ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 6, с. 828-841
УДК 532.5
О РАЗВИТИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ СТРУИ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
© 2008 г. О. А. Дружинин
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 E-mail: druzhinin@hydro. appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 12.03.2007 г., после доработки 26.06.2007 г.
Исследуется развитие неустойчивости трехмерного струйного течения в стратифицированной жидкости с помощью прямого численного моделирования. Рассматривается изначально цилиндрическая струя с гауссовым профилем скорости в жидкости с устойчивой линейной стратификацией плотности. Результаты показывают, что при задании исходного малого возмущения поля скорости с широким спектром происходит экспоненциальный рост выделенной квазидвумерной моды, спектральный максимум которой смещен в сторону меньших волновых чисел по сравнению с максимумом спиральной моды неустойчивости нестратифицированной струи. Инкремент неустойчивости пропорционален Ri05, где Ri - глобальное число Ричардсона. Развитие неустойчивости приводит к формированию вихревой структуры течения, состоящей из совокупности разнополярных квазидвумерных вихрей, располагающихся в горизонтальной плоскости вблизи продольной оси струи. На достаточно больших временах (Nt > 100, где N - частота плавучести, t - время) рост неустойчивости выходит на стадию насыщения, и далее флуктуации скорости и плотности затухают под действием вязкой диффузии. На этой стадии течение становится автомодельным, и временны е зависимости максимума средней скорости и поперечной и вертикальной ширины струи согласуются с асимптотиками интегральных параметров течения, экспериментально наблюдаемыми в дальнем стратифицированном следе. Полученные результаты дают основание полагать, что развитие неустойчивости квазидвумерной моды может играть определяющую роль в динамике течения в дальнем стратифицированном следе.
введение
Исследование динамики струйных течений стратифицированной жидкости является важной фундаментальной задачей гидродинамики, имеющей многочисленные практические приложения [1]. Одним из таких приложений является исследование течения в дальнем следе за сферой, буксируемой в стратифицированной жидкости при больших числах Рейнольдса и Фруда. Результаты многочисленных экспериментальных исследований показывают, что на расстоянии, много большем диаметра сферы (т.е. в области дальнего следа) на временах Иг < 1 (где N - характерное значение частоты плавучести, и г - время, отсчитываемое с момента прохода сферы через область наблюдения) течение представляет собой цилиндрическую струю, средняя горизонтальная скорость которой сонаправлена со скоростью протяжки сферы [2-10]. Экспериментальные данные говорят о том, что характерная скорость в следе составляет лишь несколько процентов от скорости протяжки сферы. При этом изменение статистических характеристик течения вдоль горизонтальной оси х в рассматриваемой области, как правило, пренебрежимо мало, и его можно рассматривать как х-периодическое. Экспериментальные исследования показывают также, что поле обтекания вбли-
зи сферы и внутренние волны, излучаемые сферой, не оказывают влияния на дальний след.
Результаты исследований [2-10] показывают, что по мере эволюции течения в следе на временах Иг > 1 формируется квазидвумерная вихревая структура, состоящая из крупномасштабных разно-полярных вихрей, располагающихся в шахматном порядке в горизонтальной плоскости в окрестности продольной оси следа (т.е. напоминающая хорошо известную двумерную вихревую дорожку Кармана). При этом вертикальная компонента скорости жидкости в вихрях пренебрежимо мала по сравнению с горизонтальной, и вертикальный масштаб вихрей в несколько раз меньше горизонтального. В работе [8] исследовалась структура линий тока этого течения и было высказано предположение о том, что одной из возможных причин образования этой вихревой структуры является гидродинамическая неустойчивость струйного течения, развивающаяся в дальнем следе. На основе этой гипотезы в работах [11, 12] была предложена теоретическая модель, где предполагается, что эффектами вязкой диссипации, обусловленной вертикальным сдвигом средней скорости, можно пренебречь и рассматривать дальний след как двумерное струйное течение с гауссовым профилем средней скорости и с заданным исходным спектром флуктуаций. В рамках этой модели выво-
дится система обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает динамику интегральных параметров течения, таких как средняя скорость на оси и ширина следа. Результаты модели хорошо согласуются с экспериментальными данными и с результатами прямого численного моделирования на временах порядка Nt = 0(10) [13, 14]. Однако модель становится неприменимой на больших временах [Nt = 0(100)], когда необходим учет вязкой диссипации, обусловленной ростом градиентов скорости по вертикальной координате г.
Устойчивость струйных течений стратифицированной жидкости детально исследовалась для случая двумерных потоков [1]. Известно, что в этом случае неустойчивость развивается при условии, что градиентное число Ричардсона оказывается меньше критического значения (Ric = 0.25). Число Ричардсона определяется как отношение Rig = N2/(dzU)2, где U(z) - вертикальный профиль горизонтальной (х-компоненты) скорости течения. Исследовалась также устойчивость двумерного слоя смешения и двумерной струи по отношению к малым трехмерным возмущениям [15, 16]. Результаты показывают, что, как и в случае двумерного возмущения, сначала растет наиболее неустойчивая двумерная мода, развивающаяся в вертикальной (х, z) - плоскости, которая далее "подпитывает" моду вторичной неустойчивости, обусловливающей модуляцию профиля течения по поперечной (у) координате.
Анализ линейной устойчивости пространственно развивающейся трехмерной струи в однородной идеальной жидкости [17, 18] показывает наличие двух наиболее неустойчивых мод - осесимметрич-ной и спиральной. При этом инкремент спиральной моды превышает инкремент осесимметричной моды для возмущений с достаточно малым числом Струхаля. Результаты экспериментального исследования течения в ближнем следе за сферой в однородной жидкости также говорят о развитии спиральной моды неустойчивости с числом Струхаля, малым по сравнению с числом Струхаля осесимметричной моды [19]. Результаты численного моделирования показывают, что развитие спиральной моды неустойчивости приводит к волнообразной модуляции следа как целого [20].
До сих пор, однако, не предпринималось попыток исследования развития неустойчивости трехмерной струи в устойчиво-стратифицированной жидкости. Решение линейной задачи устойчивости в этом случае существенно усложняется как по сравнению с нестратифицированным случаем, так и по сравнению со случаем двумерного плоско-параллельного стратифицированного потока (из-за зависимости профиля скорости несущего течения от поперечной координаты (у)). Случай трехмерной, изначально цилиндрической струи принципиально отличается от случая двумерной струи (или слоя смешения). Очевидно, что в этом случае развитие сдвиговой не-
устойчивости может происходить в горизонтальной плоскости (х, у) за счет роста флуктуаций поперечной у-компоненты скорости, даже если Rig > Ric и течение устойчиво по отношению к возмущениям в вертикальной (х, г)-плоскости.
Целью данной работы является исследование процесса развития неустойчивости трехмерного струйного течения стратифицированной жидкости с помощью прямого численного моделирования. При этом численно решается полная, трехмерная система уравнений Навье-Стокса в приближении Бусси-неска. Рассматривается изначально цилиндрическая струя с гауссовым профилем скорости в жидкости с постоянной частотой плавучести (т.е. с линейной стратификацией плотности). Параметры распределений скорости и плотности таковы, что градиентное число Ричардсона достаточно велико, и течение остается устойчивым по отношению к вертикальным возмущениям скорости. Рассматривается начальное возмущение поля скорости жидкости с широким спектром и амплитудой, малой по сравнению с максимумом скорости несущего течения, но достаточной для проявления эффектов нелинейного взаимодействия мод. В результате этого взаимодействия "выживает" наиболее быстро растущая, квазидвумерная мода неустойчивости, динамика которой и определяет эволюцию течения. Оказывается, что на больших временах [Nt = 0(100)] рост вертикальной ширины струи обусловлен эффектом вязкой диффузии, и течение в струе становится автомодельным. При этом формируется вихревая структура, свойства которой аналогичны свойствам течения, наблюдаемого в дальнем стратифицированном следе в лабораторных экспериментах [2-10] и в прямом численном моделировании [21-23]. Свойство автомодельности течения позволяет аналитически определить временные асимптотики развития масштабов скорости и вертикальной и поперечной ширины струи, удовлетворительно согласующиеся как с результатами прямого численного моделирования, так и с известными экспериментальными данными.
2. основные уравнения и описание численного метода
Рассматривается струйное течение в жидкости с исходным распределением горизонтальной х-компоненты средней скорости в виде осесимметричной струи с гауссовым профилем:
иге/ = ехр(- 4[у2 + г2]), (2.1)
где у и г - поперечная и вертикальная координаты соответственно. Здесь и далее все переменные нормированы на исходные значения максимума скорости и диаметра струи и0 и Рассматривается исходная линейная стратификация плотности жидкости
ргв/ = -г.
Уравнения Навье-Стокса в приближении Бусси-неска и условие несжимаемости жидкости записываются в безразмерных переменных в виде:
dtUi + Uj д jUi + Uref dxüi + Six X X( UydyUref + UzdzUref ) =
(2.2)
= -dP + RRj d2Ui + Re Six( dyyUref + d2zzUref ) - SizRi p,
dJUJ = °.
(2.3)
Уравнение для плотности жидкости имеет вид:
1 2
Э;р + и] д; • р + иге/дхр - иг = — д2р. (2.4)
В уравнениях (2.2)-(2.4) иг (г = х, у, z) и р - отклонения скорости и плотности жидкости от соответствующих исходных профилей соответственно и 5у - символ Кронекера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.