ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 6, 2012
УДК 532.5
© 2012 г. В. В. Остапенко
О РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ В РУСЛЕ, ИМЕЮЩЕМ СКАЧОК ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ
В рамках однослойной модели теории мелкой воды изучаются течения в русле, имеющем скачок площади сечения. Дается обоснование соотношений на возникающем при этом гидродинамическом разрыве. Выделены допустимые устойчивые течения на таком разрыве. В качестве примера решена задача о течениях, возникающих в результате разрушения плотины на скачке площади сечения в прямоугольном канале, ширина которого в верхнем бьефе больше, чем в нижнем.
1. Введение. Дифференциальные уравнения теории однослойной мелкой воды (уравнения Сен-Венана) без учета влияния трения и уклона дна имеют вид [1, 2]
ю, + дх = 0 (1.1)
д< + (д и + gP)x = (1.2)
к к к ю = (х,%), р = ]Ю(хД)а%, я = ]Юх(х,%)(1.3)
0 0 0
где к = к(^, х) — уровень потока, отсчитываемый от дна, # = д(1, х) — расход воды в поперечном сечении потока, Ь = Ь(х, £) — ширина русла на уровне ш = ш(х, £) — площадь поперечного сечения русла при уровне и = и(¿, х) = — средняя по сечению скорость потока, pgP = pgP(x, к) — сила гидростатического давления воды в поперечном сечении потока, pgR = р§К(х, к) — сила реакции стенок русла, вызванная его не-призматичностью, g — ускорение свободного падения, р — плотность воды. Будем полагать, что при всех значениях х ширина русла Ь(х, £) — монотонно возрастающая непрерывная функция от
Если ширина русла Ь(х, £,) — непрерывная функция не только по но и по х, то величина К, входящая в правую часть уравнения для полного импульса, будет распределенным источниковым членом, не дающим вклада в соотношения на линиях сильных разрывов обобщенных решений системы (1.1), (1.2). В этом случае из законов сохранения массы (1.1) и полного импульса (1.2) следуют условия Гюгонио
Б [ю] = [ д] (1.4)
Б [ д] = [ д и + gP] (1.5)
в которых Б = х г — скорость прерывной волны, / = /1 — / — скачок функции /(¿, х) на ее фронте х = х(0, где /0 = /(х(¿) + 0), = /(х(0) - 0) .
Предположим, что функция Ь(х, £,), являясь кусочно-непрерывной по х, имеет при х = 0 разрыв первого рода, такой, что
Ь^) = Ь(х - 0Д)> ад = Ь(х + 0, £,), 0 (1.6)
Тогда аналогичный разрыв имеет площадь поперечного сечения русла
®1 (£) = |Ь1(п)¿П>®0^) = /Ьо(П)0 (1.7)
о 0
Поскольку уравнение для массы (1.1) — дивергентное в случае непризматического русла, т.е. представляет собой точный закон сохранения [2] при Ьх Ф 0, то соответствующее ему условие Гюгонио (1.4) остается верным на разрыве (1.6). Так как этот разрыв неподвижен (В = 0), из условия (1.4) получим соотношение
[д] = 0 ^ ?1 = 40 = 4(0) (1.8)
означающее непрерывность расхода на разрыве площади сечения (1.7).
Уравнения для полного импульса (1.2) не является точным законом сохранения в случае непризматического русла, в силу чего его правая часть на разрыве (1.6) становится неопределенной. Это означает, что в рамках формальной теории мелкой воды [3, 4] соответствующее уравнению (1.2) условие Гюгонио (1.5) нельзя использовать для получения второго соотношения на разрыве (1.6). Отсюда следует, что если с такого разрыва уходят две характеристики системы (1.1)—(1.3), то для замыкания соотношений на нем необходимо введение дополнительного условия.
Аналогичная ситуация имеет место при изучении одномерных течений газа в трубе с разрывом площади поперечного сечения. При решении задачи о распаде разрыва на скачке площади сечения в трубе в качестве дополнительного соотношения на скачке использовалось [5, 6] уравнение импульса, в котором на основе различных физических соображений, выходящих за рамки одномерной газодинамической модели, учитывалась реакция стенки р, соединяющей трубопроводы различных диаметров. Однако получаемое таким способом соотношение на скачке определено неоднозначно: оно существенно зависит от способа задания величины р (эта величина задавалась [5, 6] по-разному). Кроме того, указанное соотношение в общем случае недивергентно, т.е. не допускает записи в виде условия Гюгонио [/] = 0.
В то же время существует другой подход [7], при котором недостающее условие на скачке площади сечения в предположении адиабатичности течения получается из дифференциального следствия базисных уравнений газовой динамики — закона сохранения энтропии, сохраняющего дивергентную форму при изменении площади сечения. При выводе недостающего условия для уравнений изэнтропической газовой динамики применялся аналогичный подход [8], основанный на использовании на скачке площади сечения, наряду с уравнением неразрывности, дивергентного уравнения для полной энергии.
Такой же подход был применен [9, 10] при получении дополнительного условия на гидродинамическом разрыве, возникающем в прямоугольном канале над ступенькой (уступом) дна при описании волновых течений жидкости на основе уравнений мелкой воды. При этом в качестве дополнительного соотношения на разрыве над ступенькой дна использовалась непрерывность функции Бернулли, получаемая из закона сохранения локального импульса (следствием этого является сохранение на таком разрыве полной энергии набегающего потока). Построенные таким образом автомодельные решения задачи о разрушении плотины над ступенькой дна [9] и уступом дна [10] достаточно хорошо согласованы с результатами лабораторных экспериментом [11, 12] по возможным типам волн, скорости их распространения и асимптотическим глубинам за их фронтами.
С учетом полученных ранее результатов [9—12] соотношения на разрыве (1.6) выводятся ниже из законов сохранения системы (1.1)—(1.3), допускающих запись в дивергентной форме в случае непризматического русла.
2. Точные законы сохранения в случае непризматического русла. Поскольку при учете формул (1.3) имеем соотношение
н
Рх = ю Нх + = ю Нх + Я
о
то уравнение для полного импульса (1.2) можно переписать в недивергентной форме
д, + (до) х + gю нх = 0 (2.1)
которая не содержит интегралов (1.3). Вычитая из уравнения (2.1) уравнение (1.1), умноженное на и, и сокращая после этого на ю, получим уравнение для локального импульса
и, + ( и2 / 2 + gh)x = 0 (2.2)
Поскольку это уравнение дивергентно, т.е. является точным законом сохранения в случае непризматического русла, из соответствующего ему условия Гюгонио на неподвижном разрыве (1.6) следует соотношение
[ и2/2 + gh] = 0 (2.3)
означающее непрерывность функции Бернулли J = и2/2 + gh на скачке площади сечения.
Суммируя уравнение (2.1), умноженное на и, с уравнением (2.2), умноженным на q, получим уравнение
(ди), + (ди )х + 2gдhx = 0 (2.4)
описывающее изменение кинетической энергии жидкости. Поскольку ю, = bht, где Ь = = Ь(х, И), то суммируя уравнение (2.4) с уравнением (1.1), умноженным на 2gh, получим дивергентное уравнение для полной энергии
е, + (до2 + 2gдh)x = 0 (2.5)
где е = qu + gbh2 — удвоенная полная энергия потока.
Поскольку уравнение (2.5) дивергентно, т.е. также как и уравнение (2.2) является точным законом сохранения в случае непризматического русла, то из соответствующего ему условия Гюгонио на разрыве (1.6) следует соотношение ^(и2 + 2gh)] = 0, которое при q Ф 0 эквивалентно соотношению (2.3). Таким образом, если на скачке площади сечения (1.7) выполняется закон сохранения локального импульса (2.2), то на нем выполняется и закон сохранения полной энергии (2.5). При этом, если сохранение массы на разрыве (1.7) не вызывает сомнений с физической точки зрения, то сохранение полной энергии на первый взгляд представляется недостаточно обоснованным, особенно когда q(0) > 0, т.е. когда поток жидкости направлен из области с большей площадью сечения в область с меньшей площадью сечения ю0.
В связи с этим отметим, что теория мелкой воды формулируется в рамках длинноволнового приближения уравнений гидродинамики [1], в котором все характерные
горизонтальные размеры течения должны быть существенно больше его вертикальных размеров (в частности, длины волн должны быть существенно больше средней глубины потока). В силу этого разрывные решения уравнений Сен-Венана (1.1)—(1.3) — прерывные волны, в действительности представляют собой переходные области (непрерывного, но достаточно быстрого изменения параметров течения), ширина которых существенно превышает характерные глубины потока. Был дан [13] вывод модифицированных уравнений теории мелкой воды, в которых учитываются вихревые течения в этих переходных областях.
Аналогично разрыв (1.6) в модели мелкой воды с физической точки зрения должен представлять собой переходный отрезок [—б, е] достаточно быстрого, но гладкого и монотонного изменения ширины реального русла
по длине существенно превосходящий максимальную глубину потока, т.е. 2s ^ max h(t, x). Тогда предположение о сохранении полной энергии потока при течении на отрезке [—s, s] такого реального русла (при отсутствии на этом отрезке прерывных волн) вполне естественно. Это означает, что рассматриваемая модель мелкой воды с условиями Гюгонио (1.8) и (2.3) на скачке сечения (1.7) описывает переходные процессы на достаточно гладких участках изменения ширины реального русла. Отсюда, в свою очередь, следует, что уравнения теории мелкой воды (1.1)—(1.3) с размазанным разрывом ширины русла (2.6) представляют собой модель более высокого уровня по отношению к тем же уравнениям с разрывной шириной русла (1.6). Поэтому дополнительное соотношение на скачке сечения (1.7) можно получить путем предельного перехода при s ^ 0 из этой "старшей" модели.
Рассмотрим любое дифференциальное следствие базисной системы (1.1)—(1.3), линейно независимое с уравнением (1.1). Для гладкого стационарного течения в русле с непрерывно меняющейся шириной (2.6) все такие дифференциальные следствия, в частности уравнения для локального импульса (2.2) и полной энергии (2.5) при учете условия q = const эквивалентны, поэтому, переходя к пределу при s ^ 0, из любого из них можно получить одно и то же соотношение на разрыве (1.6), совпадающее с условием Гюгонио (2.3).
Для уравнений (2.2) и (2.5) данное утверждение очевидно. Поэтому рассмотрим уравнение для полного импульса (1.2), которое не является зако
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.