ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 3, 2013
УДК 531.8
© 2013 г. А. В. Влахова
О РЕАЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ С КАЧЕНИЕМ
Изучаются возможности реализации связей при движении систем, содержащих кинематические пары с малыми относительными проскальзываниями. Показано, что предельный переход к бесконечной жесткости контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может привести как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам с первичными связями Дирака. Многообразие, определяемое этими неклассическими связями, в общем случае не близко к многообразию, задаваемому условиями непроскальзывания. Ситуации, когда реализуются те или иные связи, разделяются после рассмотрения порядков величин слагаемых в правых и левых частях соотношений между скоростями проскальзывания и обобщенными скоростями.
1. Введение. При исследовании систем с качением часто используется модель него-лономных (кинематических) связей, запрещающих проскальзывания соприкасающихся поверхностей. В рамках традиционного формально-аксиоматического метода границы применимости этой модели определяются условиями, при которых величины реакций связей не превосходят предельных (максимальных) значений сил трения в точках контакта. Вообще говоря, эти условия являются всего лишь необходимыми для реализации движения без проскальзывания.
С использованием конструктивного подхода [1] ниже формулируются достаточные условия применимости формально-аксиоматического метода динамики неголоном-ных систем. При выборе свободной от связей (доопределенной) системы предполагается, что взаимодействующие при качении тела достаточно жесткие и имеют несогласованную форму. Это позволяет использовать результаты теории качения [2] и в задачах, не связанных с изучением окрестности области контакта, считать взаимодействие тел точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент усилий полагать равным нулю). Свойство деформируемости тел в области взаимодействия учитывается моделью касательной составляющей контактной силы, которая непрерывно зависит от скорости относительного проскальзывания поверхностей тел. Использование конструктивного подхода показывает, что при стремлении жесткостей этих сил к бесконечности (скоростей проскальзывания к нулю) доопределенная система может переходить в систему, отличную от классической неголономной. Примеры таких ситуаций возникают [3—5] в задачах качения железнодорожных экипажей или колесных аппаратов с малыми углами поворота передних колес относительно корпуса, характеризующихся тем, что поперечная и угловая скорости корпуса остаются малыми и пренебрегать уводом колес некорректно. Тем самым необходимо различать случаи, когда система переходит в классическую неголо-номную модель или в неклассическую модель, в рамках которой проскальзывания соприкасающихся тел сохраняются.
В первой части работы рассматриваются движения с обобщенными скоростями, существенно превосходящими скорости проскальзывания тел. Подходы [3, 6—9] к реализации условий непроскальзывания вязким или кулоновым трением обобщаются на
случаи касательных составляющих контактных сил, зависящих от нормальных реакций в точках соприкосновения тел. Во второй части исследуются движения, для которых порядки малости слагаемых в правых и левых частях соотношений между скоростями проскальзывания и обобщенными скоростями одинаковы за счет того, что часть обобщенных скоростей соизмерима со скоростями проскальзывания, а при других обобщенных скоростях стоят малые множители. Здесь относительными проскальзываниями тел пренебрегать нельзя. С использованием подхода [10], разработанного для систем с малыми массами, показано, что при стремлении скоростей проскальзывания к нулю решения рассматриваемой системы оказываются близкими к многообразию, определяемому первичными связями Дирака [11, 12]. Эти связи, представляющие собой конечные соотношения между обобщенными координатами и импульсами, возникают из-за вырождения лагранжиана предельной системы по малым обобщенным скоростям. Корректность использования моделей со связями для описания движения легкового автомобиля подтверждается численными расчетами.
Достаточные условия реализации связей находятся с применением методов теории сингулярно возмущенных уравнений с пограничным слоем и фракционного анализа [3, 13].
2. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему c голономными стационарными идеальными связями, оставляющими независимыми n обобщенных координат qb ..., qn. Предположим, что система содержит m подвижно сопряженных пар тел с одной относительной степенью свободы (так называемых кинематических пар [14]), в каждой из которых допускается проскальзывание. Контакт тел в парах считается точечным. Моделью касательных составляющих контактных сил, действующих по направлению относительного смещения соприкасающихся в k-й паре тел, служит
Pk =-vkNkfk (q,q,uk), k = 1,...,m; q = (ql, ..., qn)T (2.1)
Точкой обозначено дифференцирование по времени t, vk = vk(q, q, uk) — коэффициенты трения, Nk — нормальные реакции, fk — характеристика контактной силы, uk — проекция скорости проскальзывания тел в k-й точке контакта на направление смещения. Далее предполагается, что
Nk > 0, k = 1, ..., m (2.2)
Компоненты вектора u = (u1, ..., um)Tсвязаны с обобщенными скоростями системы соотношением
u = Bq; B = \\bki (q)||, i = 1,...,n; k = 1,...,m (2.3)
Предполагается, что уравнения uk = 0 задают в фазовом пространстве системы поверхности, в окрестностях которых
M ^ e ^ 1 (2.4)
fk — гладкие функции, удовлетворяющие условиям \дsfklduS < l/ss, min fk =-1, max fk = 1
\uk\<& \uk\<Z
В частности, при выполнении этих условий верно неравенство
fkl ^ 1 (2.5)
т.е. величины касательных составляющих контактных сил не превосходят предельных значений vkNk сил кулонова трения.
Выражения (2.1) служат обобщением модели вязкого трения в точках контакта соприкасающихся тел, модели Картера, "brush''-модели Фромма, доопределенных методом эквивалентного управления разрывных характеристик сил кулонова трения (в том числе при несовпадении значений трения покоя и трения движения) и проч. [2, 15—20]. Динамические свойства системы задаются функцией Лагранжа
n
L(q, q) = T(q, q) + U (q); T = ± £ aj (q) qq (2.6)
2 ij=1
и обобщенными силами Qi (i = 1, ..., n). Здесь T — кинетическая энергия системы — положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей, U — силовая функция.
Разобьем выражения для Qj на составляющие, отвечающие активным силам Q и
p
контактным силам Qi в модели (2.1):
Qi = Q + Qp (2.7)
Найдем обобщенные силы Qt , вычислив мощность Л сил (2.1) на возможных скоростях Suk относительных движений в k-й паре. Используя соотношения (2.3), получим
m n m
Л = £ Pkbuk = ££ bki (q) Pkbq,
k=1 i=1 k=1
Следовательно,
m
Qp = Z bki (q) Pk (2.8)
k=1
Учитывая соотношения (2.1), (2.3), (2.6)—(2.8), запишем уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы в матричной форме
A (q)q = g (q, q) + QA (q, q, t) + BTP (2.9)
где A = ||a,y(q)|| (i, j = 1, ..., n) — матрица инерционных коэффициентов, g(q, q) = = (gy..., gn) — вектор, отвечающий переносным силам инерции и потенциальным силам:
n n я„ Л
datl + da1L datj
■ ■ , dU 4fli + —
dqi
=-1 ЕЕ
' 2 е=1 у=1 ^ д1] & = (О , О! )Т, P = (Л, ., РУ = V = diag(v1, ..., vm)
f = diag(/1, ...,/,), N = (Жх, ..., Мт)Т
Нормальные реакции Жк (к = 1, ..., т) находятся путем перехода к системе уравнений, которая получается при мысленном освобождении исходной системы от связей, вызывающих эти реакции. Для описания освобожденной системы, помимо д1, ..., дп, вводятся дополнительные обобщенные координаты дп + х, ..., дп + т. Выберем их так, чтобы уравнения связей имели вид
дп + х > 0, ..., дп + т > 0 (2.10)
При выполнении условий (2.2) движение системы происходит по поверхностям
д„+к = 0, к = 1, ..., т (2.11)
Введем обозначения
п+т
q* = (<Ь Ч„ + т)Т, Т* = 1 X 4(4*)<М}, и* = 0*^*), Q*A, Q*P
2 и=1
для вектора обобщенных координат, кинетической энергии и силовой функции, векторов обобщенных активных и контактных сил в освобожденной от связей системе.
Движение после наложения связей (2.10) описывается системой (2.9), где Л, g, QA, B, Р соответствуют матрицам и векторам, которые получились бы при составлении уравнений исходной системы, не учитывающей дополнительные координаты. Она становится замкнутой после добавления уравнений (2.11) и уравнения
А0 (4)4 = Е0 (4, 4) + А (4, 4, 0 + В0ТР + X; к = ..., 1т)Т (2.12)
Верхним нулевым индексом отмечены выражения, составленные для освобожденной системы после обращения дополнительных обобщенных координат и скоростей в нуль, к — вектор неопределенных множителей Лагранжа, компонентами которого служат реакции связей (2.10):
т л т
Ь к = Е N, = Е с* (4) N., к = 1.....т (2.13)
5=1 5=1
Здесь г5 — радиус-вектор 5-й точки контакта, N — векторы нормальных реакций. Корректность предельного перехода к модели со связями может быть исследована с применением известных подходов [3, 10, 21—23].
После подстановки в уравнения (2.12) выражения для 4, зависимости Р = —■уШ и учета равенств (2.13) получим векторную систему т линейных алгебраических уравнений для отыскания ..., Ыт. В отличие от рассматривавшихся ранее систем с сухим трением [23, 24], множители при компонентах вектора N — непрерывные функции. При условии невырожденности матрицы
8 = С + (Л0Л-1ВТ - В°)уГ, С = \\сьт указанная система имеет единственное решение
N = Я-1[А0А-1(е(4, 4) + 0а(44,0) - 8°(Я,4) + 0°А (4,4, 0] (2.14)
Если выполнены условия (2.2), то компоненты Nk = Nk (4,4, Г t) вектора N представляют собой искомые нормальные реакции. Их подстановка в уравнения (2.9) приводит к замкнутой системе уравнений.
Далее будем считать обобщенные координаты д1, ..., дп и время ? безразмерными величинами, что может быть обеспечено за счет предварительной нормализации.
Предположим, что в рассматриваемый момент времени изображающая точка системы (2.9), (2.14) попала на пересечение е-окрестностей (2.4) поверхностей ик = 0 для к = 1, ..., т и рассм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.