью вращения w. В этой системе скользящий вектор w имеет координаты
w = (0,0,П) (1.7)
где Q — скалярная угловая скорость вращения. Данная декартова система и связанные с ней сферические координаты (r, 0, ф)
x = r cos 9 cos ф, y = r cos 9 sin ф, z = r sin 9 r > 0, 0 < 9 < n, 0 < ф < 2n
приведены на фиг. 1. Координатные линии 9 = const и ф = const называются соответственно параллелями и меридианами.
Введем единичные вектора a(s) и b(s), касательные соответственно к меридиану и параллели, проходящим через точку s = 5(ф, 9). Эти вектора образуют базис декартовой системы координат в плоскости, касающейся сферы в точке s. Зададим в этой системе локальные разложения для векторов скорости и расхода, касательных к сфере
v = u a + Vb, q = q a + Q b; q = hu, Q = hV (1.8)
В качестве области S на сфере возьмем криволинейный четырехугольник
S = SABCD = (5(9, Ф): 9: < 9 < 92, Ф1 < ф < Ф2} (1.9)
ограниченный параллелями 9 = 9:, 9 = 92 = 9: + Л9 и меридианами ф = ф:, ф = ф2 = + + Лф (фиг. 2). Запишем относительно этой области законы сохранения (1.2)—(1.4). С учетом разложений (1.8) и того, что дифференциал длины дуги dl = rsin9dф на параллели 9 = const и dl = rd9 на меридиане ф = const, получим
ф2 02 t2 t2 02 02 '
r J J h sin 9 d9 dф + J J q sin 9 dф + J Qd 9
vi 0i tj t1 vi 01 0i Vi ,
dt = 0
(1.10)
S
S
Фиг. 1. Общая схема движения жидкости на сфере относительно декартовой и связанной с ней сферической систем координат
ф202 '2 Ф2 / 2 1
г | зт9й9йф + | 11 о(\ + ^— а 18т9йф
Ф101 '1 Ф1 ^
+ | \Уч + ^ Ь | й 9
Л
ф2 Ф202
+ г | ]№8т9й9йф
ф Ф101 у
й' = 0
(1.11)
ф2 02 '2 ' '2 ф2 02 02
г | ^в 9 й9 йф + 1 |Еи зт 9 йф + ]ЕУй9
01 '1 '1 Ф1 01 01
ф2
ф2 02
+ г | зт 9 й 9 й ф
ф 01
й' = 0 (1.12)
0
0
г
Фиг. 2. Элементарная ячейка интегрирования £ = в сферической системе ко-
ординат и связанные с ней базисные вектора a, Ь локальной декартовой системы координат в плоскости, касающейся сферы в точке А
Уравнения (1.10)—(1.12) представляют собой запись интегральных законов сохранения (1.2)—(1.4) в сферической системе координат.
Если функции h и q принадлежат классу С1, то из интегральных уравнений (1.10)— (1.12) следует дифференциальная форма записи законов сохранения массы, полных импульса и энергии
(rh sin 9)t + (q sin 9)0 + Qv = 0 (1.13)
, 2 Л Л ( ,2
(rqsin9)t +|| иq + ajsin9J +^Kq + bj + rhFsin9 = 0 (1.14)
(re sin 9)t + (Eu sin 9)0 + (EV)v + rF sin 9 = 0 (1.15)
Можно показать, что уравнение для полной энергии (1.15), развернутая форма записи которого имеет вид
(qv + gh2)sin ej + ((^ + gh2j и sin e) + ((^ + gh2 )v) = qW2 sin2 9 cos 9 (1.16)
есть дифференциальное следствие базисных законов сохранения массы (1.13) и полного импульса (1.14) и тем самым является для них замыкающим законом сохранения.
Умножая уравнение (1.14) скалярно на вектора a и b, получим дифференциальную форму записи законов сохранения компонент q и Q полного импульса
(rq sin 9)t +
(( h2 Л Л Í _,2\
^ sin 9 + (q V)„ -
qu +! 2
QV + 2
cos 9 =
= W(Whsin2 9cos9 + Qsin29) (1.17)
(rq sin 9)t + (Qu sin 9)0 + ^ QV + gyj + qV cos 9 = -Wq sin 29
где W = Q
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.